積 (圏論)

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圏論において、考えている圏の二つの(あるいはそれ以上の)対象の(圏論的)(せき、: product)または直積 (direct product) は集合の直積(デカルト積)群の直積環の直積位相空間の直積といった数学の他の分野における構成の背後にある本質を捉えるために考えられた概念である。本質的に対象の族の積は与えられた対象のそれぞれへのをもつ「最も一般な」対象である。

定義[編集]

C を適当な対象 X1, X2 をもった圏とする。X1X2 とのとは、X1 × X2 と書かれる C の対象と二つの射 π1: XX1 および π2: XX2 との組で、以下の普遍性を満たすものを言う。

積の普遍性 (二対象の場合)
任意の対象 Y および射の対 f1: YX1 および f2: YX2 が与えられたとき、一意的な射 f: YX1 × X2 が存在して、図式
積の普遍性を表す可換図式
可換にする。

一意的な射 ff1f2 との射の積と言い、f1, f2 とも書かれる。射 π1, π2自然な射影標準射影 (canonical projection) あるいは射影射 (projection morphism) と呼ばれる。

いま定義したものは、二項の積であるが、より一般に集合 I で添字付けられた対象の任意のをとり、それらのを考えることができる。すなわち、

C の対象の族 {Xi}iI の(C における)とは、C の対象 X と射の族 πi: XXi (iI) との組で以下の普遍性を満足するものを言う。

積の普遍性
任意の対象 Y と射の族 fi: YXi (iI) が与えられたとき、一意的な射 f: YX が存在して、次の図式
積の普遍性
が任意の i に対して可換となる。

この積 X をしばしば
iI
Xi
で表す。I = {1, …, n} の場合は特に X1 × ⋯ × Xn のように書き、射の積も f1, …, fn のように書く。

等式的な定義[編集]

図式を用いる代わりに、対象の積を等式的に定めることができる。その場合例えば、二項の積は

  • 一意な射 f が存在することは、二項演算 –, – の存在性によって保障される。
  • 図式の可換性は等式 πif1, f2 = fi (i = 1, 2) が任意の f1, f2 について成り立つことによって保障される。
  • f の一意性は任意の f に対し等式 π1π2 = f が成り立つことによって保証される[1]

極限として[編集]

積は極限の特別な場合である。これを見るには、極限の定義で必要となる図式において離散圏英語版(恒等射以外の射をもたない対象からなる族)を用いればよい(各離散対象は成分と射影の添字を与え、図式を関手とみれば(離散圏とみた)添字集合 I からの関手である)。このとき実際に積の定義が極限の定義と一致することがみてとれる。{fi}iI英語版、射影が極限(極限錐)である。

普遍構成[編集]

極限が普遍構成の特別な場合であるのと全く同じように、積もそうである。極限の普遍性を適用するのに必要なものとして、J をただ二つの対象をもつ離散圏とする(このとき CJ は単に積圏英語版 C × C である)。対角関手 Δ: CC × C は各対象 X順序対 (X, X) を対応させ、各射 f に順序対 (f, f) を対応させるものである。C における積 X1 × X2 は、対角函手 Δ から C × C の対象 (X1, X2) への普遍射によって与えられる。この普遍射は C の対象 X と射 (X, X) → (X1, X2) からなり、これは射影を含んでいる。

[編集]

集合の圏における(圏論的な意味での)積はデカルト積(集合の直積)である。与えられた集合の族 Xi (iI) に対する積は、集合
iI
Xi := {(xi)iI | xiXi (∀iI)}
自然な射影の族 πi: ∏
iI
XiXj (jI)
との組として定まる。ここで各射影は πj((xi)iI) := xj を満たす写像である。 任意の集合 Y と写像の族 fi: YXi が与えられたとき、普遍射 f: Y → ∏
iI
Xi
f(y) := (fi(y))iI として定まる。

他の例:

議論[編集]

任意の圏において、必ずしも積が存在するとは限らない。例えば、空積(すなわち添字集合 I空集合)は終対象と同じであり、無限群の圏のようないくつかの圏は終対象を持たない: 任意の無限群 G に対し、射 ZG は無限個存在するので、G が終対象となることはありえない。

添字集合 I に対し、I で添字付けられる任意の族が圏 C において積を持つならば、積をとる演算を取り纏めて関手 CIC として扱うことができる[2]。この関手が対象をどのように写すかは明らかだが、射の対応は微妙である(定義節で与えられた「射の積」とは少々異なる)。二項の積(積函手は双関手英語版)の場合を考えると、必要となるのは f1: X1Y1, f2: X2Y2 に対して適当な X1 × X2Y1 × Y2 なる射を作ることで、それには積 f1π1, f2π2 を取ればよい。射に対するこの演算を射の直積あるいはデカルト積 (cartesian product of morphisms) と呼ぶ[3]。一般の場合の積関手も同様に、族 {Xi}iI, {Yi}iI の間の射の族 fi: XiYi (iI) に対して
iI
Xi → ∏
iI
Yi
なる射として、射の族 {fiπi} の積 fiπi : iI が対応する。

対象のすべての有限集合が積をもつような圏はデカルト圏 (cartesian category) と呼ばれることもある[3]。(ただし、「すべての有限極限をもつ圏」の意味でこの語を用いる文献もある。)

積は結合的である。デカルト圏 C において、上で述べたように積函手を考え、C の終対象を 1 と書けば、自然同型

が成立する。これらの性質は(同型を等式で置き換えれば)可換モノイドの性質と形の上では同じである。すなわち、有限積を備えた圏は、対称英語版モノイド圏を構成する。

分配性[編集]

有限積および有限余積をもつ圏において、自然な射 X × Y + X × ZX ×(Y + Z) が存在する、ただしここでプラス記号は余積を表す。これを見るために、次の図式

自然な分配射

を埋める種々の射影および入射について注意を払わねばならない。

これにより X ×(Y + Z) に対する普遍性は一意な射 X × Y + X × ZX ×(Y + Z) を保証する。分配圏英語版は、この射が実際に同型射となるような圏を言う。従って分配圏において自然な同型

が成立する。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  1. ^ Lambek J., Scott P. J. (1988). Introduction to Higher-Order Categorical Logic. Cambridge University Press. p. 304. 
  2. ^ Mac Lane 1988, p. 37.
  3. ^ a b Michael Barr, Charles Wells (1999). Category Theory - Lecture Notes for ESSLLI. p. 62. http://www.let.uu.nl/esslli/Courses/barr/barrwells.ps. 

外部リンク[編集]