常微分方程式 （じょうびぶんほうていしき、英 : ordinary differential equation, O.D.E. ）とは、数学 において、未知関数とその導関数からなる等式で定義される方程式である微分方程式 の一種で、未知関数が本質的にただ一つの変数を持つものである場合をいう。すなわち、変数 t の未知関数 x (t )F を用いて
F
(
t
,
x
(
t
)
,
x
(
1
)
(
t
)
,
…
,
x
(
n
)
(
t
)
)
=
0
(
x
(
k
)
(
t
)
:=
d
k
d
t
k
x
(
t
)
,
f
o
r
k
=
0
,
1
,
…
,
n
.
)
{\displaystyle F(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots ,x^{(n)}(t))=0\quad \left(x^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}x(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n.\right)}
という形にできるような関数方程式 を常微分方程式と呼ぶ。x (k ) (t )x (t )k 階の導関数 である。未知関数が単独でない場合には、関数の組をベクトル の記法を用いて表せば次のようになる。
F
(
t
,
x
(
t
)
,
x
(
1
)
(
t
)
,
…
,
x
(
n
)
(
t
)
)
=
0
(
x
(
k
)
(
t
)
:=
d
k
d
t
k
x
(
t
)
,
f
o
r
k
=
0
,
1
,
…
,
n
.
)
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))={\boldsymbol {0}}\quad \left({\boldsymbol {x}}^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}{\boldsymbol {x}}(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n.\right)}
ここで F , x
F
(
t
,
x
(
t
)
,
x
(
1
)
(
t
)
,
…
,
x
(
n
)
(
t
)
)
=
(
F
1
(
t
,
x
(
t
)
,
x
(
1
)
(
t
)
,
…
,
x
(
n
)
(
t
)
)
,
…
,
F
r
(
t
,
x
(
t
)
,
x
(
1
)
(
t
)
,
…
,
x
(
n
)
(
t
)
)
)
x
(
t
)
=
(
x
1
(
t
)
,
…
,
x
m
(
t
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {F}}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))=\left(F_{1}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t)),\dots ,F_{r}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))\right)\\&{\boldsymbol {x}}(t)=\left(x_{1}(t),\dots ,x_{m}(t)\right)\end{aligned}}}
を表す。この方程式系はしばしば連立常微分方程式 と呼ばれる。
また、多くの n 階常微分方程式は次のような形に書くことができる。
x
(
n
)
(
t
)
=
f
(
t
,
x
(
t
)
,
x
(
1
)
(
t
)
,
…
,
x
(
n
−
1
)
(
t
)
)
(
x
(
k
)
(
t
)
:=
d
k
d
t
k
x
(
t
)
,
f
o
r
k
=
0
,
1
,
…
,
n
.
)
.
{\displaystyle x^{(n)}(t)=f(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots ,x^{(n-1)}(t))\quad \left(x^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}x(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n.\right).}
常微分方程式の理論およびその研究を微分方程式論という。あるいはまた関数方程式論の名で微分方程式論を指すこともある。
線型常微分方程式 [ 編集 ] 常微分方程式が
d
n
x
d
t
n
+
a
n
−
1
(
t
)
d
n
−
1
x
d
t
n
−
1
+
⋯
+
a
0
(
t
)
x
=
b
(
t
)
{\displaystyle {\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{n-1}(t){\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+\cdots +a_{0}(t)x=b(t)}
の形に表されるとき線型 であるという。ただし、ak (t )b (t )t を変数とする既知の関数である。b (t ) = 0斉次 (homogeneous ) な方程式と呼ばれ、そうでない方程式は非斉次 (inhomogeneous ) な方程式と呼ばれる。
非線型常微分方程式 [ 編集 ] 線型でない常微分方程式は非線型であると言われる。非線型方程式の解は一般に、線型方程式のそれに比べて複雑な様相を呈する。そのような例として、ローレンツ方程式 やパンルヴェ方程式 などがある。一方、求積法 で解ける形の非線型方程式も数多く知られている[1] [2] [3] [1] [3] [4]
y
=
x
d
y
d
x
+
x
n
f
(
d
y
d
x
)
.
{\displaystyle y=x{\frac {\;dy\;}{dx}}+x^{n}f{\Bigl (}{\frac {\;dy\;}{dx}}{\Bigr )}.}
y
=
x
d
y
d
x
+
y
n
f
(
d
y
d
x
)
.
{\displaystyle y=x{\frac {\;dy\;}{dx}}+y^{n}f{\Bigl (}{\frac {\;dy\;}{dx}}{\Bigr )}.}
ここに、n は実数であり、f (·)
d
y
d
x
=
y
1
−
m
x
1
−
n
f
(
y
m
x
n
)
.
{\displaystyle {\frac {{d}y}{{d}x}}={\frac {\,y^{1-m}\,}{x^{1-n}}}f\!\left({\frac {\,y^{m}}{x^{n}}}\right).}
m, n は実数，ただし，m ≠ 0f は既知関数。
d
y
d
x
=
d
A
(
x
)
d
x
F
(
y
A
(
x
)
)
.
