数学上の未解決問題

数学上の未解決問題（すうがくじょうのみかいけつもんだい、英: unsolved problems in mathematics）とは、未だ解決されていない数学上の問題である。未解決問題の定義を「未だ証明が得られていない命題」という立場を取るのであれば、そういった問題は数学界に果てしなく存在するが、ここでは、リーマン予想のようにその証明結果が数学全域と関わりを持つような命題、P≠NP予想のようにその結論が現代科学、技術のあり方に甚大な影響を及ぼす可能性があるような命題、問いかけの単純明快さ故に数多くの数学者達が証明を試みてきたような有名な命題のみを列挙する。

ミレニアム問題

→詳細は「ミレニアム懸賞問題」を参照

以下7つの問題はミレニアム懸賞問題と呼ばれ、クレイ数学研究所によってそれぞれ100万ドルの懸賞金が懸けられている。

主な未解決問題

以下では、特に断りがない限り、 $n$ は自然数とし、記数法は十進法とする。

「―は無数に存在するか」系

双子素数は無数に存在するか。
- 三つ子素数は無数に存在するか。
  - 四つ子素数は無数に存在するか。
メルセンヌ素数は無数に存在するか。
- 等価の問題として、偶数の完全数は無数に存在するか。
合成数のメルセンヌ数 $M p$ ( $p$ は素数 )は無数に存在するか
階乗素数は無数に存在するか。
素数階乗素数は無数に存在するか。
正則素数は無数に存在するか。
幸運素数は無数に存在するか。
カレン素数は無数に存在するか。
ウッダル素数は無数に存在するか。
プロス素数は無数に存在するか。
ピアポント素数は無数に存在するか。
サービト素数は無数に存在するか。
エマープは無数に存在するか。
回文素数は無数に存在するか。
- レピュニット素数は無数に存在するか。
ハッピー素数は無数に存在するか。
フィボナッチ素数は無数に存在するか。
リュカ素数は無数に存在するか。
ペル素数は無数に存在するか。
ソフィー・ジェルマン素数は無数に存在するか。
- 長さ $n$ $( ≧2 )$ のカニンガム鎖は無数に存在するか。
正の約数の総和が素数になる自然数は無数に存在するか。
3個の素数の積であるカーマイケル数は無数に存在するか
調和数は無数に存在するか。
超完全数は無数に存在するか。
乗法的完全数は無数に存在するか。
友愛数は無数に存在するか。
婚約数は無数に存在するか。
社交数は無数に存在するか。
サブライム数は無数に存在するか。
ルース＝アーロン・ペアは無数に存在するか。

「―は存在するか」系

奇数の完全数は存在するか。
- 一般に、1以外の奇数の倍積完全数は存在するか。
奇数の超完全数は存在するか。
準完全数は存在するか。
概完全数は2の冪(1, 2, 4, 8, 16, ...)以外に存在するか。
偶数と奇数の組の友愛数は存在するか。
互いに素な友愛数は存在するか。
偶数同士、奇数同士の婚約数は存在するか。
3個組の社交数は存在するか。
- 7個組の社交数は存在するか。
  - 10個組の社交数は存在するか。
1以外の奇数の調和数は存在するか。
奇数の不思議数は存在するか。
奇数のサブライム数は存在するか。
合成数のフォーチュン数は存在するか。
リクレル数は存在するか。
$n$ $! \pm 1$ がともに素数である $n$ は3以外に存在するか。
$n$ $2$ と $($ $n$ $+ 1) 2$ の間に必ず素数は存在するか。（ルジャンドル予想）
ウォルステンホルム素数は16843と2124679以外に存在するか。
ウィルソン素数は5, 13, 563以外に存在するか。
累乗数のトリボナッチ数は1,4,81,3136,10609以外に存在するか。
- 累乗数のテトラナッチ数は1,4,8以外に存在するか。
  - 累乗数のペンタナッチ数は1,4,8,16以外に存在するか。
累乗数のパドヴァン数は1,4,9,16,49以外に存在するか。
平方数の因数をもつメルセンヌ数 $M p$ ( $p$ は素数 )は存在するか。
平方数の因数をもつフェルマー数は存在するか。
素数のフェルマー数 $F n$ ( $n$ $≧5$ ) は存在するか。
6個以下の6乗数の和で表すことができる6乗数は存在するか。
正規数でない代数的数かつ無理数である数は存在するか。

