普遍性

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圏論における普遍性または普遍的性質: universal property)とは、圏の射の一意的分解をもたらす特定の対象の経路をとる射の性質のことである。

概要とその歴史[編集]

定義[編集]

普遍要素、表現可能関手[編集]

局所的に小さい圏を C とするとき、関手 homC(R,-) :CSet から任意の集合値関手 F :CSet への自然変換 ψ :homC(R,-) \dot{\rightarrow} F は、自然変換の集合 Nat(homC(R,-),F) と集合 F(R) の間に全単射写像 y が存在するという米田の補題

y:Nat(homC(R,-),F) \cong F(R)

から要素 u ∈ F(R) である組<R,u>を定めることで決定されることがわかる。ここで、 ψ が自然同型であるとき、組 <R,u> を普遍要素[1]と呼び、x ∈ F(B) である各組 <B,x>に対して、x = F(f)u と分解できる C の射 f :R → B が唯一つ存在する。

当然のことながら、逆に普遍要素を定めることができれば自然同型 ψ が定まり、このとき R を表現対象[2]、<R,ψ>を関手 F の表現[3]、ψによりhom関手で表現することができる関手 F は表現可能関手[4]と呼ばれる。

普遍射[編集]

普遍要素に対比して、関手への普遍射、関手からの普遍射の存在意義は C が局所的に小さくなくても一意的分解をもたらす射を定義できる点にある。

関手への普遍射[編集]

S :DC を圏 D から C への関手とする。このとき圏 C の対象 C から関手 S への普遍射[5]とは、 C から関手 S への任意の連結射 f :C → S(X) について一意的な経由分解 f = S(g)・u (ただし、u :C → S(R) , g :R → X で g は f に対して唯一つ定まる)をもたらす連結射 u と経由の対象 R の組 <R,u>のことである。α :C → S(X) , β :S(X) → C のように射のドメインもしくは余ドメインが関手の対象関数によって構成された対象への(からの)射を普通のフラットな射と区別するため、一般的ではないが連結射[6]と呼ぶこともある。ここでは区別を行いたいため連結射の用語を用いる。

関手からの普遍射[編集]

関手への普遍射の双対概念として関手からの普遍射を考えることができる。関手 S :DC について、圏 C の対象 C への関手 S からの普遍射[7]とは、関手 S から C への任意の連結射 h :S(X) → C について一意的な経由分解 h = v・S(k) (ただし、v :S(R) → C , k :X → R で k は h に対して唯一つ定まる)をもたらす連結射 v と経由の対象 R の組 <R,v>のことである。

コンマ圏[編集]

C について、演算(-↓-)によって構成される圏をコンマ圏[8]と呼ぶ。コンマ圏の対象は圏 C の射である。一般的なコンマ圏の定義は煩雑でわかりにくいため、個別の用例を明示した上で一般的に定義する。

B の下方対象からなる圏
C の対象 B について構成されるコンマ圏 (B↓IC[9]を B の下方対象からなる圏[10]と呼ぶ。
(B↓IC)の各対象は B をドメインとする圏 C の各射 f :B → Y であり、その余ドメイン Y との組 <f,Y>として表記される。
(B↓IC)の射もやはり圏 C の射であり、k :Y → Y' で f' = k・f (ただし、f , f'は(B↓IC)の対象となる C の射)を満たすもので、 k :<f,Y>→ <f',Y'>と表記される。
A の上方対象からなる圏
C の対象 A について構成されるコンマ圏(IC↓A)を A の上方対象からなる圏[11]と呼ぶ。
(IC↓A)の各対象は A を余ドメインとする圏 C の各射 f :X → A であり、そのドメイン X との組 <X,f>として表記される。
(IC↓A)の射もやはり圏 C の射であり、g :X → X' で f' = f・g (ただし、f , f'は(IC↓A)の対象となる C の射)を満たすもので、 g :<X,f>→ <X',f'>と表記される。
B の S-下方対象からなる圏
S :DC を圏 D から圏 C への関手とする。このとき圏 C の対象 B と関手 S について構成されるコンマ圏(B↓S)を B の S-下方対象からなる圏[12]と呼ぶ。
(B↓S)の各対象は B をドメインとする S への各連結射 f :B → S(C) (ただし、C は圏 D の対象)であり、C との組 <f,C>として表記される。
(B↓S)の射は圏 D の射であり、l :C → C' in D で f' = S(l)・f (ただし、f , f' は(B↓S)の対象となる C の連結射)を満たすもので、l :<f,C>→ <f',C'>と表記される。
注:すなわち、B の下方対象からなる圏は、B のIC-下方対象からなる圏のことである。
A の T-上方対象からなる圏
T :EC を圏 E から圏 C への関手とする。このとき圏 C の対象 A と関手 T について構成されるコンマ圏(T↓A)を A の T-上方対象からなる圏[13]と呼ぶ。
(T↓A)の各対象は A を余ドメインとする S からの各連結射 f :T(D) → A (ただし、D は圏 E の対象)であり、D との組 <D,f>として表記される。
(T↓A)の射は圏 E の射であり、r :D → D' in E で f' = f・T(r) (ただし、f , f' は(T↓A)の対象となる C の連結射)を満たすもので、r :<D,f>→ <D,f'>と表記される。
注:上記同様、A の上方対象からなる圏は、A のIC-上方対象からなる圏のことである。
一般的なコンマ圏の定義
関手 T :EC 、 S :DC のコンマ圏(T↓S)とは、以下からなるものを言う
(対象)圏 C の双連結射 f :T(D) → S(C) であり、<D、f、C>と表記される。
(射)圏 E の射 r :D → D' と圏 D の射 l :C → C' の組<r,l>であり、f'・T(r) = S(l)・f を満たすもの。

