数学的構造

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数学における構造(こうぞう、mathematical structure)とは、ブルバキによって全数学を統一的に少数の概念によって記述するために導入された概念である。集合に、あるいはの対象に構造を決めることで、その構造に対する準同型が構造を保つ写像として定義される。数学の扱う対象は、基本的には全て構造として表すことができる。

構造における歴史[編集]

ブルバキ以前[編集]

数学史において、現代的および革新的な新しい概念であるはずのものが、しかしその痕跡と言えるものが遡って古代においてすでに認められるというようなことはよくあることである。そのような事例として、17世紀ライプニッツニュートンによって考え出された微分法および積分法は、素朴で未発達な形ではエウドクソスアルキメデスが既に用いていた。このことは数学的構造の概念の発明にしてもそうであり、利用は最初の明示的な定式化に先行するのである。従って、数学史において構造の概念について定義して言及した最初のものを特定するのは容易であるが、そのような説明なしに用いた最初を特定するのは困難である。

合同算術において構造の概念はガウス Disquisitiones Arithmeticae (1801) の手法に実際に現れる。ガウスはユークリッド除法の剰余について、構造的な観点から研究を行った。これは群論の起源のひとつでもある。

ガロワ理論において、ガロワの対称性を用いた手法、ジョルダンの群論、クロネッカー体論などの手法は本質的に構造的である。

線型代数学において構造の概念は二段階に現れる。ユークリッド幾何学における公理的手法は最終的に厳密な形で確立された(ヒルベルトの公理英語版参照)。その後、ベクトル空間の定式化にはグラスマンペアノが取り組み、最終的にバナッハブルバキによって形となった。

多様体の構造の概念はベルンハルト・リーマンの手法において現れた。

定義[編集]

  • 集合論的な定義(ブルバキ「集合論」4章による)

構造種とは以下の四つからなる。

  • 主基集合──順序ならば、順序の定義される集合。位相ならば、位相の定義される集合。複数あってもよい
  • 副基集合──なくてもよい。ベクトル空間ならば、ある。複素多様体ならば、複素数体
  • 代表的特性記述──「主基集合と副基集合から、直積べき集合をとることを繰り返して得られる集合(階梯と呼ばれる)にある集合(構造と呼ばれる)が含まれる」ということを表す論理式。複数あってもよい。
  • 公理──構造が満たす論理式。ただし移行可能であるという条件が付く。この条件は、準同型などを定義する際に必要になる?

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位相空間の構造種は、主基集合が位相の定義される集合( X とする)で、副基集合はなし。代表的特性記述は O∈P(P(X)) で( O は普通にいう開集合系)、公理は「{},X∈O 、かつ、A,B∈O ならば A∩B∈O 、かつ、OλO をみたす任意の {Oλ}λ∈Λ に対して ∪OλO 」である。
 一つの集合の上の或る構造を定義する公理系が、それが任意の集合に対して述べられるにもかかわらず、それらの公理を満足する二つの構造で、それぞれ二つの相異なる集合の上に定義されたものを考えると、その構造が(もし存在すれば)必ず同型になるということが公理から結論される(このことから、特に、対等であることが導かれる)、ということもあり得る。このような場合、これらの公理を満足する構造の理論は一意的であるという;そうでない場合は、多意的である、といわれる。

構造の例[編集]

例えば、実数は上の三つの構造をすべて持っている。すなわち、実数は全順序集合であり、体であり、また距離空間である。
 自然数の理論、実数の理論、古典的ユークリッド幾何学などは一意的な理論である;順序集合の理論、群論、位相空間の理論などは多意的な理論である。ブルバキによれば、多意的な理論の研究こそ、現代数学を古典的な数学と区別しているもっとも顕著な特徴とされている。

構造とブルバキズムに対する批判[編集]

  • 一般的な枠組みから数学の記述を目指したにもかかわらず圏論を無視したこと。
  • 基礎論に対する偏った扱い。[1]
  • 過度の抽象性が引き起こした教育的配慮のなさ。

脚注または引用文献[編集]

  1. ^ リヒャルト・デデキント渕野昌/訳・解説):数とは何かそして何であるべきか,筑摩書房,2013年7月10日,p.313.

関連項目[編集]