テンソル積

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数学の分野である線形代数において、テンソル積（英語: tensor product）とは一般には相異なるベクトル空間の元$v^{(1)}\in V^{(1)},\ldots ,v^{(N)}\in V^{(N)}$に対して定義される積$v^{(1)}\otimes \cdots \otimes v^{(N)}$の事、もしくはこのような積の有限線形和全体のなす空間$V^{(1)}\otimes \cdots \otimes V^{(N)}$の事である。テンソル積$v^{(1)}\otimes \cdots \otimes v^{(N)}$は各成分に対して線形であり、しかもある種の普遍性を満たすものとして定義される。

なお、上では$V^{(i)}$がベクトル空間の場合を考えたが、より一般に環上の加群に対してもテンソルやテンソル積を考える事ができる。

テンソル積の概念の原型はハスラー・ホイットニーによる1938年の論文"Tensor products of Abelian groups."が初出である。

$V^{(1)}\otimes \cdots \otimes V^{(N)}$の元をテンソルというが、「テンソル」という言葉には

1. 上述の意味
2. プログラミング言語その他で用いられる用語で、複数の添字をつけた値の組（例えば$(T_{i,j,k})_{i,j,k}$）の事。テンソルフローなど。
3. 主に物理学やその応用分野で用いられる用語で、上下に複数の添字をつけた値の組（例えば$(T^{i}{}_{j}{}^{k})_{i,j,k}$）で、座標変換に対し適切な変換則をみたすもの。ベクトル空間が$V$とその双対空間のケースにおいて、1の意味のテンソルの成分表示。

といった意味がある。

本稿では1の意味について解説し、3の意味についても簡単に触れる。3の意味に関する詳細はテンソルの項目を参照されたい。

概要

数学の分野である線形代数において、複数個のベクトル空間$V^{(1)},\ldots ,V^{(N)}$のテンソル積（英語: tensor product）$V^{(1)}\otimes \cdots \otimes V^{(N)}$とは、$v^{(1)}\in V^{(1)},\ldots ,v^{(N)}\in V^{(N)}$を用いて

$v^{(1)}\otimes \cdots \otimes v^{(N)}$

という形の元の有限個の線形和として書けるもの全体からなるベクトル空間の事であり、$V^{(1)}\otimes \cdots \otimes V^{(N)}$の元をテンソルと呼ぶ。また$v^{(1)}\otimes \cdots \otimes v^{(N)}$ の事を$v^{(1)},\ldots ,v^{(N)}$のテンソル積と呼ぶ。

テンソル積はベクトル空間の定義体$K$を明示して

$V^{(1)}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V^{(N)}$

とも表記する。

テンソル積は以下の２つの性質によって特徴づけられる：

1. 多重線型性：テンソル積の演算 $\otimes$ は各変数 $v^{(1)},\ldots ,v^{(N)}$ のいずれに対しても線形である（直積空間からテンソル積空間への自然な写像が多重線形写像となる）。
2. 普遍性：$V^{(1)}\otimes \cdots \otimes V^{(N)}$は多重線形性を満たす空間として、ある種の「最大」の性質（任意の多重線形写像を線形写像として経由させる性質）を持つ。

多重線形性を２つの元のテンソル積$v\otimes w$に対して具体的に説明すると、多重線形性（この場合は2つのテンソル積なので「双線形性」と呼ばれる）とは

1. $(av+bv')\otimes w=av\otimes w+bv'\otimes w$
2. $v\otimes (aw+bw')=av\otimes w+bv\otimes w'$

の両方が任意の$v,v'\in V$、任意の$w,w'\in W$、および任意のスカラー$a,b\in K$に対して成立する事を言う。ここで$K$はベクトル空間の定義体である。

上では複数個のベクトル空間の場合に対しテンソル積を定義したが、より一般に複数個の環上の加群に対してもテンソル積が定義可能な事が知られている。

成分表示

各$V_{i}$が有限次元ベクトル空間であるとし、$e_{1}^{(i)},\ldots ,e_{n_{i}}^{(i)}$を$V^{(i)}$の基底とすると、２つのベクトル空間のテンソル積$V_{1}\otimes V_{2}$において双線形性を用いる事により、任意のテンソル$\tau \in V^{(1)}\otimes V^{(2)}$は必ず

$\tau =\sum _{i,j}a^{i,j}e_{i}^{(1)}\otimes e_{j}^{(2)}$ where $a^{i,j}\in K$

と書き表す事ができる事を証明できる。したがって各$V^{(i)}$の基底を固定した場合、テンソル$\tau \in V^{(1)}\otimes V^{(2)}$は行列$(a^{i,j})_{i,j}$と１対１に対応する。

より一般に$m$個のテンソル積$V^{(1)}\otimes \cdots \otimes V^{(N)}$の元$\tau$は

$\sum _{i_{1},\ldots ,i_{m}}a^{i_{1},\ldots ,i_{m}}e_{i_{1}}^{(1)}\otimes \cdots \otimes e_{i_{m}}^{(m)}$

と書き表す事ができる事を証明できる。

$\tau$を別の基底で表したときの係数を$b^{j_{1}\ldots ,j_{m}}$とすると、$a^{i_{1}\ldots ,i_{m}}$と$b^{j_{1}\ldots ,j_{m}}$は基底変換による変換則で関係づけられる。したがってこれらの値は本稿の冒頭で述べたテンソルの3つの意味の3番目の意味のテンソルである。

