三角法

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数学における三角法(さんかくほう)とは、三角形の大きさとの長さの関係を用いる手法の総称である。様々な数学の分野の中でもきわめて古くから存在し、測量などの実用上の要求と密接に関連して生まれたものである。三角法と数表を用いることで、直接に測ることの難しい長さを良い精度で求めることができる。三角関数は歴史的には三角法から派生して生まれた関数である。

三角法を用いることによって、建築物の高さなどを簡単に測ることができるようになる。投影図法の一つである第三角法が、三角法と称される場合がある。(「正投影図」を参照)

球面三角法[編集]

3つの大円により8個の球面三角形が定義される。

球面三角法とは、球面三角形の角と辺の関係を研究する学問である[1][2]。球面三角形とは球面上の3つの大円のにより区切られた図形である[3]。大円とは球の中心を通る平面により球を切ったとき、球の切り口に表れる図形である[4]

歴史[編集]

1728年にイギリスで出版された百科事典『サイクロペディア英語版』に記載された三角法に関する図面

直角三角形の3辺の長さの比は、測量天文学の要請によって古代から研究されてきた。イエール大学バビロニア・コレクション英語版 No.7289(前2000年頃)には、正方形と2本の対角線が描かれていて、それぞれの長さが60進数で記されている[5]楔形文字を解読したところ√2の近似値の精度は小数点以下5桁まで一致した[5]。前1800年〜前1650年の間のある時期に作られた粘土板(コロンビア大学のプリムプトン・コレクション No.322)には、ピュタゴラスの三ツ組数が記されていた[6]

円の一周を360°に分割する度数法シュメール人の発明である。彼らはこれを用いて角度の計測の研究を行った[7]。シュメール人と、さらに後代のバビロニア人は、三角形の辺の比を研究し、相似の関係にある2つの三角形ではこれらが一定になるという性質を発見したが、三角形の辺の長さや角度を求めることができる体系的な方法を編み出すまでには至らなかった。

古代ギリシャ・エジプト[編集]

古代ギリシャにおいて、円と球に基づく宇宙観に則った天文学研究から、ヒッパルコスにより一定の半径の円における中心角に対するの長さが表にまとめられたもの(正弦表英語版)が作られた。プトレマイオスの『アルマゲスト』にも正弦表が記載されている。

紀元前3世紀、エウクレイデスアルキメデスといった、古代ギリシアの数学者は、円における円周角とそのの性質を研究し、現代の三角法の公式と同等の定理を見出した。ただし、古代ギリシア人の証明方法は、代数的方法によらず、もっぱら幾何学的方法に依存した。前140年、小アジアニカイア生まれの数学・天文学者、ヒッパルコスが「三角法に関する数表」(trigonometric tables) を作った[8]。彼はそれを用いて平面における問題のみならず、球面三角法に関する問題を解こうとした[9]。紀元2世紀アレクサンドリアのギリシア系エジプト人天文学者、プトレマイオスは、大著『アルマゲスト』の第1巻11章に詳細な三角法に関する表を示した[10]。これは本質的にはヒッパルコスのものと同じく、円周角とその弦長の関係を示したものであるが、より正確であり、また、はるかに使いやすかった[11]プトレマイオスの円周角と弦長の表英語版は後世の人に改良されるまでに数世紀を要し、その後、1200年間にわたって東欧ビザンツ世界イスラーム世界、さらに後には西欧世界においても、天文学における三角法の計算に実用され続けた。

古代インド[編集]

正弦表は後にインドに伝わり、弦の長さは半分でよいという考えから5世紀頃には半弦 ardha-jiva(つまり現在の sine の意味の正弦)の長さをより精確にまとめたもの、すなわちアーリヤバタヒンディー語: आर्यभट Āryabhaṭa)によって書かれたサンスクリット語の天文学書『アーリヤバティーヤ英語版』(ヒンディー語: आर्यभटीय Āryabhaṭīya)、が作成された(Āryabhaṭa's sine table)。ardha は"半分" jiva は"弦"の意味で、当時のインドではこの半弦(現在の sine の意味の正弦)は単に jiva と略された。また、弦の長さを半分にして直角三角形を当てはめたことから派生して余角 (complementary angle) の考えが生まれ、“余角 (co-angle) の正弦 (sine)”という考えから余弦 (cosine) の考えが生まれた。余弦の値もこの頃に詳しく調べられている。(*co- は complementary の略で、補完的・補足的という意味の接頭語として用いる)

628年、ブラーマグプタヒンディー語: ब्रह्मगुप्त Brahmagupta)が当時のインド数学と天文学の成果をまとめた代表的な著書『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』(ヒンディー語: ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त Brāhmasphuṭasiddhānta)を発表。

中世インド[編集]