{\displaystyle {\frac {{d}y}{{d}x}}={\frac {\,{d}A(x)\,}{{d}x}}F\!\left({\frac {y}{A(x)}}\right).}
A (x )F は既知関数。
d
y
d
x
=
B
(
x
)
F
(
y
+
A
(
x
)
)
−
d
A
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle {\frac {{d}y}{{d}x}}=B(x)F(y+A(x))-{\frac {\,{d}A(x)\,}{{d}x}}.}
A (x )B (x )F は，いずれも既知関数。
y
=
x
d
y
d
x
+
P
(
x
)
(
d
2
y
d
x
2
)
n
.
{\displaystyle y=x{\frac {\,dy\,}{dx}}+P(x)\!\left({\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}\right)^{\!\!n}.}
y
=
x
d
y
d
x
+
f
(
d
2
y
d
x
2
)
.
{\displaystyle y=x{\frac {\,dy\,}{dx}}+f\!\!\,\left({\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}\right).}
上記の P (x )f (·)
y
=
x
d
y
d
x
+
f
(
x
n
d
2
y
d
x
2
)
.
{\displaystyle y=x{\frac {\,dy\,}{dx}}+f\!\,{\Bigl (}x^{n}{\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}{\Bigr )}.}
n は実数，ただし，n ≠ 2f は既知関数。
x
d
2
y
d
x
2
+
(
1
+
f
(
y
)
)
d
y
d
x
=
0.
{\displaystyle x{\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}+(1+f(y)){\frac {{d}y}{{d}x}}=0.}
f (y ) は既知関数。
x
d
2
y
d
x
2
+
(
α
+
γ
y
n
)
d
y
d
x
=
0.
{\displaystyle x{\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}+(\alpha +\gamma {}y^{n}){\frac {{d}y}{{d}x}}=0.}
n は実数．ただし，n ≠ −1
d
2
y
d
x
2
=
f
(
α
+
β
x
+
γ
y
k
+
ℓ
x
+
m
y
)
.
{\displaystyle {\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}=f\!\left({\frac {\alpha +\beta {x}+\gamma {y}}{k+\ell {x}+m{y}}}\right).}
f (·)
α
,
β
,
γ
,
k
,
ℓ
,
m
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,k,\ell ,m}
γ
ℓ
−
β
m
=
0
{\displaystyle \gamma \ell -\beta {m}=0}
連立常微分方程式 [ 編集 ] 連立常微分方程式（simultaneous ordinary differential equations）は、
1 つの独立変数 t と複数の未知関数 x 1 (t ),..., xn (t )導関数 により構成される複数の方程式 の組である。例えば、比較的簡単な例として、t の 2 つの未知関数を x 1 (t ), x 2 (t )x' 1 (t ), x' 2 (t )
F
(
t
,
x
1
,
x
2
,
x
1
′
(
t
)
,
x
2
′
(
t
)
)
=
0
,
{\displaystyle F\left(t,x_{1},x_{2},x'_{1}(t),x'_{2}(t)\right)=0,}
G
(
t
,
x
1
,
x
2
,
x
1
′
(
t
)
,
x
2
′
(
t
)
)
=
0
{\displaystyle G\left(t,x_{1},x_{2},x'_{1}(t),x'_{2}(t)\right)=0}
は一つの連立常微分方程式である。ただし、F, G は既知関数 である。
一般の連立常微分方程式は、1 つの独立変数と m 個の未知関数およびその n 階の導関数を含み、複数個の常微分方程式 の組になる。
F
k
(
t
;
x
1
,
…
,
x
m
;
x
1
(
1
)
,
…
,
x
m
(
1
)
;
…
;
x
1
(
n
)
,
…
,
x
m
(
n
)
)
=
0
,
k
=
1
,
2
,
…
,
r
.
{\displaystyle F_{k}\left(t;x_{1},\dots ,x_{m};x_{1}^{(1)},\dots ,x_{m}^{(1)};\dots ;x_{1}^{(n)},\dots ,x_{m}^{(n)}\right)=0,\qquad k=1,2,\dots ,r.}
ここで xi (j ) (t )xi (t )j 階の導関数である (i = 0, 1,..., m ; j = 0, 1,..., n system of ordinary differential equations ）と呼ぶこともある。
これら r 個の常微分方程式 すべてを満足する関数の組 x 1 (t ),..., xm (t )解 という。
具体的な例を一つ示す。独立変数 x の未知関数を y, z とし、a, b, c, d を定数とすると、
d
y
d
x
=
a
z
+
b
,
{\displaystyle {\frac {\,dy\,}{dx}}=az+b,}
d
z
d
x
=
c
y
+
d
{\displaystyle {\frac {dz}{\,dx\,}}=cy+d}
は、一階の連立常微分方程式の例である。一般的な連立常微分方程式は、求積法 で解くのは困難であるが、一般性を含む連立常微分方程式の例として、求積法で解ける連立常微分方程式が多少知られている[1] [2] [3] [3] [5]
{
F
(
y
,
d
z
d
x
)
=
0
,
G
(
z
,
d
w
d
x
)
=
0
,
H
(
w
,
d
y
d
x
⋅
(
d
w
d
x
)
−
1
)
=
0.
