米田の補題

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米田の補題(よねだのほだい、: Yoneda lemma)とは、小さなhom集合をもつ C について、共変hom関手 hom(A , _) : CSet から集合値関手 F : CSet への自然変換と、集合である対象 F(A) の要素との間に一対一対応が存在するという定理である。「米田の補題」という名称は、米田信夫に因んでソーンダース・マックレーンにより名付けられた[1][2][3]

概要[編集]

C を局所的に小さい(locally small)圏とする。すなわち C の各対象 A, B に対して hom(A, B) は集合であるとする。対象 A を固定するとき、共変hom関手 hA = hom(A, _) : CSet は対象 X に対して、集合 hom(A, X) を割り当て、射 f : XY に対して写像 hom(A, f) = f ◦ (_) : hom(A, X) → hom(A, Y) を割り当てる関手であった。

さらに、 F : CSet を集合値関手とし、hA から F へのすべての自然変換のクラス Nat(hA, F) について考える。

このとき、米田写像(Yoneda map)と呼ばれる全単射

y : Nat(hA, F) ≃ F(A)

が存在するというのが米田の補題である。

証明[編集]

θC の各対象 XSet の射 θX : hom(A, X) → F(X) を割り当てる関数とするとき、θhA から F への自然変換であるというのは、C の任意の射 f : XY に対して

θY ◦ hom(A, f) = F(f) ◦ θX

が成り立つことであった。これは Set の射 hom(A, X) → F(Y) の等式なので、言い換えると任意の hom(A, X) の元 g : AX において等しい値

(θY ◦ hom(A, f))(g) = (F(f) ◦ θX)(g)

を持つこととなる。hom関手の定義より、結局 θ が自然変換であるための必要十分条件は、任意の射 f : XYg : AX に対して、

θY (fg) = F(f)(θX (g))

が成り立つことである。特に、θ が自然変換であるときに g = idA を選ぶと、任意の射 f : AY に対して、

θY(f) = F(f)(θA(idA))

であることが分かる。

米田写像 y を自然変換 θ に対して

y(θ) = θA(idA)

で定める。y が全単射であることを示す。

(単射性) aF(A)に対して、自然変換 θ が存在して y(θ) = a であったとする。このとき、任意の射 f : AY に対して θ

θY(f) = F(f)(a)

を満たす。これにより θ の各コンポーネントが一意に定まるため、 y は単射である。

(全射性) aF(A) を任意に固定する。このとき、C の対象 X それぞれに対して写像 τX : hom(A, X) → F(X) を以下で定義する:

τX(f) := F(f)(a)

このとき、任意の射 f : XYg : AX に対して

τY(fg) = F(fg)(a) = F(f)(F(g)(a)) = F(f)(τX(g))

が成り立つことから、τX を各コンポーネントとする自然変換 τ の存在が示される。定義から τA(idA) = a であるため y(τ) = a が成り立つ。

圏の完備化[編集]

C を局所的に小さな圏とする。C から関手圏 SetC への関手 h(_) : CopSetC

(対象関数) hA = hom(A, _) 共変hom関手
(射関数)  hf op : BA = hom(A, _) hom(B, _) 共変hom関手間の自然変換

グロタンディーク関手(Grothendieck functor)と呼ぶ[4]

ここで、共変hom関手の間の自然変換について

y : Nat(hA, hB) ≃ hB(A) = homC(B, A)

が、米田の補題から成り立つ。ここで、関手圏の射が自然変換であったことから

Nat(hA, hB) = homSetC(hA, hB)

とhom集合で書きなおすことができ、C のhom集合と SetC のhom集合との間に全単射

homC(B, A) ≃ homSetC(hA, hB)

が存在することがわかる。すなわち、グロタンディーク関手 h充満忠実である。

脚注[編集]

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  1. ^ Kinoshita 1996
  2. ^ Kinoshita 1998
  3. ^ MacLane 1998a
  4. ^ Encyclopedia of Mathematics : Grothendieck functor ただし、添字の上下はリンク先と便宜上、反対にした。

参考文献[編集]

関連項目[編集]