正弦の法則について書いてあることが確認できる最も古い文献は、古代インドの数学書『スーリヤ・シッダーンタ英語版』である。インドの数学者・天文学者は正弦の法則についてさらに研究を進め、紀元後5世紀には天文学者アーリヤバタがより深く掘り下げた内容を本に著した[12]。ここまでで述べてきたようなギリシアやインドの数学者・天文学者の三角法に関する著作は、中世イスラーム世界の数学者(なお、ムスリムだけでなくユダヤ教徒やキリスト教徒もいる)によりアラビア語に翻訳され、注釈というかたちでさらに拡張した。同じころ、中国の数学者が独立に、三角法を発展させていたが、彼らは三角法を中心に研究していたわけではない。三角関数や三角法の知識は、プトレマイオスの『アルマゲスト』のラテン語への翻訳を通して西ヨーロッパ世界に伝わった。アラビア語から翻訳されたのは『アルマゲスト』だけでなく、バッターニートゥースィーなどといった、ペルシアやアラビアの天文学者の著作も含まれていた[13]。15世紀のドイツ人数学者、レギオモンタヌスによる De Triangulis はアルプス以北のヨーロッパの数学者が書いた三角法に関する著作のうち、最も古いものの一つである。『アルマゲスト』のギリシア語写本を手に入れたレギオモンタヌスは、ビザンツ帝国から来た学者、バシリオス・ベッサリオンと数年間をともに暮らし、ベッサリオンから三角法に関する著作を書くよう勧められた。De Triangulis はその成果の一つである[14]。同じころ、クレタ人のトラペズンティヌス英語版により『アルマゲスト』のギリシア語からラテン語への全訳が行われた[15]。アルプス以北のヨーロッパにおいては16世紀になっても三角法があまり知られていなかったため、コペルニクスは『天球の回転について』を著したとき、その内の2章を三角法の基本概念の説明に費やすほどであった。

中国[編集]

中国へは代(718年頃)に瞿曇悉達によってシッダーンタ英語版[16](アーリヤバタの正弦表)が漢訳された『九執暦』が作られ、『開元占経中国語版英語版』に含まれている。

日本[編集]

日本では、江戸期に関孝和建部賢弘久留島喜内らが和算の「円理」と呼ばれる理論を発展させた。

イスラム帝国[編集]

770年代にファザーリヤークブ・イブン・タリク英語版が『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』をアラビア語に翻訳した『シンドヒンド』(アラビア語: السند هندZij al-Sindhind[17])を発表し、インドの知識がイスラーム世界にもたらされた。8世紀頃イスラム帝国へ伝わったときに jaib(入り江)と変化した。

10世紀のアッバース朝時代にシリアの数学者アル・バッターニが正弦法の導入、コタンジェント表の計算、球面三角法(球面幾何学)の定理を提唱した(Astronomy in medieval IslamZij、『サービア天文表 Az-Zij as-Sabi』)。ブワイフ朝バグダードの数学者アブル・ワファータンジェントを導入した(al-Marwazi説もある)。

中世ヨーロッパ[編集]

スペインタイファ期だった12世紀から13世紀にかけて、トレド翻訳学派スペイン語版英語版の学者が活躍した。一説では12世紀に、翻訳学派のひとり、チェスターのロバートが、アル・バッターニの著書をアラビア語からラテン語に翻訳した際、正弦を sinus rectus と意訳し(sinusはラテン語で「湾」のこと)、現在の sine になったという。

近世ヨーロッパ[編集]

円や弦といった概念からは独立に、三角比を辺の比として角と長さの関係と捉えたのは16世紀オーストリアのゲオルク・レティクスであるといわれる。16世紀には地理学者メルカトルメルカトル図法を考案して、大航海時代に始まった地図学の発展に大きな功績を残したが、メルカトルの時代には積分法は知られていなかったので「Secant関数の積分英語版」が中心的な問題となった。 1638年ルネ・デカルトジル・ド・ロベルヴァルが出題したデカルトの正葉線の問題が微積分法の発達を促し、インドのケーララ学派やイスラム帝国から伝わっていたそれまでの微分法と積分法という別々の二つの理論体系は、1670年頃にニュートンライプニッツが独立に微積分法を発見・発明した結果、統合された。この微積分学によって、三角関数の理論は大きく発展した。17世紀後半にはアイザック・バロージェームス・グレゴリーによって独立にSecant関数の積分が解決され、緯線距離はランベルト関数(逆グーデルマン関数)に相当することが明らかになった。また、余弦を co-sine と呼んだり、sin, cos という記号が使われるようになったりしたのは 17世紀になってからであり、それが定着するのは 18世紀オイラーの頃である。一般角に対する三角関数を定義したのはオイラーである。1748年にオイラーによって、指数関数と三角関数の間に等式が成り立つことが再発見された(オイラーの公式)。フランスの数学者ジョゼフ・フーリエによって金属板の中での熱伝導に関する研究の中でフーリエ級数が導入され、複雑な周期函数による波動の数学的表現が単純な「正弦函数余弦函数の和」として表されるようになった(フーリエ解析)。1835年にはジェームズ・インマン英語版半正矢関数(haversine)を導入し、球面三角法での半正矢関数の公式英語版を航海用として導入した[18]

