曲率形式

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微分幾何学では、曲率形式(curvature form)は、主バンドル上の接続形式曲率を記述する。リーマン幾何学では、曲率形式は、リーマン曲率テンソルの代行物か一般化と考えることができる。

定義[編集]

G をリー代数 をもつリー群とし、P → B を主 G-バンドルとする。P 上のエーレスマン接続英語版(Ehresmann connection)を ω とする。(エーレスマン接続は、P 上の に値を持つ 1-形式である。)

すると、曲率形式は P 上の に値を持つ 2-形式であり、

により定義される。

ここで、外微分を表し、 により定義され、D は共変外微分英語版(exterior covariant derivative)である。別な表現をすると、

である。

ベクトルバンドルの曲率形式[編集]

E → B をベクトルバンドルとすると、ω を 1-形式の行列とも考えることができるので、上の式は構造方程式

となる。ここに ウェッジ積とする。さらに詳しくは、 で、それぞれ ω と Ω の成分を表すとすると(各々の は通常の 1-形式で、各々の は通常の 2-形式である)、

となる。

例えば、リーマン多様体接バンドルに対して、構造群は O(n) であり、Ω は O(n) のリー代数に値をもつ 2-形式であり、反対称行列である。この場合には、曲率形式 Ω は曲率テンソルで記述すると、 となる。

ビアンキ恒等式[編集]

が標構バンドル上のベクトルに値を持つ標準 1-形式であれば、接続形式 トーション は、ベクトルに値を持つ 2-形式で、次の構造方程式によって定義される。

ここに、上記のように、D は共変外微分英語版(exterior covariant derivative)である。

第一ビアンキ恒等式は、

であり、第二ビアンキ恒等式は、

で、より一般的な主バンドルのに任意の接続に対して有効である。

参考文献[編集]

関連項目[編集]