常微分方程式

数学において常微分方程式（じょうびぶんほうていしき、ordinary differential equation, O.D.E.）とは、未知関数とその導関数からなる等式で定義される方程式である微分方程式の一種で、未知関数が本質的にただ一つの変数を持つものである場合をいう。すなわち、変数 t の未知関数 $\displaystyle x(t)$ に対して、関数 F を用いて

$F(t,x(t),x'(t),...,x^{(n-1)}(t),x^{(n)}(t))=0~~$

の形の等式に表すことが出来るとき、この等式を常微分方程式と呼ぶ。ただし、 $\displaystyle x^{(k)}\!(t)$ $\displaystyle (k=0,1,2,...,n),$ $\displaystyle (x^{(0)}\!(t)=x(t),$ $\displaystyle x^{(1)}\!(t)=x'(t))$ は未知関数 $x\,$ 　の $t\,$ 　に関する $k\,$ 階の導関数である。また、方程式が一本ではなく複数あるときには連立常微分方程式が考えられる。

常微分方程式の理論およびその研究を微分方程式論という。あるいはまた関数方程式論の名で微分方程式論を指すこともある。

線型常微分方程式[編集]

常微分方程式が

$\frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_0(x)y = b(x)$

の形に表されるとき線型であるという。ただし、 $\displaystyle a_{k}(x)$ および $\displaystyle b(x)$ は $\displaystyle x$ を変数とする既知の関数である。 $\displaystyle b(x)=0$ のとき方程式は斉次であるという。

非線型常微分方程式[編集]

線型でない常微分方程式は非線型であると言われる。非線型方程式の解は一般に、線型方程式のそれに比べて複雑な様相を呈する。そのような例として、ローレンツ方程式やパンルヴェ方程式などがある。一方、求積法で解ける形の非線型方程式も数多く知られている^[1] ^[2]。

連立常微分方程式[編集]

連立常微分方程式（simultaneous ordinary differential equations）は、ただ一つの独立変数 $x~~$ と複数の未知関数 $u_1(x),...,u_n(x)~~$ およびその導関数により構成される複数の方程式の組である。例えば，比較的簡単な例として、 $x~~$ の二つの未知関数を $u_1(x)~~$ と $u_2(x)~~$ とする。一階の導関数を $u'_1(x), u'_2(x)~~$ として、

$F\left(x,u_1,u_2,u'_1(x), u'_2(x)\right)=0,$

$G\left(x,u_1,u_2,u'_1(x), u'_2(x)\right)=0$

は一つの連立常微分方程式である。ただし、 $F~~$ と $G~~$ は、既知関数である。一般の連立常微分方程式は、一つの独立変数と $n~$ 個の未知関数および $m~$ 階の導関数を含み、複数個の常微分方程式の組になるので、かなり複雑である。あえて、これを書き下すと、

$F_{i}\left(x,u_1,...,u_n,u'_1,...,u'_n,...,u^{(m)}_1,...,u^{(m)}_n\right)=0, \qquad i=1,2,...,h.$

となる。 $u^{(m)}_1,...,u^{(m)}_n~~$ は、 $m~$ 階の導関数である。なお、連立常微分方程式を常微分方程式系（system of ordinary differential equations）と呼ぶこともある。これら $h~~$ 個のすべての常微分方程式を満足する $x~~$ の関数 $u_1(x),...,u_n(x)~~$ をその解という。