なお、$V^{(i)}$として何らかのベクトル空間の双対空間を用いることもあり、その場合には$a^{i_{1}\ldots ,i_{m}}$添字を上ではなく下に書く習慣である（代わりに基底の添字を上に書く）。

構成的定義と基本的性質

テンソル積を定義する手法として

• 構成的定義
• 普遍性を用いた定義

の２つがある。本章では構成的定義の方を説明し、さらにテンソル積の基本性質について述べる。普遍性を用いた定義については次章で述べる。

定義

簡単のため２つのベクトル空間のテンソル積を述べるが、$m$個のベクトル空間のテンソル積も同様に定義できる。また本章で述べた定義と同様にして環上の加群のテンソル積も定義できる。

$K$を体とし、$V$、$W$を$K$上のベクトル空間とする。$v\in V$、$w\in W$に対し

$v\boxtimes w$

という記号を用意し、このような記号の形式的な（有限個の）線形和

$\sum _{i}a^{i,j}v_{i}\boxtimes w_{j}$ …(C1)

全体の集合を$V\boxtimes W$と書くと、$V\boxtimes W$は自然に$K$上のベクトル空間をなす。

$S\subset V\boxtimes W$を以下のいずれかの形で書ける元全体の集合とする：

1. $(av+bv')\boxtimes w-(a(v\boxtimes w)+b(v'\boxtimes w))$ …(C2)
2. $v\boxtimes (aw+bw')-(a(v\boxtimes w)+b(v\boxtimes w'))$ …(C3)

ここで$a$、$b$は$K$の任意の元であり、$v$、$v'$は$V$の任意の元であり、$w$、$w'$は$W$の任意の元である。

定義 (テンソル積の構成的定義) ―  記号を上のように定義するとき、

$V\otimes W:=V\boxtimes W/\mathrm {Span} (S)$

を$V$と$W$のテンソル積と呼び、$V\otimes W$の元をテンソルという。また$v\in V$、$w\in W$に対し$v\boxtimes w\in V\boxtimes W$の同値類を

$v\otimes w\in V\otimes W$

と書き、$v\otimes w$を$v$と$w$のテンソル積という。

３つ以上のベクトル空間のテンソル積に関しても同様に定義できる。

基本的性質

多重線形性

$S$の定義である(C2)、(C3)より、次が成立する。

定理 ―  テンソル積は以下を満たす：

1. $(av+bv')\otimes w=av\otimes w+bv'\otimes w$
2. $v\otimes (aw+bw')=av\otimes w+bv\otimes w'$

ここで$a$、$b$は$K$の任意の元であり、$v$、$v'$は$V$の任意の元であり、$w$、$w'$は$W$の任意の元である。

上記の性質は「$\otimes$」の左側、右側の双方において線形性が成り立つ事を意味している。この性質をテンソル積の双線形性（英: bilinearity）という。２つとは限らない複数のベクトル空間のテンソル積$v^{(1)}\otimes \cdots \otimes v^{(N)}$に関しても同様の事が言え、これを多重線形性（英: multilinearity）という。

本稿の概要においてテンソル積とは多重線形性と普遍性を満たす事だと説明したが、その「多重線形性」がここで説明したものである。普遍性については普遍性によるテンソル積の定義を説明するときに説明する。

テンソル積の具体的表記

$V\boxtimes W$の元が必ず(C1)の形に書けていた事から次がしたがう：

定理 ―  $V\otimes W$の元は必ず（有限個の）線形和

$\sum _{i,j}a^{i,j}v_{i}\otimes w_{j}$

の形に書き表せる。

基底による表現

$e_{1},\ldots ,e_{m}$を$V$の基底、$f_{1},\ldots ,f_{n}$を$W$の基底とし、$v\in V$、$w\in W$をこれらの基底を使って$\textstyle v=\sum _{i}v^{i}e_{i}$、$\textstyle w=\sum _{j}w^{j}f_{j}$と表記すると、双線形性から

$v\otimes w=\sum _{i,j}v^{i}w^{j}e_{i}\otimes f_{j}$

と書ける。$V\otimes W$の元は必ず$v\otimes w$の形の元の線形和で書けるので、以上の事から$V\otimes W$の元は必ず

$\sum _{i,j}a^{i,j}e_{i}\otimes f_{j}$

の形に書ける事がわかる。実は以下が成立する：

定理 ―  $e_{1},\ldots ,e_{m}$を$V$の基底、$f_{1},\ldots ,f_{n}$を$W$の基底とすると、$(e_{i}\otimes f_{j})_{i,j}$は$V\otimes W$の基底をなす。

上の定理からわかるように、$V$、$W$の基底を一組固定すると、$\sum _{i,j}a^{i,j}e_{i}\otimes f_{j}$という形の元が行列$(a^{i,j})_{i,j}$と１対１に対応する。

３つ以上のベクトル空間のテンソル積でも同様のことが成立する事を数学的帰納法により容易に証明できる。例えば３つのベクトル空間のテンソル積$V\otimes W\otimes U$の場合は任意の元は

$\sum _{i,j,k}a^{i,j,k}e_{i}\otimes f_{j}\otimes h_{k}$

のように一意に書け、この元は行列の代わりに$(a^{i,j,k})_{i,j,k}$と１対１対応する。

この意味において、基底を固定した場合のテンソル積は行列の拡張概念であり、$N$個のベクトル空間のテンソル積は定義体$K$の元を$N$次元的に並べた$N$次元配列であると解釈できる。基底を変えれば、テンソル積と$N$次元配列の対応関係は変わる。