16-17世紀のヨーロッパ世界においては、地理的に広大な領域の正確な地図を製作する必要性が高まり、航海技術上の需要も高まったため、三角法が数学における一大研究分野となった[19]。現在、西洋の諸語で三角法を意味する言葉(例えば、: trigonometry: Тригонометрияなど)の直接の語源となるラテン語の言葉、Trigonometria が、1595年にバルトロマイウス・ピティスクス英語版により、初めて用いられた[20]。1533年にはゲンマ・フリシウス三角測量の方法について、始めて記述した。

季節の長さの違いという暦法・天文学上の問題にこたえるためにアポロニウスによって開発され、用いられたのが三角法の歴史上最初の使用だとされている。この方法はさらにプトレマイオスによって「アルマゲスト」のなかで詳細に取り扱われた。インドでは8世紀暦学の必要性から、三角法が導入された。中国における3世紀の測量法「重差術」は三角法の(を利用した)計算と見なすこともできるが、角の正接の概念を明示的に取り扱ったものではなかった。

アポロニウスに始まり、『影に関する包括的論考』を記したビールーニーなど三角法を発展させた多くの数学者は、これを天文学上の問題にしか用いていなかった。地上における測量の問題に三角法を用いようとした最初の人物は、10世紀アル=カビースィーだとされている。教科書の形で三角法と地上の測量を初めてはっきりと関連付けたのはバルトロメオ・ピティスクス英語版による『三角法、あるいは三角形の大きさについての書』(1595年)だった。三角法という言葉自体もピティスクスによって考案されたものである[21]。三角法に複素数を最初に用いたのはレオンハルト・オイラーである。17世紀ジェームス・グレゴリー18世紀コリン・マクローリンによる仕事は三角級数英語版の発展に影響を与えた[22]18世紀ブルック・テイラーテイラー展開を定義した[23]

現代[編集]

アーベルヤコビによって発展させられた楕円函数論においても、円が三角関数で一意化される現象の類似物として、楕円曲線がモジュラー関数で一意化されることが発見された(「すべての楕円曲線はモジュラーである」)。これがまだ証明されていなかった時代に、この理論を応用したインド人のシュリニヴァーサ・ラマヌジャンらは、収束の早い円周率の公式を発見するなどした。それらの成果を発展させたアンドリュー・ワイルズは、フェルマーの最終定理を証明することに成功した。


応用分野[編集]

三角法が応用/利用される分野はきわめて多様である[24][25][26]測量の技術分野で用いられる三角測量は、2地点を結ぶ線分(「基線」(base line)と呼ばれる)とそれを挟む2角の角度に基づいて他の諸量を、三角法の計算により求める[27]。通常は、基線の長さが既知であり、両端角の角度を計測する[27]天文学の分野では三角測量と同じ原理で地球から地球外の天体までの距離を測ることがあるが、三角測量とは呼ばず「三角視差法」(trigonometric parallax)と呼ぶ[27]太陽系外の恒星までの距離を測る場合は、地球の公転軌道の長径を基線とする[27]

上述の測量術や天文計算のほかには、航海術における利用がよく知られている[28]。14, 15世紀地中海の船乗りは、風に流されて船が本来の航路から外れた際、航路に復帰するために初歩的な平面三角法を利用していた[29][30]。「マルテロイオの方法英語版」と呼ばれる、この目視可能な島などの地文と羅針盤に頼る航海術は、大洋における自船の位置を正確に知るには誤差が大きくなる[31][32]。大西洋に進出し始めたヨーロッパ西部の国々の帆船においては、16世紀末ごろから徐々に球面三角法を利用する天測航法が使われ始めた[33]。17世紀には、エドマンド・ガンターによる容易に三角法が解ける目盛りがついた二つの定規を連結した器具など、球面三角法の計算を簡単にするツール類が開発され、18世紀には天測航法が一般的な方法として普及した[32]

歴史的に重要であった測量術、天文計算、航海術の分野においては、光学的測距技術精度の飛躍的向上や[27]双曲線の交点を自船の位置と認識する電波航法全地球測位システムの普及により、三角法の直接的利用は後退した[31]。古代の天文学者が三角法を駆使して推測した地球と惑星の間の距離についても結局は信頼できる情報を得るには至らなかった[34]。しかしながら、例えば、機械工学の分野に用いられる工業力学においては三角関数の知識が重要であり[24]電磁波音波のような波動を数学的に表現するのに三角関数が適している[25]。三角法ないし、そこから派生した概念の応用分野は幅広く[26]、現代文明の存立に欠かせない存在となっている[25]

