米田の補題

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米田の補題(よねだのほだい、Yoneda Lemma)とは、(小さなhom集合をもつ圏Cについて)共変hom関手 hom(A,-):CSetから集合値関手 F: CSetへの自然変換と、F(A) の要素との間に一対一対応が存在するという定理である。名称は米田信夫に因む。

概要[編集]

局所的に小さい(locally small)圏を C とする、すなわち各対象 A,B に対して hom(A,B) は集合であるとする。対象Aを固定するとき、Cの各対象 B に対して集合(Setの対象)hom(A,B) を割り当てる関数は、CからSetへの関手の対象関数として考えることができる。この関手は大抵 hA=hom(A,-) : CSet と表記され、共変hom関手(covariant hom functor)と呼ばれる。

ここで、 F : CSet を任意の集合値関手とし、hA から F へのすべての自然変換 θ : hA \dot{\rightarrow} F のクラス Nat(hA,F) [1]について考える。

米田の補題の骨子は、射 hA(f)=hom(A,f) : hom(A,A) → hom(A,B) の恒等射 1A に対する特性

hom(A,f)1A = f 

である。

θ は自然変換であるので、対象 A において自然である。 すなわち、各対象 B への各射 f : A → B すべてに対して、自然性条件

θB・hA(f) = F(f)・θA

が成り立つ。両辺を 1A に作用させると、

(左辺)= (θB・hA(f))1A = θB(hA(f)1A) = θB(f)

(右辺)= (F(f)・θA)1A = F(f)θA(1A)

となる。したがって、各対象Bについて、

θB(f) = F(f)θA(1A)

となる。これは、任意の(C の射かつ Set の対象の要素である) f ∈ hom(A,B) = hA(B) に対して成り立つ。つまり θA(1A) は 各コンポーネント θB:hA(B) → F(B) を定め、自然変換 θ は要素 θA(1A) ∈ F(A) から完全に決定されることがわかる。また明らかに、θ ∈ Nat(hA,F) は、対象 A における自然変換のコンポーネント θA の恒等射 1A における値 θA(1A) ∈ F(A) を定める。

すなわち、全単射

y:Nat(hA,F) \cong F(A)

が存在する。この y は米田写像(Yoneda map)と呼ばれる。

圏の完備化[編集]

C を局所的に小さな圏とする。C から関手圏 SetC への関手h(-) : CopSetC

(対象関数) hA = hom(A,-) 共変hom関手
(射関数)  hfop:B→A = hom(A,-) \dot{\rightarrow} hom(B,-) 共変hom関手間の自然変換

グロタンディーク関手(Grothendieck functor)h[2]と呼ぶ。

ここで、共変hom関手の間の自然変換について

y:Nat(hA,hB) \cong hB(A) = homC(B,A)

が、米田の補題から成り立つ。ここで、関手圏の射が自然変換であったことから

Nat(hA,hB) = homBC(hA,hB)

とhom集合で書きなおすことができ、C のhom集合と BC のhom集合との間に全単射

homC(B,A) \cong homBC(hA,hB)

が存在することがわかる。すなわち、グロタンディーク関手 h は充満忠実(fully faithful)である。

脚注[編集]

  1. ^ 逆向きの Nat(F , hA) に関する定理は余米田の補題と呼ばれる。 MacLane(1998)
  2. ^ Encyclopedia of Mathematics : Grothendieck functor ただし、添字の上下はリンク先と便宜上、反対にした。
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関連項目[編集]

参考文献[編集]

  1. B.Mitchell (1965). Theory of Categories. http://www.scribd.com/doc/14006200/Barry-Mitchell-Theory-of-Categories.  p.97-99
  2. S.MacLane (1965), Categorical algebra, http://www.ams.org/journals/bull/1965-71-01/S0002-9904-1965-11234-4/S0002-9904-1965-11234-4.pdf  p.54-55
  3. S.MacLane (1971), Categorical algebra and set-theoretic foundations, http://www.princeton.edu/~hhalvors/teaching/phi536_s2011/maclane1971.pdf  p.237
  4. Ionel Bucur, Aristide Deleanu, Peter Hilton (1968). Introduction to the theory of categories and functors. 
  5. Peter Freyd (1964;reprint:2003), Abelian Categories, http://tac.mta.ca/tac/reprints/articles/3/tr3.pdf  p.112-113
  6. A.Grothendieck (1958-1960), Technique de descente et théorèmes d'existence en géométrie algébriques. II. Le théorème d'existence en théorie formelle des modules., http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=SB_1958-1960__5__369_0 
  7. A.Grothendieck (1960-1961), Techniques de construction en géométrie analytique. IV. Formalisme général des foncteurs représentables, http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=SHC_1960-1961__13_1_A7_0 
  8. H.B.Stauffer (1971), A relationship between left exact and representable functors, http://cms.math.ca/cjm/v23/cjm1971v23.0374-0380.pdf 
  9. H.B.Stauffer (1972), The completion of an abelian category, http://www.ams.org/journals/tran/1972-170-00/S0002-9947-1972-0302738-0/S0002-9947-1972-0302738-0.pdf 
  10. 大熊正 『圏論(カテゴリー)』 槙書店、1979年
  11. 河田敬義 『ホモロジー代数I,II』 岩波書店、1977年
  12. 中山 正, 服部 昭 『復刊 ホモロジー代数学』 共立出版、2010年
  13. S.MacLane (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.  邦訳:『圏論の基礎』