加群の層

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数学において,O 加群の層 (sheaf of O-modules) あるいは単に環付き空間 (X, O) 上の O 加群 (O-module) とは, F であって,X の任意の開部分集合 U に対し,F(U)O(U) 加群であり,制限写像 F(U) → F(V) が制限写像 O(U) → O(V) と整合的なもの,すなわち O(U) の任意の fF(U) の任意の s に対し,fs の制限が f の制限と s の制限との積であるものである.

標準的な場合は XスキームO がその構造層であるときである.O定数層英語版 のとき,O 加群の層はアーベル群の層(すなわちアーベル層)と同じである.

X が環 R素スペクトルであるとき,任意の R 加群は自然に OX 加群を定義する(associated sheaf と呼ばれる).同様に,R次数環XRProj英語版 であるとき,任意の次数加群は自然に OX 加群を定める.そのように生じる O 加群は準連接層の例であり,実は,アファインあるいは射影スキーム上,すべての準連接層はこのようにして得られる.

環付き空間上の加群の層はアーベル圏をなす[1].さらに,この圏は充分単射的対象を持ち[2],したがって層係数コホモロジー 大域切断関手英語版 i右導来関手として定義でき,実際そう定義する[3]

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演算[編集]

(X, O) を環付き空間とする.FGO 加群のとき,それらのテンソル積は,

あるいは

と表記され,前層 に伴う層である O 加群である.(層化が避けられないことを見るには, の大域切断を計算せよ,ここで O(1) は射影空間上のセールの捩り層英語版である.)

同様に,FGO 加群のとき,

は層 である O 加群を表す[4].とくに,O 加群

F双対加群と呼ばれ, と表記される.注意:任意の O 加群 E, F に対し,自然な準同型

が存在し,E が階数有限の局所自由層であるとき,これは同型である.とくに,L が階数 1 の局所自由であるとき(そのような L可逆層あるいは直線束と呼ばれる)[5],これは

となり,したがって可逆層の同型類たちは群をなす.この群は Xピカール群と呼ばれ,一次コホモロジー群 と(チェックコホモロジー英語版による標準的な議論によって)カノニカルに同一視される.

E が階数有限の局所自由層であれば,ペアリングによって与えられる O 線型写像 がある;それは E跡写像英語版と呼ばれる.

任意の O 加群 F に対し,Fテンソル代数外積代数対称代数が同じように定義される.例えば,k 次外冪

は前層 に伴う層である.F が階数 n で局所自由ならば,F行列式直線束英語版と呼ばれ(技術的には可逆層であるが),det(F) と書かれる.自然な完全対

がある.

f: (X, O) →(X', O') を環付き空間の射とする.FO 加群のとき,順像層英語版 は自然な写像 O'f*O により O' 加群である(そのような自然な写像は環付き空間の射のデータの一部である).

GO' 加群であるとき,G の逆像 である加群は加群のテンソル積として与えられる O 加群である:

ただし f−1GG逆像層英語版であり, から随伴によって得られる.

の間には随伴の関係がある:任意の O 加群 FO 加群 G に対して,アーベル群として

が成り立つ.projection formula英語版もある: O 加群 F と階数有限の局所自由 O 加群 E に対して,

が成り立つ.

性質[編集]

(X, O)環付き空間とする.O 加群 F大域切断によって生成される (generated by global sections) とは,O 加群の全射

が存在することをいう.明示的にはこれは,F の大域切断 si であって,各茎 Fx における si の像たちが FxOx 加群として生成するものが存在することを意味する.

そのような層の例は代数幾何学において任意の可換環スペクトル Spec(R) 上に R 加群 M を付随させるものである.別の例:カルタンの定理Aにより,シュタイン多様体上の任意の連接層は大域切断によって張られる(cf. 下記のセールの定理A).スキームの理論において,関連する概念は豊富な直線束である.(例えば,L が豊富な直線束であれば,それのある冪が大域切断によって生成される.)

移入 O 加群は脆弱である(すなわちすべての制限写像 F(U) → F(V) が全射である)[6].脆弱層はアーベル層の圏において非輪状であるから,これは次のことを意味する:O 加群の圏における大域切断関手 i 次右導来関手がアーベル層の圏における通常の i 次層コホモロジーと一致する[7]

加群に付随する層[編集]

M を環 A 上の加群とする.X = Spec A とおく.任意の対 に対して,局所化の普遍性により, なる性質を持つ自然な写像

が存在する.すると

は対象が集合 D(f) で射が集合の包含である圏からアーベル群の圏への反変関手である.それは実は B-層英語版(すなわち貼り合わせの公理を満たす)であり,したがって M に付随する層と呼ばれる X 上の層 を定義することを示すことができる[8]

最も基本的な例は X 上の構造層,すなわち である.さらに, の構造を持ち,したがって A 上の加群の圏 ModA から 上の加群の圏への完全関手 を得る.それは ModA から X 上の準連接層の圏への同型を定義し,逆射は大域切断関手 である.Xネーター的スキームのときには,関手は有限生成 A 加群の圏から X 上の連接層の圏への同型である.