単純テンソル

$V$、$W$のテンソル積$V\otimes W$には

$v\otimes w+v'\otimes w'$

など複数のテンソル積の和として書けるものも含まれる。そこで１つのテンソル積のみで書ける$V\otimes W$の元を単純テンソルもしくは基本テンソルと呼ぶ。３つ以上のベクトル空間のテンソル積に対しても同様。

前節の最後で述べたように、$V$、$W$の基底を固定したとき、$V\otimes W$に属する各テンソルは行列と１対１に対応するが、基本テンソルは

$(v^{i}w^{j})_{i,j}$

のよう書ける行列と対応している事を容易に示す事ができる。

物理学におけるテンソル

→詳細は「テンソル」を参照

物理学では数学の言葉使いとは若干異なり、「複数の添字をもっている量で適切な変換則を満たすもの」といった意味で「テンソル」という言葉を用いている。

これは物理学ではこれまで説明してきた（数学の意味での）テンソル概念と違い、個々の基底$\{e_{i}\}_{i}$、を固定したうえでそれぞれの基底に対する物理量の成分表示$(a^{i,j})_{i,j}$（＝「複数の添字を持っている量」）をスタートラインとしている事に起因する。（以下、$(a^{i,j})_{i,j}$が$a^{i,j}e_{i}\otimes e_{j}$の係数である場合を説明する）。

そしてこのような量が基底によらず同一の（数学の意味での）テンソルの成分表示になっているかを座標変換により確認する。すなわち、基底$\{e_{i}\}_{i}$、$\{{\hat {e}}_{s}\}_{s}$における物理量の成分表示がそれぞれ$(a^{i,j})_{i,j}$、$({\hat {a}}^{s,t})_{s,t}$であり、基底$\{e_{i}\}_{i}$、$\{{\hat {e}}_{s}\}_{s}$間の座標変換が$e_{i}=b_{i}{}^{s}{\hat {e}}_{s}$であるとき、$(a^{i,j})_{i,j}$、$({\hat {a}}^{s,t})_{s,t}$が「適切な変換則」

${\hat {a}}^{s,t}=a^{i,j}b_{i}{}^{s}b_{j}{}^{t}$

を満たす事を確認し、そのことをもってその物理量は（物理学の意味での）テンソルであるという。

添字の上下とアインシュタインの縮約記法

→詳細は「双対空間」および「アインシュタインの縮約記法」を参照

添字の上下

$V$をベクトル空間、$V^{*}$をその双対空間とする。$V$の元を書き表すときは

$\sum _{i}a^{i}v_{i}$

のようにスカラー$a^{i}\in K$の添字を上付き、ベクトル$v_{i}\in V$の添字を下付きに表す習慣である。一方$V^{*}$の元を書き表すときは逆に

$\sum _{i}a_{i}v^{i}$

のようにスカラー$a_{i}\in K$の添字を下付き、ベクトル$v^{i}\in V^{*}$の添字を上付きにする習慣である。

なお、（$V$が有限次元ベクトル空間であれば）二重に双対を取った$V^{**}$は$V$自身と等しいので、$V$、$V^{*}$のうちどちらを「もとの空間」、どちらを「双対空間」とするかはその場の議論で着目しているのがどちらの空間であるかによる。本稿では特に断りがなければ$V^{*}$のように「$*$」がついている方を双対空間とみなす事にする。

これまで本稿では登場するベクトル空間が双対空間ではない事を想定して添字をつけていたが、$V\otimes W^{*}$のように双対空間が登場するテンソル積の場合はその元を

$\sum _{i}a^{i}{}_{j}v_{i}\otimes w^{j}$

のように上述のルールにしたがって添字の上下をつける必要がある。

アインシュタインの縮約

テンソルを書き表す際、

$\sum _{i,j}a^{i,j}v_{i}w_{j}$

のように上付きの添字と下付きの添字で同一の記号が登場する（この例では$i$、$j$双方ともこの条件に該当）ときは和の記号を省略し

$a^{i,j}v_{i}w_{j}$

と表記するという規約（アインシュタインの縮約）があり、本稿でも以下これを採用する。

なお、同じ添字であっても上付き同士、下付き同士の場合は和を省略できない。例えば$\textstyle \sum _{ij}a^{ij}b_{i}c^{j}$では2つの$j$はいずれも上付きなので$\textstyle \sum _{j}a^{ij}b_{i}c^{j}$とは書けるが$\textstyle a^{ij}b_{i}c^{j}$とは書けない。

普遍性による定義

テンソル積の定義には、これまで紹介してきた構成的定義の他に普遍性を用いた定義がある。本章ではこの普遍性による定義を紹介する。そして前述した構成的定義によるテンソル積はこの普遍性による定義を満たす事、普遍性による定義を満たすテンソル積は自然な同型を除いて一意である事を見る。よって構成的定義と普遍性による定義は実質的に同一である。なお、ここでは２つのベクトル空間のテンソル積のみを紹介するが、３つ以上の場合も同様に定義できる。

これまで同様$K$を体とし、$V$、$W$を$K$上のベクトル空間とする。

準備：多重線形写像

普遍性による定義を与えるための準備として、多重線型写像の概念を導入する。可読性の観点からここでは双線形写像（＝空間が２つの場合の多重線型写像）の定義しか与えないが、多重線型写像も同様に定義できる。

定義 (双線形写像) ―  $X$を$K$上のベクトル空間とする。写像

$\varphi ~:~V\times W\to X$

が双線形写像（英: bilinear map）であるとは、任意の$a,b\in K$、任意の$v,v'\in V$、および任意の$w,w'\in W$に対し$\varphi$が以下の２つの性質を両方満たす事を言う：

