転置行列

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転置行列(てんちぎょうれつ、: transpose [of a matrix], transposed matrix)とは mn 列の行列 A に対して A(i, j) 要素と (j, i) 要素を入れ替えた nm 列の行列、つまり対角線で成分を折り返した行列のことである。転置行列は tA, AT, A, Atr などと示される。行列の転置行列を与える操作のことを転置(てんち、: transpose)といい、「A を転置する」などと表現する。

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行列

に対して転置行列 A, B はそれぞれ

である。

性質[編集]

A, B は行列、k, r はスカラーとして各演算が定義できる限りにおいて以下のことが成り立つ。

  • 転置の転置は元の行列を与える(対合性):(A) = A
  • 和の転置は転置の和を与える(加法性):(A + B) = A + B
  • 行列のスカラー倍の転置は転置行列のスカラー倍を与える(斉次性):(kA) = k(A)
    • 斉次性および加法性から線型性が成り立つ:(kA + rB) = k(A) + r(B)
  • 積の転置は積の左右を入れ替えた転置の積を与える:(AB) = BA
  • 逆行列の転置は転置の逆行列を与える:(A−1) = (A)−1
  • n正方行列 Aトレースtr A とすると tr A = tr(A)
  • n 次正方行列 A行列式det A とすると det A = det(A)
  • n 次正方行列 A と標準内積 ·, · に関して Ax, y = x, Ay任意n 次元ベクトル x, y に対して成り立つ。

転置が特別な性質を持つものとして次のような行列がある。

  • 対称行列:転置が元の行列と等しい(A = A)。
  • 反対称行列:転置が元の行列に −1 をかけたものになる(A = −A)。
  • 直交行列:転置が元の行列の逆行列になる(A = A−1)。

これらの行列はそれぞれ随伴行列(行列のエルミート共役)に対するエルミート行列歪エルミート行列ユニタリ行列に相当する。

線形写像との関係[編集]

m × n 行列 An 次元ベクトル空間 V から m 次元ベクトル空間 W への線形写像 f : VW とみなすとき、A の転置行列 A には f の転置写像 f が対応する。これは W双対空間 W* から V の双対空間 V* への線形写像 f : W*V* で、y*W* に対して

によって定義される[1]。この定義は yWy*W* の自然なペアリングを y*(y) = y, y* と表記すれば、xV に対して

という関係式によって書き直すこともできる[2]

脚注[編集]

参考文献[編集]

関連項目[編集]