アインシュタインの縮約記法

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アインシュタインの縮約記法(アインシュタインのしゅくやくきほう、Einstein summation convention)またはアインシュタインの記法(アインシュタインのきほう、Einstein notation)は、アインシュタインが 1916 年に用いた添字 (suffix) の和の記法[1]アインシュタインの規約(アインシュタインのきやく、Einstein convention)とも呼ばれる。

同じ項で添字が重なる場合は、その添字について和を取る、というルールである。この重なる指標を擬標(またはダミーの添字、dummy index)、重ならない指標を自由標(またはフリーの添字、free index)と呼ぶ。

このルールは一般相対性理論量子力学連続体力学有限要素法などで重宝する。

アインシュタインはこの記法を自分の「数学における最大の発見」と(冗談めかして)言ったという[2]

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4 次元空間におけるベクトル aμbμ (μ = 1, 2, 3, 4) の内積を記すときには、aμ bμ となる。これは、具体的に書けば

a^\mu b_\mu = a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3+ a^4 b_4

を意味することになる。

計量 (metric) が gμν (μ = 0, 1, 2, 3) として表される曲がった時空においては、ベクトルの内積は

a^\mu b_\mu = g_{\mu \nu} a^\mu b^\nu = \sum_{\mu,\nu=0}^3 g_{\mu \nu} a^\mu b^\nu

と記述される。最後の式は 4 次元の場合の縮約を、和の形で書いたものである。

特に特殊相対性理論場の量子論で標準的に用いられるミンコフスキー空間での内積は、計量を ημν = diag(1, -1, -1, -1) とするとき

\mathbf{} a^\mu b_\mu = a^0 b^0 - a^1 b^1 - a^2 b^2 - a^3 b^3

となる(宇宙論などでは、符号を逆に取る流儀もある)。

参考文献[編集]

  1. ^ Einstein, Albert (1916). “The Foundation of the General Theory of Relativity” (PDF). Annalen der Physik. http://www.alberteinstein.info/gallery/gtext3.html 2006年9月3日閲覧。. 
  2. ^ ダニエル・フライシュ; 河辺哲次訳 『物理のためのベクトルとテンソル』 岩波書店、2013年、139頁。ISBN 978-4-00-005965-7= 

関連項目[編集]