{\displaystyle {\begin{cases}\;\,\displaystyle F\!\left(y,\;\;{\frac {\,dz\,}{dx}}\right)=0,\\[3ex]\;\,\displaystyle G\!\left(z,\;\;{\frac {\,dw\,}{dx}}\right)=0,\\[3ex]\;\,\displaystyle H\!\left(w,\;\;{\frac {\,dy\,}{dx}}\cdot \left({\frac {\,dw\,}{dx}}\right)^{\!\!-1}\;\right)=0.\end{cases}}}
x は独立変数であり、y, z, w は x を変数とする未知関数である。また、F, G, H を既知関数とする[5]
参考文献 [ 編集 ]
^ a b c d e 長島 隆廣 『常微分方程式80余例とその厳密解』 近代文芸社、2005年 ISBN 4-7733-7282-6 . 国立国会図書館蔵書, 請求記号：MA117-H55（東京 本館書庫）。
^ a b 長島 隆廣［常微分方程式134例とその解］丸善出版サービスセンター，1982年5月発行，国立国会図書館・請求記号 MA117-111，全国書誌番号 82049441
^ a b c d e f 長島 隆廣『常微分方程式80余例と求積法による解法』2018年12月 researchmap で公開，全編PDF： https://researchmap.jp/T_Nagashima または， https://researchmap.jp/muoht9dml-2225716/#_2225716
^ a b 長島 隆廣 『数学セミナー』，日本評論社，1986年5月号，第25巻，第5号，通巻294号，pp.94-95。
^ a b 長島 隆廣 『数学セミナー』，日本評論社，1988年3月号，第27巻，第3号，通巻316号，p.98。
関連文献 [ 編集 ] 坂井秀隆. (2015). 常微分方程式. 東京大学出版会 .
大谷光春. (2011). 常微分方程式論. サイエンス社 .
福原満洲雄 「常微分方程式 第2版」岩波全書. 岩波書店 .常微分方程式, 朝倉書店 , 高野恭一.
常微分方程式と解析力学 , 木村俊房 ・飯高茂 ・西川青季・岡本和夫・楠岡成雄 (編集) 伊藤秀一著, 共立講座 21世紀の数学 第11巻978-4-320-01563-0 , 1998年01月, 共立出版 .
ウイルス感染 と常微分方程式, 岩見真吾 , 佐藤佳 , 竹内康博 著（シリーズ: 現象を解明する数学 / 三村昌泰 , 竹内康博, 森田善久 編集）共立出版 , 2017.4常微分方程式 新版, レフ・セミョーノヴィチ・ポントリャーギン/千葉克裕 共立出版 1981年02月
常微分方程式の局所漸近解析, 柴田正和 森北出版 2010年08月 Hartman, Philip (2002) [1964], Ordinary differential equations, Classics in Applied Mathematics, 38, Philadelphia: en:Society for Industrial and Applied Mathematics , ISBN 978-0-89871-510-1 , MR 1929104
Ince, Edward L. (1944) [1926], Ordinary Differential Equations, en:Dover Publications , New York, ISBN 978-0-486-60349-0 , MR 0010757
Witold Hurewicz, Lectures on Ordinary Differential Equations, en:Dover Publications , ISBN 0-486-49510-8
Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0 .
Polyanin, A. D. and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)", Chapman & Hall/CRC Press , Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
Grimshaw, R. (2017). Nonlinear ordinary differential equations. Routledge.
Arnolʹd, V. I. , Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations. en:Springer Science & Business Media .Arnolʹd, V. I. , Ordinary differential equations. Springer.Wolfgang Walter , Ordinary differential equations. Springer.Logemann, H., & Ryan, E. P. (2014). Ordinary differential equations: Analysis, qualitative theory and control. Springer.
Hermann, M., & Saravi, M. (2014). A First Course in Ordinary Differential Equations. Analytical and Numerical Methods, Springer India.
Chicone, C. (2006). Ordinary differential equations with applications. en:Springer Science & Business Media . 関連項目 [ 編集 ] 方程式 [ 編集 ] 数値計算 [ 編集 ]
![{\begin{cases}\;\,\displaystyle F\!\left(y,\;\;{\frac {\,dz\,}{dx}}\right)=0,\\[3ex]\;\,\displaystyle G\!\left(z,\;\;{\frac {\,dw\,}{dx}}\right)=0,\\[3ex]\;\,\displaystyle H\!\left(w,\;\;{\frac {\,dy\,}{dx}}\cdot \left({\frac {\,dw\,}{dx}}\right)^{{\!\!-1}}\;\right)=0.\end{cases}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8835582fca1a9190a8b807a28289cec39d58637f)