1. $\varphi (av+bv',w)=a\varphi (v,w)+b\varphi (v',w)$
2. $\varphi (v,aw+bw')=a\varphi (v,w)+b\varphi (v,w')$

多重線形写像（英: multilinear map）は上述の定義を有限個のベクトル空間からの写像に自然に拡張したものである。

双線形写像の具体例としては、ベクトル空間の定義体$K$が実数体$\mathbb {R}$であり$V=W=\mathbb {R} ^{n}$、$Z=\mathbb {R}$とし、$\varphi$として内積

$\varphi ~:~(a,b)\in V\times W\to \sum _{i}a_{i}b_{i}\in Z$

を考えると$\varphi$は双線形写像になる。ここで$a=(a_{1},\ldots ,a_{n})$、$b=(b_{1},\ldots ,b_{n})$である。この例に限らず、対称双線型形式はいずれも$\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$から$\mathbb {R}$への双線形写像である。

定義のアイデア

定義を述べる前にその直観的意味を説明する。

$h~:~V\times W\to Z$

を任意の双線形写像とし、

$v\circledast w:=h(v,w)$

と定義すると、$v\circledast w$は$h$の双線形写像から

1. $(av+bv')\circledast w=av\circledast w+bv'\circledast w$
2. $v\circledast (aw+bw')=av\circledast w+bv\circledast w'$

というテンソル積と同様の性質を満たす。したがって$h$の像$h(V\times W)\subset Z$は$V$と$W$のテンソル積に類似したものになる。

しかしこのようなテンソル積の類似物は真のテンソル積よりも「小さい」ものになる。実際、前節で述べた内積の例だと、$h(V\times W)$は1次元しかない。したがってこのようなテンソル積の類似物の中で「最も大きい」ものを真のテンソル積$V\otimes W$であると定義する。

この「最も大きい」は上述したような任意の$h$および$Z$に対し、$\varphi (v,w):=v\otimes w$としたとき、写像${\tilde {h}}~:~V\otimes W\to Z$で

$h={\tilde {h}}\circ \varphi$

であるもの、すなわち任意の$v\in V$、$w\in W$に対し

$v\circledast w={\tilde {h}}(v\otimes w)$

であるものが一意に存在する事を持って定義する。（なぜ「一意」なのかは次節で説明する）。

どのように$h$、$Z$を選んでも$h(V\times W)$の元である$v\circledast w$が必ず$V\otimes W$の元である$v\otimes w$で表現できるのであるから、$V\otimes W$が「最も大きい」ものであるといえる。

定義

テンソル積を以下のように定義する：

定義 (普遍性によるテンソル積の定義) ― 

テンソル積の普遍性を表す可換図式

ベクトル空間$V\otimes W$と双線形写像$\varphi ~:~V\times W\to V\otimes W$の組$(V\otimes W,\varphi )$が$V$と$W$のテンソル積であるとは、任意のベクトル空間$Z$と任意の双線形写像$h~:~V\otimes W\to Z$に対し、ある線形写像${\tilde {h}}~:~V\otimes W\to Z$が一意に存在し、

$h={\tilde {h}}\circ \varphi$

が成立する事を言う。

$V\otimes W$の元をテンソルという。さらに$v\in V$、$w\in W$に対し、

$v\otimes w:=\varphi (v,w)$

と定義し、$v$と$w$のテンソル積という。

紛れがなければ$\varphi$を省略し、$V\otimes W$を$V$と$W$のテンソル積であるという。

上述の定義に関して２つ注意点を述べる。第一に、上記の定義において写像${\tilde {h}}$が一意であるという条件は$V\otimes W$が$v\otimes w$という形の元の有限和として書ける事を保証するために必要である。実際、「一意」という条件を外すのであれば、そのような形に書けない元をも含むような、$V\otimes W$よりもさらに大きい空間が条件を満たしてしまう。例えば$((V\otimes W)\times K,\varphi ')$も上記のテンソル積の条件を満たす事を容易に示せる。ここで$\varphi '$は$\varphi '(\tau ,k)=\varphi (\tau )$により定義される写像である。

第二に、３個以上のベクトル空間のテンソル積も上の定義と同様に定義できるのみならず、環上の加群のテンソル積、位相ベクトル空間のテンソル積、ヒルベルト空間のテンソル積なども上の定義で「ベクトル空間」となっているところをそれぞれ加群、位相ベクトル空間、ヒルベルト空間に置き換える事で定義できる。（環上の加群の場合はさらに定義体$K$を環に置き換える必要がある）。

なお、こうした位相ベクトル空間やヒルベルト空間におけるテンソル積は、これらの空間を位相や距離のないベクトル空間とみなしたときのテンソル積と同じものになるとは限らない。例えば２つのヒルベルト空間の（ヒルベルト空間としての）テンソル積は、これらの空間を距離のないベクトル空間としてテンソル積を取ったもの自身ではなく、それを完備化したものに一致する。

