常微分方程式 （じょうびぶんほうていしき、英 : ordinary differential equation, O.D.E. ）とは、数学 において、未知関数 とその導関数 からなる等式で定義される方程式である微分方程式 の一種で、未知関数が本質的にただ一つの変数を持つものである場合をいう。すなわち、変数 t の未知関数 x (t )F を用いて
F
(
t
,
x
(
t
)
,
x
(
1
)
(
t
)
,
…
,
x
(
n
)
(
t
)
)
=
0
(
x
(
k
)
(
t
)
:=
d
k
d
t
k
x
(
t
)
,
f
o
r
k
=
0
,
1
,
…
,
n
.
)
{\displaystyle F(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots ,x^{(n)}(t))=0\quad \left(x^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}x(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n.\right)}
という形にできるような関数方程式 を常微分方程式と呼ぶ。x (k ) (t )x (t )k 階の導関数 である。未知関数が単独でない場合には、関数の組をベクトル の記法を用いて表せば次のようになる。
F
(
t
,
x
(
t
)
,
x
(
1
)
(
t
)
,
…
,
x
(
n
)
(
t
)
)
=
0
(
x
(
k
)
(
t
)
:=
d
k
d
t
k
x
(
t
)
,
f
o
r
k
=
0
,
1
,
…
,
n
.
)
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))={\boldsymbol {0}}\quad \left({\boldsymbol {x}}^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}{\boldsymbol {x}}(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n.\right)}
ここで F , x
F
(
t
,
x
(
t
)
,
x
(
1
)
(
t
)
,
…
,
x
(
n
)
(
t
)
)
=
(
F
1
(
t
,
x
(
t
)
,
x
(
1
)
(
t
)
,
…
,
x
(
n
)
(
t
)
)
,
…
,
F
r
(
t
,
x
(
t
)
,
x
(
1
)
(
t
)
,
…
,
x
(
n
)
(
t
)
)
)
x
(
t
)
=
(
x
1
(
t
)
,
…
,
x
m
(
t
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {F}}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))=\left(F_{1}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t)),\dots ,F_{r}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))\right)\\&{\boldsymbol {x}}(t)=\left(x_{1}(t),\dots ,x_{m}(t)\right)\end{aligned}}}
を表す。この方程式系はしばしば連立常微分方程式 と呼ばれる。
また、多くの n 階常微分方程式は次のような形に書くことができる。
x
(
n
)
(
t
)
=
f
(
t
,
x
(
t
)
,
x
(
1
)
(
t
)
,
…
,
x
(
n
−
1
)
(
t
)
)
(
x
(
k
)
(
t
)
:=
d
k
d
t
k
x
(
t
)
,
f
o
r
k
=
0
,
1
,
…
,
n
.
)
.
{\displaystyle x^{(n)}(t)=f(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots ,x^{(n-1)}(t))\quad \left(x^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}x(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n.\right).}
常微分方程式の理論およびその研究を微分方程式論という。あるいはまた関数方程式論の名で微分方程式論を指すこともある。
線型常微分方程式 [ 編集 ] 常微分方程式が
d
n
x
d
t
n
+
a
n
−
1
(
t
)
d
n
−
1
x
d
t
n
−
1
+
⋯
+
a
0
(
t
)
x
=
b
(
t
)
{\displaystyle {\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{n-1}(t){\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+\cdots +a_{0}(t)x=b(t)}
の形に表されるとき線型 であるという。ただし、ak (t )b (t )t を変数とする既知の関数である。b (t ) = 0斉次 (homogeneous ) な方程式と呼ばれ、そうでない方程式は非斉次 (inhomogeneous ) な方程式と呼ばれる。
非線型常微分方程式 [ 編集 ] 線型でない常微分方程式は非線型であると言われる。非線型方程式の解は一般に、線型方程式のそれに比べて複雑な様相を呈する。そのような例として、ローレンツ方程式 やパンルヴェ方程式 などがある。一方、求積法 で解ける形の非線型方程式も数多く知られている[1] [2] [3] [1] [3] [4]
y
=
x
d
y
d
x
+
x
n
f
(
d
y
d
x
)
.
{\displaystyle y=x{\frac {\;dy\;}{dx}}+x^{n}f{\Bigl (}{\frac {\;dy\;}{dx}}{\Bigr )}.}
y
=
x
d
y
d
x
+
y
n
f
(
d
y
d
x
)
.
{\displaystyle y=x{\frac {\;dy\;}{dx}}+y^{n}f{\Bigl (}{\frac {\;dy\;}{dx}}{\Bigr )}.}
ここに、n は実数であり、f (·)
d
y
d
x
=
y
1
−
m
x
1
−
n
f
(
y
m
x
n
)
.
{\displaystyle {\frac {{d}y}{{d}x}}={\frac {\,y^{1-m}\,}{x^{1-n}}}f\!\left({\frac {\,y^{m}}{x^{n}}}\right).}
m, n は実数，ただし，m ≠ 0f は既知関数。
d
y
d
x
=
d
A
(
x
)
d
x
F
(
y
A
(
x
)
)
.