解説[編集]

大雑把な理解としては、コンマ圏は圏にhom関手を作用させて得られるものをより詳細化した圏である。局所的に小さい圏 C の対象を A とするとき、圏 C に関手 hom(A, -) :CSetを作用させたとき C の各対象 B に対して Set の対象 hom(A,B) が定まる。これはドメインを A、余ドメインを B とする射の集合であり、例えば C の射 f :A → B はこの場合、対象としての hom(A,B) の要素となる。しかしながら、コンマ圏 (A↓IC)においては射 f (正しくは、余ドメインとの組(f,B))は 対象の要素ではなく圏(A↓IC)の対象として扱われる。

定義間の言い換え[編集]

関手への普遍射から普遍要素への言い換え[編集]

S :DC を圏 D から C への関手とする。圏 C が局所的に小さいとき、C の対象 C から S への普遍射は普遍要素として言い換えることができる。

hom(C,S(-)) :DSet は集合値関手となることから米田の補題より hom(R,-) :DSet から hom(C,S(-)) への自然変換 Φa は Φa(1R) の値、すなわち、

Φa(1R) = a ∈ hom(C,S(R))

と定めることで決定される。

ここで、a = u すなわち、S への普遍射であるとき、S への普遍射の定義から、任意の射 f :C → S(X) は u を元に一意的に分解可能であり D の射 g が f に対して唯一つ定まる。この対応 ψX :hom(C,S(X)) → hom(R,X) は X において自然であり ψ は自然変換である。しかも、各 X について ψX・ΦuX = 1X で、ψ = Φu-1 すなわち、 Φu は自然同型となる。まとめれば、C が局所的に小さければ、

<R,u>は C から S への普遍射である。
↓
<R、Φu>は表現可能関手 hom(C,S(-)) :DSet の表現、つまり <R,u>は普遍要素である。

関手への普遍射からコンマ圏(C↓S)への言い換え[編集]

S :DC を圏 D から C への関手とする。S への普遍射を <R,u>とすると、対象 C から関手 S への射 f :C → S(X) すべてについて、u を分解の因子とする一意的な S(R) 経由分解

f = S(g)・u ただし、 g ∈ homD(R,X) が唯一つ存在

が可能である。これはコンマ圏すなわち対象 C の S-下方対象からなる圏(C↓S)の定義より、u :C → S(R) が(C↓S)の始対象であるという言明そのものである。つまり、

<R,u>は C から S への普遍射である。
↓
<R,u>は(C↓S)の始対象である。

普遍的構成と極限、余極限[編集]

図式[14]について、

対角関手[15]について、

[編集]

ここで、この一般的なアイデアを明らかにすべく3つの有効な例を挙げる。読者は導入部で例示した記事を参照すれば、他にもたくさんの例を構築できるだろう。

テンソル代数[編集]

C K 上のベクトル空間の圏 K-Vect とし、 DK 上の多元環 K-Algユニタリー かつ 結合的と仮定)とする。U を、各多元環をその基底となるベクトル空間に写す忘却関手とする。