構成は以下の性質を持つ:任意の A 加群 M, N に対し,

  • .[9]
  • A の任意の素イデアル p に対し,Op = Ap 加群として .
  • .[10]
  • M有限表示のとき,.[10]
  • , なぜなら ModAX 上の準連接層の圏の間の同値があるから.
  • ;[11] とくに,直和を取ることと ~ は可換である.

次数付き加群に付随する層[編集]

前の節の構成と同値の次数付きの類似がある.RR0 代数(R0 は次数 0 部分)として次数 1 の元で生成される次数環とし,M を次数 R 加群とする.XRProj英語版 とする(したがって X射影スキームである).するとある O 加群 が存在して,R の次数が正の任意の斉次元 f に対して,アフィンスキーム 上の加群の層として自然な同型

がある[12];実際,これは を貼り合わせによって定義している.

R(1)R(1)n = Rn+1 によって与えられる次数 R 加群とする.このとき セールの捩り層英語版と呼ばれる(自然直線束英語版の双対である).

FX 上の O 加群のとき, と書けば,標準的な準同型

が存在し,これが同型であることと F が準連接であることは同値である.

層係数コホモロジーの計算[編集]

層コホモロジーは計算が難しいことに定評がある.そのため,次の一般的な事実はどんな実際の計算に対しても基本的である:

定理 ― X を位相空間とし,F をその上のアーベル群の層とし,X の開被覆であって がすべての i, p, に対して成り立つものとする.このとき任意の i に対して

が成り立つ.ただし右辺は iチェックコホモロジー英語版である.

セールの定理A英語版により,X が射影多様体で F がその上の連接層のとき,十分大きい n に対して,F(n) は有限個の大域切断によって生成される.さらに,

(a) 任意の i に対して Hi(X, F)R0 上有限生成であり,
(b) (セールの定理B英語版F に依存する整数 n0 が存在して,
となる.

層の拡大[編集]

(X, O) を環付き空間とし,F, HX 上の O 加群の層とする.HF による拡大 (extension) とは,O 加群の短完全列

である.

群の拡大と同様,FH を固定すれば,HF による拡大の同値類全体はアーベル群をなし(cf. Baer和英語版),この群は Ext 群 と同型で,単位元は自明な拡大と対応する.

HO のとき次が成り立つ.すべての i ≥ 0 に対して

なぜならば両辺とも同じ関手 の右導来関手だからである.

注意:著者によっては(特にハーツホーン),添え字 O を書かない.

X をネーター環上の射影スキームとする.F, GX 上の連接層とし,i を整数とする.するとある n0 が存在して

となる[13]

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ Vakil, Math 216: Foundations of algebraic geometry, 2.5.
  2. ^ Hartshorne, Ch. III, Proposition 2.2.
  3. ^ このコホモロジー関手はアーベル層の圏における大域切断関手の右導来関手と一致する; cf. Hartshorne, Ch. III, Proposition 2.6.
  4. ^ 標準的な準同型
    が存在し,F が有限表示のときこれは同型である (EGA, Ch. 0, 5.2.6.)
  5. ^ 連接層に対し,テンソル逆を持つことは階数 1 で局所自由であることと同じである;実は,次が成り立つ: である; F が連接であれば,F, G は階数 1 で局所自由である.(cf. EGA, Ch 0, 5.4.3.)
  6. ^ Hartshorne, Ch III, Lemma 2.4.
  7. ^ See also: http://math.stackexchange.com/questions/447220/hartshornes-weird-definition-of-right-derived-functors-and-prop-iii-2-6/447234#447234
  8. ^ Hartshorne, Ch. II, Proposition 5.1.
  9. ^ EGA I, Ch. I, Proposition 1.3.6.
  10. ^ a b EGA I, Ch. I, Corollaire 1.3.12.
  11. ^ EGA I, Ch. I, Corollaire 1.3.9.
  12. ^ Hartshorne, Ch. II, Proposition 5.11.
  13. ^ Hartshorne, Ch. III, Proposition 6.9.

参考文献[編集]

  • Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). “Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas”. Publications Mathématiques de l'IHÉS 4. MR0217083. http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1960__4_. 
  • Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry英語版, Graduate Texts in Mathematics, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR0463157