{\displaystyle {\frac {{d}y}{{d}x}}={\frac {\,{d}A(x)\,}{{d}x}}F\!\left({\frac {y}{A(x)}}\right).}
A (x )F は既知関数。
d
y
d
x
=
B
(
x
)
F
(
y
+
A
(
x
)
)
−
d
A
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle {\frac {{d}y}{{d}x}}=B(x)F(y+A(x))-{\frac {\,{d}A(x)\,}{{d}x}}.}
A (x )B (x )F は，いずれも既知関数。
y
=
x
d
y
d
x
+
P
(
x
)
(
d
2
y
d
x
2
)
n
.
{\displaystyle y=x{\frac {\,dy\,}{dx}}+P(x)\!\left({\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}\right)^{\!\!n}.}
y
=
x
d
y
d
x
+
f
(
d
2
y
d
x
2
)
.
{\displaystyle y=x{\frac {\,dy\,}{dx}}+f\!\!\,\left({\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}\right).}
上記の P (x )f (·)
y
=
x
d
y
d
x
+
f
(
x
n
d
2
y
d
x
2
)
.
{\displaystyle y=x{\frac {\,dy\,}{dx}}+f\!\,{\Bigl (}x^{n}{\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}{\Bigr )}.}
n は実数，ただし，n ≠ 2f は既知関数。
x
d
2
y
d
x
2
+
(
1
+
f
(
y
)
)
d
y
d
x
=
0.
{\displaystyle x{\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}+(1+f(y)){\frac {{d}y}{{d}x}}=0.}
f (y ) は既知関数。
x
d
2
y
d
x
2
+
(
α
+
γ
y
n
)
d
y
d
x
=
0.
{\displaystyle x{\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}+(\alpha +\gamma {}y^{n}){\frac {{d}y}{{d}x}}=0.}
n は実数．ただし，n ≠ −1
d
2
y
d
x
2
=
f
(
α
+
β
x
+
γ
y
k
+
ℓ
x
+
m
y
)
.
{\displaystyle {\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}=f\!\left({\frac {\alpha +\beta {x}+\gamma {y}}{k+\ell {x}+m{y}}}\right).}
f (·)
α
,
β
,
γ
,
k
,
ℓ
,
m
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,k,\ell ,m}
γ
ℓ
−
β
m
=
0
{\displaystyle \gamma \ell -\beta {m}=0}
連立常微分方程式 [ 編集 ] 連立常微分方程式（simultaneous ordinary differential equations）は、
1 つの独立変数 t と複数の未知関数 x 1 (t ),..., xn (t )導関数 により構成される複数の方程式 の組である。例えば、比較的簡単な例として、t の 2 つの未知関数を x 1 (t ), x 2 (t )x' 1 (t ), x' 2 (t )
F
(
t
,
x
1
,
x
2
,
x
1
′
(
t
)
,
x
2
′
(
t
)
)
=
0
,
{\displaystyle F\left(t,x_{1},x_{2},x'_{1}(t),x'_{2}(t)\right)=0,}
G
(
t
,
x
1
,
x
2
,
x
1
′
(
t
)
,
x
2
′
(
t
)
)
=
0
{\displaystyle G\left(t,x_{1},x_{2},x'_{1}(t),x'_{2}(t)\right)=0}
は一つの連立常微分方程式である。ただし、F, G は既知関数 である。
一般の連立常微分方程式は、1 つの独立変数と m 個の未知関数およびその n 階の導関数を含み、複数個の常微分方程式 の組になる。
F
k
(
t
;
x
1
,
…
,
x
m
;
x
1
(
1
)
,
…
,
x
m
(
1
)
;
…
;
x
1
(
n
)
,
…
,
x
m
(
n
)
)
=
0
,
k
=
1
,
2
,
…
,
r
.
{\displaystyle F_{k}\left(t;x_{1},\dots ,x_{m};x_{1}^{(1)},\dots ,x_{m}^{(1)};\dots ;x_{1}^{(n)},\dots ,x_{m}^{(n)}\right)=0,\qquad k=1,2,\dots ,r.}
ここで xi (j ) (t )xi (t )j 階の導関数である (i = 0, 1,..., m ; j = 0, 1,..., n system of ordinary differential equations ）と呼ぶこともある。
これら r 個の常微分方程式 すべてを満足する関数の組 x 1 (t ),..., xm (t )解 という。
具体的な例を一つ示す。独立変数 x の未知関数を y, z とし、a, b, c, d を定数とすると、
d
y
d
x
=
a
z
+
b
,
{\displaystyle {\frac {\,dy\,}{dx}}=az+b,}
d
z
d
x
=
c
y
+
d
{\displaystyle {\frac {dz}{\,dx\,}}=cy+d}
は、一階の連立常微分方程式の例である。一般的な連立常微分方程式は、求積法 で解くのは困難であるが、一般性を含む連立常微分方程式の例として、求積法で解ける連立常微分方程式が多少知られている[1] [2] [3] [3] [5]
{
F
(
y
,
d
z
d
x
)
=
0
,
G
(
z
,
d
w
d
x
)
=
0
,
H
(
w
,
d
y
d
x
⋅
(
d
w
d
x
)
−
1
)
=
0.