K上の任意のベクトル空間 V において、Vテンソル代数 T(V) を構成できる。テンソル代数の普遍性は i :VT(V) が埋め込み写像となるような対 (T(V), i) を表し、これは V から U への普遍射となる。

この構成は任意のベクトル空間 V において有効であり、それゆえ TK-Vect から K-Alg への関手だと結論付けられる。この関手は忘却関手 U に対して左随伴となる。

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D を(群の圏のような)ゼロ射を伴う圏とし、 f :XYD の射とする。fとは、以下を満たすような任意の射 k:KX を指す。

  • f kK から Y へのゼロ射である。
  • f k ' がゼロ射であるような任意の射 k ' :K ' →X に対し、一意な射 u:K ' →K が存在して k u = k ' が成り立つ。

これを上述の一般的設定の枠組みにおいて理解するために、D 中の射の圏 C を定義する。C の対象は D の射 f :XY とし、f :XY から g :ST への射は射 α:XS および β:YT の対 (α,β) とし、βf = gαが成り立つものとする。

ここで、D の対象 K をゼロ射 0KK :KK に、射 r :KL を対 (r,r) に写すような関手 F :DC を定義する。

すると、圏 Dにおける射 f :XY (圏 C における対象)および D における対象K が与えられたとき、F(K) から f への射は f k = l 0KK = 0KY となるような対 (k,l) によって与えられる。これはまさしく上述で与えられた普遍射によって映し出されるものそのものである。この抽象的な “F から f への普遍射 ”は核の普遍性以外の何者でもない。

意義[編集]

ある構成を普遍性を通じて理解することには以下のような利点がある。

  • 普遍性は同型を除いて一意的な対象を定義する。したがって、2つの対象が同型だと証明することは、それらが同じ普遍性を満たすのを示すことに等しい。
  • 与えられた構成の具体的な中身がぐちゃぐちゃになっていても、その構成が普遍性を満たすならば、それらの中身を見なくてすむ。つまり、その構成について知らなければならない全てのものは既にその普遍性に内包されているのである。もしその構成の具体的な性質ではなく普遍性が使われたなら、証明は簡潔かつエレガントになる事が多い。
  • もし普遍的構成が全ての C における X に適用できるなら、C から D への関手が得られる。例えば、核の形成は関手的[16]である。すなわち、射 f から射 g への各射 (α,β) は、f の核から g の核への射を導き出す。
  • さらに、この関手は U に対して右もしくは左随伴になる。しかし右随伴は極限と可換になり、左随伴は余極限と可換になる。このことを用いると、例えば写像のある直積の核は核の直積と等しくなる事がすぐに結論付けられる。

脚注[編集]

  1. ^ : universal element
  2. ^ : representing object
  3. ^ : a representation of the functor F
  4. ^ : representable functor
  5. ^ : universal arrow to S
  6. ^ : junction
  7. ^ : universal arrow from S
  8. ^ : comma category
  9. ^ IC :CCC の恒等関手である。
  10. ^ : the category of objects under B
  11. ^ : the category of objects over A
  12. ^ : the category of objects S-under B
  13. ^ : the category of objects S-over B
  14. ^ : diagram
  15. ^ : diagonal functor
  16. ^ : functorial

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  1. S・マクレーン (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.). シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-98403-8. 
  2. ガーレット・バーコフ、ソンダース・マクレーン 『現代代数学概論 改訂第3版』 白水社、1967年 第IV章、XI章
  3. S. マックレーン (1992). 数学 -その形式と機能-. 赤尾和男、岡本周一共訳. 森北出版. ISBN 9784627018303. 
  4. P. サミュエル (1948), On universal mappings and free topological groups, http://www.ams.org/journals/bull/1948-54-06/S0002-9904-1948-09052-8/S0002-9904-1948-09052-8.pdf 
  5. A. Grothendieck (1957), Sur quelques points d'algèbre homologique, http://matematicas.unex.es/~navarro/res/tohoku.pdf  英訳:Some aspects of homological algebra
  6. Ionel Bucur, Aristide Deleanu, Peter Hilton (1968). Introduction to the theory of categories and functors. 
  7. バリー・ミッチェル (1965). Theory of Categories. http://www.scribd.com/doc/14006200/Barry-Mitchell-Theory-of-Categories. 
  8. レオ・コリー. Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures. ISBN 3764370025.