計量テンソル

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計量テンソル(けいりょうテンソル、metric tensor)は、リーマン幾何学において、空間内の距離角度を定義する、階数(rank)が2のテンソルである。 多様体が与えられたとき、多様体の接空間で、滑らかに変化する非負の2次関数を選ぶことができる場合、その多様体をリーマン多様体と呼ぶ。そのため、計量テンソルは、リーマン計量(Riemannian metric)と呼ばれることもある。

ひとたび、ある座標系 xi が選ばれると、計量テンソルは行列形式で定義される。通常、Gとして表記され、各成分は、 として表される。以下では、添え字の和に関してアインシュタインの縮約記法を用いる。


a から b までの曲線の長さは、 をパラメータとして、

として定義される。2つの接ベクトル(tangent vector) のなす角度 は、

で与えられる。


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ユークリッド計量[編集]

2次元のユークリッド計量(平らな空間)は、

,  

で与えられ、曲線の長さは、良く知られた公式

で与えられる。

座標系を替えたユークリッド計量の例をいくつか示す。

極座標(Polar coordinates)
,  
円筒座標(Cylindrical coordinates)
 
,  
球座標(Spherical coordinates)
,  
平らな ミンコフスキー空間(flat Minkowski space)
,