{\displaystyle {\begin{cases}\;\,\displaystyle F\!\left(y,\;\;{\frac {\,dz\,}{dx}}\right)=0,\\[3ex]\;\,\displaystyle G\!\left(z,\;\;{\frac {\,dw\,}{dx}}\right)=0,\\[3ex]\;\,\displaystyle H\!\left(w,\;\;{\frac {\,dy\,}{dx}}\cdot \left({\frac {\,dw\,}{dx}}\right)^{\!\!-1}\;\right)=0.\end{cases}}}
x は独立変数であり、y, z, w は x を変数とする未知関数である。また、F, G, H を既知関数とする[5]
参考文献 [ 編集 ]
^ a b c d e 長島 隆廣 『常微分方程式80余例とその厳密解』 近代文芸社、2005年 ISBN 4-7733-7282-6 . 国立国会図書館蔵書, 請求記号：MA117-H55（東京 本館書庫）。
^ a b 長島 隆廣［常微分方程式134例とその解］丸善出版サービスセンター，1982年5月発行，国立国会図書館・請求記号 MA117-111，全国書誌番号 82049441
^ a b c d e f 長島 隆廣『常微分方程式80余例と求積法による解法』2018年12月 researchmap で公開，全編PDF： https://researchmap.jp/T_Nagashima または， https://researchmap.jp/multidatabases/multidatabase_contents/detail/263160/16f8fddfba5ab789f6475ac2962bfd31?frame_id=539358
^ a b 長島 隆廣 『数学セミナー』，日本評論社，1986年5月号，第25巻，第5号，通巻294号，pp.94-95。
^ a b 長島 隆廣 『数学セミナー』，日本評論社，1988年3月号，第27巻，第3号，通巻316号，p.98。
関連文献 [ 編集 ] 坂井秀隆. (2015). 常微分方程式. 東京大学出版会 .
大谷光春. (2011). 常微分方程式論. サイエンス社 .
福原満洲雄 「常微分方程式 第2版」岩波全書. 岩波書店 .常微分方程式, 朝倉書店 , 高野恭一.
常微分方程式と解析力学 , 木村俊房 ・飯高茂 ・西川青季・岡本和夫・楠岡成雄 (編集) 伊藤秀一著, 共立講座 21世紀の数学 第11巻978-4-320-01563-0 , 1998年01月, 共立出版 .
ウイルス感染 と常微分方程式, 岩見真吾 , 佐藤佳 , 竹内康博 著（シリーズ: 現象を解明する数学 / 三村昌泰 , 竹内康博, 森田善久 編集）共立出版 , 2017.4常微分方程式 新版, レフ・セミョーノヴィチ・ポントリャーギン/千葉克裕 共立出版 1981年02月
常微分方程式の局所漸近解析, 柴田正和 森北出版 2010年08月 Hartman, Philip (2002) [1964], Ordinary differential equations, Classics in Applied Mathematics, 38, Philadelphia: en:Society for Industrial and Applied Mathematics , ISBN 978-0-89871-510-1 , MR 1929104
Ince, Edward L. (1944) [1926], Ordinary Differential Equations, en:Dover Publications , New York, ISBN 978-0-486-60349-0 , MR 0010757
Witold Hurewicz, Lectures on Ordinary Differential Equations, en:Dover Publications , ISBN 0-486-49510-8
Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0 .
Polyanin, A. D. and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)", Chapman & Hall/CRC Press , Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
Grimshaw, R. (2017). Nonlinear ordinary differential equations. Routledge.
Arnolʹd, V. I. , Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations. en:Springer Science & Business Media .Arnolʹd, V. I. , Ordinary differential equations. Springer.Wolfgang Walter , Ordinary differential equations. Springer.Logemann, H., & Ryan, E. P. (2014). Ordinary differential equations: Analysis, qualitative theory and control. Springer.
Hermann, M., & Saravi, M. (2014). A First Course in Ordinary Differential Equations. Analytical and Numerical Methods, Springer India.
Chicone, C. (2006). Ordinary differential equations with applications. en:Springer Science & Business Media . 関連項目 [ 編集 ] 方程式 [ 編集 ] 数値計算 [ 編集 ]
![{\begin{cases}\;\,\displaystyle F\!\left(y,\;\;{\frac {\,dz\,}{dx}}\right)=0,\\[3ex]\;\,\displaystyle G\!\left(z,\;\;{\frac {\,dw\,}{dx}}\right)=0,\\[3ex]\;\,\displaystyle H\!\left(w,\;\;{\frac {\,dy\,}{dx}}\cdot \left({\frac {\,dw\,}{dx}}\right)^{{\!\!-1}}\;\right)=0.\end{cases}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8835582fca1a9190a8b807a28289cec39d58637f)
