関数一覧

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数学の中で、特別の名前を冠するに足る重要な関数がいくつかある。この記事はそれらの関数の個々の記事を参照する一覧である。

初等関数[編集]

ジョゼフ・リウヴィル初等関数を次のように定義した。多項式を第 0 級初等関数、指数関数 ez と対数関数 log(z) を第 1 級初等関数、両者をあわせて、たかだか第 1 級初等関数と呼ぶ。以下、関数の合成を行うことで、たかだか第 n 級初等関数を帰納的に構成できる。たかだか第 n 級初等関数であって、たかだか第 n−1 級初等関数でないものを、第 n 級初等関数と呼ぶ。

  • 多項式関数: 多項式は不定元のべきたちの定数倍と、それらの和のみからなり、不定元への値の代入が関数を定める。べき関数とも呼ばれる。多項式の次数 n により 「n 次関数」のようにも呼ばれる。
  • 有理関数: 多項式ので与えられる関数。分数関数、代数関数とも。
  • 平方根: 二乗すると与えられた数になるような数を返す。
  • 立方根: 三乗すると与えられた数になるような数を返す。
  • 指数関数: ある定数の冪乗。特に、自然対数の底 e の冪乗を扱うことが多い。
  • 対数関数: 指数関数の逆関数であり、指数を含む方程式を解くのに便利。
  • 三角関数: 正弦関数 (sin)、余弦関数 (cos)、正接関数 (tan)、その他。幾何学や、周期的な現象を記述するために使われる。
  • 双曲線関数: 双曲正弦 (sinh)、双曲余弦 (cosh) など。三角関数に似た関係式を持つ。
  • グーデルマン関数: 双曲線関数と逆三角関数の合成関数。

整数論的関数[編集]

主に整数論で使われる関数の一覧。

その他の特殊関数[編集]

名前のついた関数を特殊関数というが、ここは他の分類に収まらないものの一覧。

超関数[編集]

  • ディラックのデルタ関数: 0 以外の任意の実数に対しては 0 が対応し、0 を内点とする任意の区間上で独立変数を変化させていくときの(広義)積分の値が 1 であるような超関数。普通の意味での関数ではないが確率分布ではある。

関数のクラス[編集]

ここは名前のついた関数ではなく、名前のついた性質をもった関数の一覧。

脚注[編集]

  1. ^ 荒川恒男, 伊吹山知義, & 金子昌信. (2001). ベルヌーイ数とゼータ関数. 牧野書店.
  2. ^ 梅村浩. (2000). 楕円関数論: 楕円曲線解析学, 東京大学出版会.
  3. ^ 戸田盛和. (2001). 楕円関数入門, 日本評論社.
  4. ^ Watson, G. N. (1995). A treatise on the theory of Bessel functions. Cambridge University Press.
  5. ^ 平野鉄太郎. (1963). ベッセル関数入門, 日新出版.
  6. ^ Lewin, L. (1991). Structural properties of polylogarithms (No. 37). American Mathematical Soc..
  7. ^ Higham, N. J. (2008). Functions of matrices: theory and computation. SIAM.
  8. ^ 松浦武信, 吉田正廣, & 小泉義晴. (2003). 物理・工学のためのグリーン関数入門.
  9. ^ Ahlfors, L. V., Ahlfors, L. V., Ahlfors, L. V., & Ahlfors, L. V. (1966). Complex analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable (Vol. 2). New York: McGraw-Hill.
  10. ^ Nevanlinna, R., Behnke, H., Grauert, H., Ahlfors, L. V., Spencer, D. C., Bers, L., ... & Jenkins, J. A. (1970). Analytic functions (Vol. 11). Berlin: Springer.