存在性と実質的な一意性

存在性

構成的定義によるテンソル積は普遍性による定義を満たす。よって特に普遍性による定義を満たすテンソル積が存在する。

定理 (普遍性による定義におけるテンソル積の存在性) ―  $V\otimes W$を構成的定義によるテンソル積とし、$\varphi$を

$\varphi ~:~(v,w)\in V\times W\mapsto v\otimes w\in V\otimes W$

とすると、$(V\otimes W,\varphi )$は普遍性による定義を満たす。

証明

$Z$を任意のベクトル空間、

$h~:~V\times W\to Z$

を任意の二重線形性とする。

$V$、$W$の基底$e_{1},\ldots ,e_{m}$、$f_{1},\ldots ,f_{n}$を固定し、

${\tilde {h}}~:~V\otimes W\to Z$

を

${\tilde {h}}~:~a^{i,j}e_{i}\otimes f_{j}\mapsto a^{i,j}h(e_{i},f_{j})$

により定義する（アインシュタインの縮約記法で記述）。すでに述べたように$V\otimes W$の元は必ず

$a^{i,j}e_{i}\otimes f_{j}$

という形に書け、しかも$(e_{i}\otimes f_{j})_{i,j}$は$V\otimes W$の基底になっていた事から上述の写像はwell-definedである。簡単な計算から

${\tilde {h}}\circ \varphi (v,w)={\tilde {h}}(v\otimes w)$$={\tilde {h}}(v^{i}e_{i}\otimes w^{j}f_{j})=v^{i}w^{j}h(e_{i},f_{j})$$=h(v^{i}e_{i},w^{j}f_{j})=h(v,w)$

が任意の$v=v^{i}e_{i}$、$w=w^{j}f_{j}$に対して成立する。ここで第一の等号は$\varphi$の定義、第二および第五の等号は$v$、$w$の成分表示、第三の等号は${\tilde {h}}$の定義、第四の$h$の二重線形性から従う。よって定理は示された。

上で「$v\otimes w$」という記号も構成的定義によるテンソル積のほうの意味で用いている事に注意されたい。

実質的な一意性

普遍性による定義を満たすテンソル積は自然な同型を除いて一意である。

定理 (普遍性による定義におけるテンソル積の自然な同型を除いた一意性) ―  ベクトル空間と二重線形写像の組$(X,\varphi )$、$(Y,\psi )$がいずれも$V$と$W$のテンソル積の（普遍性による）定義を満たせば、$X$と$Y$は自然に同型である。

ここで２つのベクトル空間$X$、$Y$が自然に同型であるとは$X$、$Y$の間の同型写像が$X$や$Y$の基底の取り方によらず定義可能である事を指す。

証明

$(X,\varphi )$が普遍性によるテンソル積の定義を満たすという条件を$(Z,h)=(Y,\psi )$という状況で用いる事により、写像${\tilde {h}}_{X}~:~X\to Y$で

$\psi ={\tilde {h}}_{X}\circ \varphi$

となるものが存在する事が言える。

同様に$(Y,\psi )$が普遍性によるテンソル積の定義を満たすという条件を$(Z,h)=(X,\varphi )$という状況で用いる事により、写像${\tilde {h}}_{Y}~:~Y\to X$で

$\varphi ={\tilde {h}}_{Y}\circ \psi$

となるものが存在する事が言える。

次に$(Z,h)$が$(X,\varphi )$自身である場合に対して$(X,\varphi )$が普遍性によるテンソル積の定義を満たすという条件を用いると、図式の可換性を用いる事により、

$\varphi =\varphi \circ ({\tilde {h}}_{Y}\circ {\tilde {h}}_{X})$

が示せるので、この場合における${\tilde {h}}$として${\tilde {h}}_{Y}\circ {\tilde {h}}_{X}$も選べる事がわかる。 しかし恒等写像$\mathrm {id} _{X}$も明らかにこの場合における${\tilde {h}}$の条件を満たすので、${\tilde {h}}$の一意性から

${\tilde {h}}_{Y}\circ {\tilde {h}}_{X}=\mathrm {id} _{X}$

が言える。

$(X,\varphi )$と$(Y,\psi )$の立場を入れ替えて同様の議論をすることで

${\tilde {h}}_{X}\circ {\tilde {h}}_{Y}=\mathrm {id} _{Y}$

も言える。よって

${\tilde {h}}_{X}~:~X\to Y$

は同型写像である。

上述した（自然な同型を除いた）一意性を用いる事により、

• $V\otimes W\cong W\otimes V$
• $V\otimes W\otimes U\cong V\otimes (W\otimes U)\cong (V\otimes W)\otimes U$

といった性質を示す事ができる。圏論的には、これはベクトル空間の圏が対称モノイド圏（＝ある種のテンソル積を持つ圏）の例となることを意味している。

線型写像のテンソル積

$X$、$Y$をベクトル空間とし、$f~:~V\to X$、$g~:~W\to Y$を線形写像とし、$f\times g~:~(v,w)\in V\times W\to (f(v),g(w))\in X\times Y$とし、さらに$t~:~(v,w)\in V\times W\mapsto v\otimes w\in V\otimes W$とする。

$Z=X\times Y$と合成写像

$h~:~V\times W{\overset {f\times g}{\to }}X\times Y{\overset {t}{\to }}X\otimes Y$

に対して$V\otimes W$の普遍性による定義を用いることにより、線形写像${\tilde {h}}~:~V\otimes W\to X\otimes Y$で

$h(v,w)={\tilde {h}}(v\otimes w)$

が任意の$(v,w)\in V\times W$に対して成立するものを構成できる。

定義 (写像のテンソル積) ―  記号を上述のように取るとき、線形写像${\tilde {h}}$を$f\otimes g$と表記し、

$f\otimes g~:~V\otimes W\to X\otimes Y$

を$f~:~V\to X$と$g~:~W\to Y$のテンソル積と呼ぶ。

３つ以上のテンソル積のケースも同様に定義できる。

$f\otimes g$は具体的には以下のような写像になる：

$f\otimes g~:~\sum _{i}v_{i}\otimes w_{i}\in V\otimes W\mapsto \sum _{i}f(v_{i})\otimes g(w_{i})\in X\otimes Y$

