正規直交系

数学、特に線型代数学並びに関数解析学において正規直交系（せいきちょっこうけい、英: orthonormal system）とは、互いに直交して内積が 0 であり、かつその大きさが規格化されて 1 であるベクトルの集まり。ONSとも表される。特に、正規直交系が完全系（任意のベクトルが正規直交系によって展開可能）である場合には、完全正規直交系（英: complete orthonormal system）または正規直交基底と呼ばれ、CONSと表される。ヒルベルト空間論の基礎的な概念であるとともに、正規直交系に基づく展開原理は物理学、工学への応用において重要となる。

定義

内積を有するベクトル空間（内積空間）において、ベクトルの集合 {x_n } が互いに直交し、内積について

$\langle x_m, x_n \rangle =0 \quad (m \neq n)$

が成り立つときに、{x_n } は直交系（orthogonal system）であるという。また、直交系 {e_n } が内積で定まるノルムについて規格化されている（||e_n || = 1 である）、すなわち、

$\langle e_m, e_n \rangle =\delta_{mn}$

であるときに、{e_n } は正規直交系であるという。但し、δ_mn はクロネッカーのデルタを表す。有限個または可算個の一次独立なベクトル {x_n } が存在する場合、グラム・シュミットの正規直交化法により、{x_n } から正規直交系を具体的に構成することができる。

内積で定まるノルムについて完備であるヒルベルト空間を論ずる際において、正規直交系は重要な役割を果たす。ヒルベルト空間において、正規直交系 {e_n } が完全系である、すなわち

$\langle x, e_n \rangle = 0 \quad \forall n \Longrightarrow x=0$

を満たすとき、{e_n } は完全正規直交系、または正規直交基底であるという。完全正規直交系においては、任意のベクトルx に対し、

$x = \sum_{n} \langle x, e_n \rangle e_n$

という展開が可能となる。但し、無限列についてはノルムに関する収束を表すものとする。

任意のヒルベルト空間において、完全正規直交系は存在するが、特に可分なヒルベルト空間であれば、高々可算個からなる完全正規直交系が存在する。

性質

完全正規直交系の性質を特徴付ける定理として、次の同値性が成り立つ。

定理

ヒルベルト空間H の正規直交系 {e_n } に対し、以下は同値となる。

1. {e_n } が完全正規直交系をなす。
2. {e_n } の一次結合全体がH で稠密である。
3. （フーリエ級数） 任意のx ∈H について、

   $x = \sum_{n} \langle x, e_n \rangle e_n$

   が成り立つ。
4. （リース・フィッシャーの等式） 任意のx ∈H について、

   $||x||^2 = \sum_{n} |\langle x, e_n \rangle |^2$

   が成り立つ。
5. （パーセバルの等式） 任意のx, y ∈H について、

   $\langle x, y \rangle = \sum_{n} \langle x, e_n \rangle \langle e_n, y \rangle$

   が成り立つ。

参考文献

• 藤田宏; 伊藤清三; 黒田成俊 『関数解析（岩波基礎数学選書）』 岩波書店、1991年。。 

関連項目

• 基底 - 正規直交基底
• 関数解析 - ヒルベルト空間
• フーリエ級数