「―はいくつか」系

最小のシェルピンスキー数は78557か。
シェルピンスキー数のうち、最小の素数は271129 か。
シェルピンスキー数の最初の2個は78557、271129 か。
最小のリーゼル数は509203か。
最小のブリエ数は3316923598096294713661 か。
3倍完全数は6個か。
- 4倍完全数は36個か。
  - 5倍完全数は65個か。
倍積完全数が存在するのは11倍までか。
基準完全数は5個か。
社交数が存在するのは28個組までか。

分野別主な未解決問題

数論

→数論については「数論」を参照

加法的整数論

→加法的整数論については「加法的整数論（英語版）」を参照

抽象代数学

→抽象代数学については「抽象代数学」を参照

線形代数学

→線形代数学については「線形代数学」を参照

アダマール予想

代数幾何学

→代数幾何学については「代数幾何学」を参照

解析学

→解析学については「解析学」を参照

レーマーの予想
シャヌエルの予想（英語版）
素数計数関数 $π (x)$ が対数積分 $li (x)$ より大きくなる最小の $x$ は何か。
$γ$ （オイラーの定数） $, π + e, π − e, πe, .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}π/e, πe, π√2, ππ、 eπ2, ln π, 2e, ee$ , カタランの定数, ヒンチンの定数（英語版）, フィボナッチ数列の逆数和, ブルン定数, これらは代数的無理数（代数的数であり、無理数でもある数）か、超越数か？これらの無理数度の値は何か？

組合せ論

→組合せ論については「組合せ論」を参照

シングマスター予想

ユークリッド幾何学

→ユークリッド幾何学については「ユークリッド幾何学」を参照

離散幾何学

→離散幾何学については「離散幾何学」を参照

高次元幾何学

→高次元幾何学については「高次元幾何学（英語版）」を参照

グラフ理論

→グラフ理論については「グラフ理論」を参照

計算複雑性理論

→計算複雑性理論については「計算複雑性理論」を参照

P = L か。
NL = L か。
指数時間仮説

近年解決された主な問題

脚注

[脚注の使い方]

注釈

1 2 2024年 11月29日、韓国・延世大学校の博士研究員 Jineon Baek (백진언) によって、ソファ問題を解決したとする論文が arXiv に投稿され^[1]、現在精査中。

出典

↑ Baek, Jineon (2024年11月29日). “Optimality of Gerver's Sofa”. arXiv:2411.19826 [math.MG].
↑ Wolchover, Natalie (2017-07-11). “Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem”. Quanta Magazine 2024年12月9日閲覧。.
↑ Helfgott, Harald A. (2013). “Major arcs for Goldbach's theorem”. arXiv:1305.2897 [math.NT].
↑ Helfgott, Harald A. (2012). “Minor arcs for Goldbach's problem”. arXiv:1205.5252 [math.NT].
↑ Helfgott, Harald A. (2013). “The ternary Goldbach conjecture is true”. arXiv:1312.7748 [math.NT].

表話編歴未解決問題
分野別	数学物理学生物学計算機科学言語学化学天文学経済学地球科学情報理論医学哲学統計学
その他	懸賞金問題
カテゴリ

表話編歴数学
主要分野	数理論理学集合論圏論代数学初等線型多重線型抽象算術/数論解析学/微分積分学関数解析学行列解析幾何学代数微分有限離散位相代数的位相表現論リー理論（英語版）微分方程式線型微分方程式複素微分方程式常微分方程式偏微分方程式積分微分方程式力学系組合せ数学数理物理学ゲーム理論グラフ理論最適化問題数理最適化計算理論確率論数理統計学（英語版）制御理論三角法
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