圏論的には、ベクトル空間の圏を$\mathrm {Vec}$とすると、ベクトル空間のテンソル積を取る行為、線形写像のテンソル積を取る行為をそれぞれ$\mathrm {Vec} \times \mathrm {Vec}$の対象と射に$\mathrm {Vec}$の対象と射を対応させる行為だとみなす事で、テンソル積$\mathrm {Vec} \times \mathrm {Vec}$から$\mathrm {Vec}$への双函手であるとみなせる。

具体例

線形写像、多重線型写像

$V$、$W$を$K$上の有限次元ベクトル空間とし、$\mathrm {Hom} (V,W)$を$V$から$W$への線形写像全体の空間とする。このとき次が成立する。

定理 ― $\mathrm {Hom} (V,W)$は$V^{*}\otimes W$とベクトル空間として自然に同型である。

具体的には、$(a,w)\in V^{*}\times W$に対し双線形写像

$v\in V\mapsto a(v)w\in W$

を対応させる写像を$\Phi ~:~~V^{*}\times W\to \mathrm {Hom} (V,W)$とすると、普遍性による定義より$\Phi$が誘導する写像

${\tilde {\Phi }}~:~V^{*}\otimes W\to \mathrm {Hom} (V,W)$

が両者の同型写像になる。

証明

$f_{1},\ldots ,f_{m}$を$W$の基底とすると、任意の線形写像$F\in L(V,W)$に対し、$K$に値を取るある線形写像$a^{1},\ldots ,a^{m}~:~V\to K$が存在し、

$F(v)=a^{j}(v)f_{j}$

の形に一意に書ける。双対空間の定義から、$a^{j}\in V^{*}$である。そこで$L(V,W)$から$V^{*}\otimes W$への線形写像$\Psi$を

$\Psi ~:~F\in L(V,W)\mapsto a^{j}\otimes f_{j}\in V^{*}\otimes W$

により定義すると、定義から明らかに$\Psi$は${\tilde {\Phi }}$の逆写像である。

なお、上では$V$、$W$が双方とも有限次元である事を仮定したが、実は$V$、$W$のいずれか一方のみが有限次元の場合も上記の定理は成立する事が知られている。

$V_{1},\ldots ,V_{N},W$を$K$上の有限次元ベクトル空間とすると、上と同様の証明により以下が成立する事も証明できる：

定理 ― 多重線型写像全体のなすベクトル空間$\mathrm {Hom} _{\mathrm {mul} }(V_{1}\times \cdots \times V_{N},W)$は$V_{1}{}^{*}\otimes \cdots \otimes V_{N}{}^{*}\otimes W$とベクトル空間として自然に同型である。

さらに$V$、$W$、$U$をいずれも$K$上のベクトル空間とすると、以下も示す事ができる：

定理 ― $\mathrm {Hom} (V\otimes W,U)$は$\mathrm {Hom} (V,\mathrm {Hom} (W,U))$と自然に同型である。

具体的には$F\in \mathrm {Hom} (V\otimes W,U)$と$v\in V$に対し、

$F_{v}~:~w\in W\mapsto F(v\otimes w)\in U$

と定義すると、

$F\in \mathrm {Hom} (V\otimes W,U)\mapsto F_{v}\in \mathrm {Hom} (V,\mathrm {Hom} (W,U))$

が自然な同型写像になる。圏論の言葉で言えば、これはHom函手の左随伴性に相当する。

係数拡大

→「係数拡大」も参照

$V$を体$K$上のベクトル空間とし、$L$を$K$の拡大体とするとき、

$V_{L}:=L\otimes _{K}V$

とすると、$V_{L}$には自然に$L$上ベクトル空間の構造が入る。ここでテンソル積は$L$を$K$上ベクトル空間とみなしたときのものである。$V_{L}$を$V$の$L$への係数拡大という。

具体的には$V_{L}$の加法は$K$上ベクトル空間としての加法であり、$L$の元によるスカラー倍は

$a\cdot (b\otimes v):=(ab)\otimes v$

により定義する。ここで$a,b\in L$、$v\in V$である。

係数拡大について２つ注意を述べる。第一に、$\{e_{\lambda }\}_{\lambda }$を$V$の基底とすると、$\{1\otimes _{K}e_{\lambda }\}_{\lambda }$が$V_{L}$の基底になることを容易に示せるので、$V$の$K$上の次元と$V_{L}$の$L$上の次元は等しい。

第二に係数拡大は環上の加群に対しても同様にできるが、その中でも特に（上述の記号で言えば）環$K$が整域であるとき$L$として$K$の商体を取る事で加群から商体上のベクトル空間を作る事ができる。

群の表現のテンソル積

$G$を群とし、$K$を体とし、$V_{1},\ldots ,V_{N}$を$K$上ベクトル空間とし、$G$の$V_{1},\ldots ,V_{N}$への表現

$\rho _{i}~:~G\to GL(V_{i})(i=1,\ldots ,n)$

が与えられたとき、$g\in G$に対し$V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}$上の線形自己同型写像

$v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}\mapsto \rho _{1}(g)v_{1}\otimes \dotsb \otimes \rho _{n}(g)v_{n}$

を対応させる事で、

$G$の$V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{N}$への表現

$\rho _{1}\otimes \dotsb \otimes \rho _{n}~:~G\to GL(V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{n})$

