ブラ-ケット記法

ブラ-ケット記法（ブラ-ケットきほう、英: bra-ket notation）は、量子力学における量子状態を記述するための標準的な記法である。

この名称は、2つの状態の内積がブラケットを用いて ⟨φ|ψ⟩ のように表され、この左半分 ⟨φ| をブラベクトル、右半分 |ψ⟩ をケットベクトルと呼ぶことによる。この記法はポール・ディラックが発明したため、ディラックの記法とも呼ぶ。

ブラの随伴はケット、ケットの随伴はブラである。

$\langle \psi |^{\dagger }=|\psi \rangle ,\quad |\psi \rangle ^{\dagger }=\langle \psi |$

また、ある状態 $|\psi \rangle$ において、可観測量 ${\hat {O}}$ の期待値 $\langle O\rangle$は演算子をブラとケットで挟んだものである。

$\langle O\rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle$

初学者向けの説明として、ケットは列ベクトル、ブラは行ベクトルに対応させる場合がある（行列表示を参照）。

この記法の利点として

• 基底に依存しない記述が可能
• 固有値が離散、連続どちらの場合も統一的に扱える
• 中身の書き方を自由に工夫して記述できる（パラメータだけを並べて |n, l, m⟩ としたり、|生きている猫⟩ と書くこともできる）

などがある。

この記法は量子力学で多用される内積記法である。ディラックの説明によればケット |ψ⟩ の空間においてブラ ⟨φ| は線形汎関数を表す、すなわちブラは双対空間に属しており、無限次元の場合ブラの空間はケットの空間より広い場合がある。しかし、ブラの空間にはケットの空間と同型の部分空間が必ず存在し、ケットの内積は常に定義できる。量子力学においては、ケットもブラも量子状態を過不足なく表すもので、ケットに対応しないブラには物理的意味がないので、ブラの空間としてはケットの空間と同型のものしか考えない。

正規直交基底とブラケット記法

正規直交基底のうち2つのラベルを α, β として、内積をブラ-ケット記法で表すと、離散基底ではクロネッカーのデルタを用いて

$\langle \alpha |\beta \rangle =\delta _{\alpha ,\beta },$

連続基底ではデルタ関数を用いて

$\langle \alpha |\beta \rangle =\delta (\alpha -\beta )$

となる。

また正規直交基底の完全性は離散基底、連続基底でそれぞれ

${\begin{aligned}\sum _{\alpha }|\alpha \rangle \langle \alpha |&=1,\\\int \mathrm {d} \alpha ~|\alpha \rangle \langle \alpha |&=1\end{aligned}}$

と表現される。ただし連続基底の場合の第2式は数学的に問題があると指摘されている（量子力学の数学的定式化#スペクトル分解と観測も参照）。

第二量子化とブラケット記法

第二量子化された粒子生成演算子 a^† を用いて2粒子状態を

$|\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle$

と定義する。この時 a^† がフェルミ粒子を表す演算子なら、これらは反交換関係 {a †
α , a †
β } = 0 を満たすので、

$|\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle =-a_{\beta }^{\dagger }a_{\alpha }^{\dagger }|0\rangle =-|\beta \alpha \rangle$

となり、反対称化されている。

また a^† がボース粒子を表す演算子であれば、これらは交換関係 [a †
α , a †
β ] = 0 を満たすので、

$|\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle =a_{\beta }^{\dagger }a_{\alpha }^{\dagger }|0\rangle =|\beta \alpha \rangle$

となり、対称化されている。

波動関数との関係

ケット |ψ⟩ と、（位置表示の）波動関数 ψ(x) の関係は以下のように表される。

$\psi (x)=\langle x|\psi \rangle ,\quad |\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\ \psi (x)\ |x\rangle$

ただし、位置を表す演算子 ${\hat {x}}$ の固有値を x 、対応する固有ケットを |x⟩ とする；${\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle$。

関連項目

• 量子力学の数学的定式化#ブラベクトルとケットベクトル