エネルギー・運動量テンソル

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エネルギー・運動量テンソル(エネルギーうんどうりょうテンソル、英語: energy-momentum tensor, stress-energy tensor, stress-energy-momentum tensor)とは、質量密度エネルギー密度エネルギー流運動量密度応力相対性理論に基づいた形式で記述した物理量である。 一般相対性理論において、アインシュタイン方程式の物質分布を示す項として登場し、重力を生じさせる源(source term)としての意味を持つ。 エネルギー・運動量テンソルは二階のテンソルであり、記号は T^{\mu\nu} で表されることが多い。アインシュタイン方程式で、真空の状況を考える時は、T^{\mu\nu}=0 とすればよい。

エネルギー・運動量テンソル T^{\mu\nu} は、定義から明らかに対称テンソルである。 以下では、時間座標を0成分とし、空間座標を1,2,3成分とする添字を使い、計量(metric)の符号は(-,+,+,+)\,とする。また、アインシュタインの縮約記法を用いる。

共変微分をもちいて

T^{\mu\nu}{}_{;\mu}=0\,

とすれば、これは、共変形式のエネルギー・運動量保存則を表すことになる。

定義[編集]

エネルギー・運動量テンソルはネーターの定理により、時空の併進対称性の保存電流(ネーターカレント)として定められる。

作用積分

S[\phi]= \int d^4x\, \mathcal{L}(\phi,\partial\phi)

と書かれているとき、時空の微小な併進 x → x' = x + ξ に対して、φ'(x')=φ(x) が成り立つ。 従って、場は

\delta_\xi\phi(x) = \phi'(x)-\phi(x)=\phi(x-\xi)-\phi(x)
 =-\xi^\mu\partial_\mu\phi(x)

と変換される。 エネルギー・運動量テンソルは

  • T^\nu_\mu := \frac{\partial\mathcal{L}}{ \partial(\partial_\nu\phi)} \partial_\mu\phi - \delta^\nu_\mu \mathcal{L}

となる。

別の定義の仕方として、計量の変分により定義する方法がある。 作用積分が

S[g,\phi] = \int d^4x\, \mathcal{L}(g,\partial g,\phi,\partial\phi)

と書かれているとき、計量の変分

g^{\mu\nu}(x) \to g'^{\mu\nu}(x)=g^{\mu\nu}(x)+\delta g^{\mu\nu}(x)

に対して、

\frac{1}{2}\sqrt{-g}T_{\mu\nu}
 = \frac{\delta S}{\delta g^{\mu\nu}(x)}
 = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial g^{\mu\nu}}
 -\partial_\alpha \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\alpha g^{\mu\nu})}

で定義される。


各成分の意味[編集]

応力エネルギーテンソル
  • 時間-時間成分、即ち T^{00}\, は、エネルギー密度である。
  • 時間-空間成分、即ち T^{0j}\, は、x^j\,の方向へのエネルギーの流れである。
  • 空間-時間成分、即ち T^{i0}\, は、i-成分の運動量密度である。
  • 空間成分、即ち T^{ij}\, は、x^j\,の方向への i-成分の運動量の流れである。

完全流体近似のエネルギー・運動量テンソル[編集]

物質の平均自由行程が全体のスケールに比べて短いとき、流体近似が可能である。さらに、 流体の静止系に乗ったときに、圧力が等方的であり(応力テンソルが対角的であり)、粘性のない場合、 完全流体として考えることができる。このとき、一般に次のように仮定することができる。

 T^{\mu\nu} = (\rho + p) u^\mu u^\nu + g^{\mu\nu}p\,

\rho, p\, は、静止系で観測したときの質量エネルギー密度と圧力であり、 g^{\mu\nu}, u^\mu\, は、計量テンソル・流体の4元速度ベクトル(共動座標系ならば、u^\mu=(1,0,0,0)\,、流体速度をv^i\, と観測する場合にはu^\mu=(1,v^i)\,)である。この仮定は、宇宙モデルを論じるときに通常用いられる。

非相対論的な場合、g_{\mu\nu}\approx \eta_{\mu\nu}, \, |v^i| \ll 1, \, p\ll \rho\, となるから、行列形式で成分を書くと

T^{\mu\nu} = \begin{pmatrix}\rho &\rho v_x & \rho v_y &\rho v_z\\
\rho v_x&p+\rho v_x^2&\rho v_x v_y&\rho v_x v_z\\
\rho v_y&\rho v_x v_y&p+\rho v_y^2&\rho v_y v_z\\
\rho v_z&\rho v_x v_z&\rho v_y v_z&p+\rho v_z^2\end{pmatrix}

となる。この空間成分は、古典的流体力学の応力テンソル

\pi^{ij} = \rho v^i v^j + p \delta^{ij}\,

と一致する。

電磁場のエネルギー・運動量テンソル[編集]

電磁場のラグランジアン密度

\mathcal{L}_\mathrm{em}(g, \partial g, A, \partial A)
 = -\frac{1}{16\pi} \sqrt{-g} g^{\mu\nu} g^{\rho\sigma}F_{\mu\rho} F_{\nu\sigma}

からエネルギー・運動量テンソルを計算すると

T_{\mu\nu} = -\frac{1}{4\pi}(g^{\rho\sigma}F_{\mu\rho} F_{\nu\sigma}
 -\frac{1}{4}g_{\mu\nu} F^{\rho\sigma} F_{\rho\sigma})

となる。ここで、F_{\mu\nu} =\partial_\mu A_\nu -\partial_\nu A_\mu電磁場テンソルA_\mu電磁ポテンシャルである。

T_{00} は電磁場のエネルギー密度T_{0j} 及びT_{i0}ポインティング・ベクトルT_{ij}マクスウェルの応力テンソルである。

関連項目[編集]