を構成できる。この$\rho _{1}\otimes \dotsb \otimes \rho _{n}$を表現$\rho _{1},\ldots ,\rho _{n}$のテンソル積と呼ぶ。

テンソル空間

→詳細は「テンソル空間」を参照

ベクトル空間$V$とその双対空間$V^{*}$をそれぞれ$m$個、$n$個テンソル積してできるベクトル空間

$T_{n}^{m}(V)=\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{m{\text{ copies}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{n{\text{ copies}}}$

を$(m,n)$-テンソル空間という。テンソル空間にはテンソル積による自然な同型

$T_{n}^{m}(V)\otimes T_{s}^{r}(V){\overset {\sim }{\to }}T_{n+s}^{m+r}(V)$

が定められる。

テンソル積の普遍性より、写像

$(v,\alpha )\in V\times V^{*}\mapsto \alpha (v)\in K$

が$(1,1)$-テンソル空間に誘導する写像

$v\otimes \alpha \in V\otimes V^{*}\mapsto \alpha (v)\in K$

を縮約写像と呼び、$v\otimes \alpha$に縮約写像を適応した結果を$v\otimes \alpha$の縮約という。

$(m,n)$-テンソル空間$V$の$i$個目のコピーと$V^{*}$の$j$個目のコピーに縮約写像を適用する事で、

$T_{q}^{p}(V)\to T_{q-1}^{p-1}(V)$

を定義できる。

テンソル積を用いた概念

テンソル代数

→詳細は「テンソル代数」を参照

$V$を体$K$上のベクトル空間とする。非負整数$k$に対し$V$の$k$個のテンソル積

$\otimes ^{k}V:=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{k}$

を$V$の$k$次のテンソル冪という。テンソル冪には

$V^{\otimes k}$、${\overset {k}{\otimes }}V$

という記号を用いる場合もある。

定義 ―  テンソル冪$\otimes ^{0}V$、$\otimes ^{1}V$、$\otimes ^{2}V$、$\ldots$の有限個の線形和全体の集合

$\otimes V:=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\otimes ^{k}V$

を$V$のテンソル代数という。

上の定義において、$\otimes ^{0}V=K$とみなす。

$V$のテンソル代数にはテンソル積により積構造が入り、この積により$K$上の次数付き多元環となる。

$A$を$K$上の任意の多元環とし、$f~:~V\to A$を任意の線形写像とすると、$f$を

$v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}\mapsto f(v_{1})\cdots f(v_{n})$

となるように自然に拡張する事で、$V$のテンソル代数から$A$への写像

$f_{*}~:~\otimes V\to A$

を誘導する（テンソル代数の普遍性）。

対称積

→詳細は「対称代数」および「対称テンソル」を参照

概要

$V$を体$K$上のベクトル空間とし、$k$を非負整数とする。このとき$V$の$k$次の対称積$\odot ^{k}V$とはテンソル冪$\otimes ^{k}V$におけるテンソル積を「対称化」して得られるベクトル空間の事である。

より正確に言うと、$\odot ^{k}V$は

$v_{1}\odot \cdots \odot v_{k}$ where $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$

という形の元の有限個の線形和で表せる元全体の集合である。$v_{1}\odot \cdots \odot v_{k}$はテンソル積と同様、各成分に対して線形性を満たすが、テンソル積とは違い、成分を入れ替える事ができる。たとえば$k=2$なら

$v_{1}\odot v_{2}=v_{2}\odot v_{1}$

である。

なお、対称積は$v_{1}\odot v_{2}$という記号のほか、$v_{1}\bullet v_{2}$、$v_{1}\vee v_{2}$などの記号が使われる事もある。

構成的な定義

対称積もテンソル積と同様、構成的な手法による定義と普遍性による定義が存在する。本節では構成的な手法を紹介する。

${\mathcal {S}}_{n}$を$n$次の対称群とするとき、$v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$と置換$\sigma \in {\mathcal {S}}_{n}$を用いて

$v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{k}-v_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (k)}$

の形に書ける$\otimes ^{k}V$の元全体の集合を$S_{k}$とする。

対称積の構成的定義 ―  記号を上のように定義するとき、

$\odot ^{k}V:=\otimes ^{k}V/\mathrm {Span} (S_{k})$

を$V$の$k$次の対称積（英: the symmetric product）という。さらに$v_{1}\odot \cdots \odot v_{k}$を$v_{1},\ldots ,v_{k}$の対称積という。

普遍性による定義

対称積の普遍性による定義を導入するため、以下の概念を導入する。

定義 ―  写像$h~:~V^{k}\to Z$が対称であるとは任意の置換$\sigma \in {\mathcal {S}}_{k}$に対し、

$h(v_{\sigma (1)},\ldots ,v_{\sigma (k)})=h(v_{1},\ldots ,v_{k})$

が成立する事を言う。

対称積の定義は、テンソル積の定義では「任意の多重線形写像」であったところを「任意の対称な多重線形写像」に置き換える事により得られる：

定義 (普遍性による対称積の定義) ―  ベクトル空間$\odot ^{k}V$と対称な多重線形写像$\varphi ~:~V^{k}\to \odot ^{k}V$の組$(\odot ^{k}V,\varphi )$が$V$の$k$次の対称積であるとは、任意のベクトル空間$Z$と任意の対称な多重線形写像$h~:~V^{k}\to Z$に対し、ある線形写像${\tilde {h}}~:~\odot ^{k}V\to Z$が一意に存在し、

$h={\tilde {h}}\circ \varphi$

が成立する事を言う。

対称代数

対称代数の有限個和全体の集合

$\odot V:=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\odot ^{k}V$

を対称代数（英: symmetric algebra）と呼ぶ。対称代数は対称積に関して対称な多元環をなす。

交代積

→詳細は「外積代数」および「交代テンソル」を参照

概要

対称積が積の順序交換が可能な積であったのに対し、交代積$\wedge ^{k}V$は順序を交換すると符号が反転する積である。

より正確に言うと、$\wedge ^{k}V$は

$v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k}$ where $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$

という形の元の有限個の線形和で表せる元全体の集合である。$v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k}$はテンソル積と同様、各成分に対して線形性を満たすが、成分を入れ替えると符号が反転する。たとえば$k=2$なら

$v_{1}\wedge v_{2}=-v_{2}\wedge v_{1}$

である。交代積は外積（英: exterior product）あるいはグラスマン積（英: Grasmann product）とも呼ばれる。

構成的な定義

交代積構成的な手法による定義と普遍性による定義が存在する。本節では構成的な手法を紹介する。

${\mathcal {S}}_{n}$を$n$次の対称群とするとき、$v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$と置換$\sigma \in {\mathcal {S}}_{n}$を用いて

$v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{k}-\mathrm {sgn} (\sigma )v_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (k)}$

の形に書ける$\otimes ^{k}V$の元全体の集合を$A_{k}$とする。ここで$\mathrm {sgn} (\sigma )$は置換$\sigma$の符号数である。

交代積の構成的定義 ―  記号を上のように定義するとき、

$\wedge ^{k}V:=\otimes ^{k}V/\mathrm {Span} (A_{k})$

を$V$の$k$次の交代積（英: the alternating product）という。さらに$v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k}$を$v_{1},\ldots ,v_{k}$の交代積という。

普遍性による定義

交代積の普遍性による定義は、対称積で「対称な多重線型写像」としていたところを「交代多重線型写像」に置き換えるだけである。

定義 ―  多重線型写像$h~:~V^{k}\to Z$が交代多重線型写像であるとは任意の置換$\sigma \in {\mathcal {S}}_{k}$に対し、

$h(v_{\sigma (1)},\ldots ,v_{\sigma (k)})=\mathrm {sgn} (\sigma )h(v_{1},\ldots ,v_{k})$

が成立する事を言う。

定義 (普遍性による交代積の定義) ― ベクトル空間$\wedge ^{k}V$と対称な多重線形写像$\varphi ~:~V^{k}\to \wedge ^{k}V$の組$(\wedge ^{k}V,\varphi )$が$V$の$k$次の交代積であるとは、任意のベクトル空間$Z$と任意の交代多重線形写像$h~:~V^{k}\to Z$に対し、ある線形写像${\tilde {h}}~:~\wedge ^{k}V\to Z$が一意に存在し、

$h={\tilde {h}}\circ \varphi$

が成立する事を言う。

交代代数

交代代数の有限個和全体の集合

$\wedge V:=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\wedge ^{k}V$

を交代代数と呼ぶ。交代代数は交代積に関して歪対称な多元環をなす。交代代数はグラスマン代数、外積代数とも呼ばれる。

なお、交代代数の定義で直和を無限大までとしているが、$V$が$n$次元であれば$n+1$個以上の交代積は必ず$0$になることが知られているので、実際は$n$までの直和でよい。

関連項目

• 加群のテンソル積: 可換環 R 上の加群に関してはベクトル空間のテンソル積と同じ形の関係式による商加群として（あるいは同じ形の普遍性により）加群のテンソル積が定義され、ふたたび R-加群となる。R が非可換環の場合には、スカラー倍に関する条件を少し変えて加群の間のテンソル積が定義されるが、それは単なるアーベル群（Z-加群）として得られる。
• 多元環のテンソル積: 単位的可換環 K 上の多元環 A, B に対し、K 上の加群としてのテンソル積には、(α ⊗ β)(α′ ⊗ β′) = (αα′)⊗(ββ′) (∀α, α′ ∈ A, β, β′ ∈ B) となるような乗法が一意的に定義できて K 上の多元環となる。
• 加群の層のテンソル積
• ヒルベルト空間のテンソル積
• 位相線型空間のテンソル積
• 次数付き線型空間のテンソル積
• 二次形式のテンソル積
• グラフのテンソル積

テンソル積の最も一般の形はモノイド圏におけるモノイド積 (monoidal product) として定式化することができる。

注

参考文献

• Bourbaki, Nicolas (1989). Elements of mathematics, Algebra I. Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9 
• Halmos, Paul (1974). Finite dimensional vector spaces. Springer. ISBN 0-387-90093-4 .
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Zbl 0984.00001, MR 1878556 
• Mac Lane, S.; Birkhoff, G. (1999). Algebra. AMS Chelsea. ISBN 0-8218-1646-2 
• Aguiar, M.; Mahajan, S. (2010). Monoidal functors, species and Hopf algebras. CRM Monograph Series Vol 29. ISBN 0-8218-4776-7 
• “Bibliography on the nonabelian tensor product of groups”. 2015年6月10日閲覧。

外部リンク

• Weisstein, Eric W. “Tensor Product”. mathworld.wolfram.com (英語). / Rowland, Todd. “Vector Space Tensor Product”. mathworld.wolfram.com (英語).
• tensor product in nLab
• tensor product - PlanetMath.（英語）
• Definition:Tensor Product at ProofWiki
• Onishchik, A.L. (2001) [1994], “Tensor product”, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press