脚注[編集]

  1. ^ Todhunter 1886, p. 11.
  2. ^ 長谷川誠也 (1934). 新修百科大辭典. 博文館. https://books.google.co.jp/books?id=zG3Ln3xqcxwC&lpg=PA238&ots=yWoXeYQtBX&dq=%E8%88%AA%E6%B5%B7%E8%A1%93%20%E7%90%83%E9%9D%A2%E4%B8%89%E8%A7%92%E6%B3%95&hl=ja&pg=PA238#v=onepage&q=%E8%88%AA%E6%B5%B7%E8%A1%93%20%E7%90%83%E9%9D%A2%E4%B8%89%E8%A7%92%E6%B3%95&f=false 2017年2月24日閲覧。.  p. 356 「球面三角法」の項。
  3. ^ Todhunter 1886, p. 7.
  4. ^ Todhunter 1886, p. 2.
  5. ^ a b ノイゲバウアー 1984, pp. 30-31.
  6. ^ ジョーゼフ 1996, p. 161.
  7. ^ Aaboe, Asger. Episodes from the Early History of Astronomy. New York: Springer, 2001. ISBN 0-387-95136-9
  8. ^ Boyer 1991, p. 162.
  9. ^ Thurston, pp. 235–236.
  10. ^ Toomer, G. J. (1998), Ptolemy's Almagest, Princeton University Press, ISBN 0-691-00260-6 
  11. ^ Thurston, pp. 239–243.
  12. ^ Boyer 1991, p. 215.
  13. ^ Boyer 1991, pp. 237, 274.
  14. ^ http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Regiomontanus.html
  15. ^ N.G. Wilson, From Byzantium to Italy. Greek Studies in the Italian Renaissance, London, 1992. ISBN 0-7156-2418-0
  16. ^ ブラーマ・スプタ・シッダーンタも参照
  17. ^ Yaʿqūb ibn Ṭāriq (يعقوب بن طارق). Zīj maḥlūl fī al‐Sindhind li‐daraja daraja (アラビア語: زيج محلول في السندهند لدرجة درجة‎, "Astronomical tables in the Sindhind resolved for each degree"). 
  18. ^ Inman, James (1835). Navigation and Nautical Astronomy for Seamen. 
  19. ^ Grattan-Guinness, Ivor (1997). The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences. W.W. Norton. ISBN 0-393-32030-8. 
  20. ^ Robert E. Krebs (2004). Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions, and Discoveries of the Middle Ages and the Renaissance. Greenwood Publishing Group. pp. 153–. ISBN 978-0-313-32433-8. https://books.google.com/books?id=MTXdplfiz-cC&pg=PA153. 
  21. ^ ヴィクター J. カッツ 『数学の歴史』 中根美知代、上野健爾ほか訳、共立出版、東京、2005年ISBN 4-320-01765-X
  22. ^ William Bragg Ewald (2007). From Kant to Hilbert: a source book in the foundations of mathematics. Oxford University Press US. p. 93. ISBN 0-19-850535-3
  23. ^ Kelly Dempski (2002). Focus on Curves and Surfaces. p. 29. ISBN 1-59200-007-X
  24. ^ a b 平田宏一. “わかりやすい力学と機械強度設計法 (PDF)”. 独立行政法人海上技術安全研究所. p. 5. 2017年2月24日閲覧。
  25. ^ a b c 中泉拓也 (2015年9月4日). “三角関数もATPの知識も役に立つ”. 2017年2月24日閲覧。
  26. ^ a b 蔵本貴文 (2014-03-06). 学校では教えてくれない!これ1冊で高校数学のホントの使い方がわかる本. 秀和システム. p. 163. https://books.google.co.jp/books?id=9dvvBPW5570C&printsec=frontcover&hl=ja#v=onepage&q&f=false 2017年2月24日閲覧。. 
  27. ^ a b c d e 『岩波理化学辞典第五版』 「三角視差」及び「三角測量」の項 (p. 530) 参照。
  28. ^ 江戸の数学第5章西洋数学の導入――三角関数表”. 国立国会図書館 (2011年). 2017年2月23日閲覧。
  29. ^ Taylor, Eva Germaine Rimington (1956). The Haven-Finding Art: A history of navigation from Odysseus to Captain Cook (1971 ed. ed.). London: Hollis and Carter. p. 120. https://books.google.co.jp/books?id=5v5TAAAAMAAJ&dq=editions:UOM35112100743568&hl=ja 2017年2月24日閲覧。. 
  30. ^ Breusing, A. (1881) "La toleta de Martelojo und die loxodromischen Karten", Zeitschrift für wissenschaftliche Geographie, vol. II, Pt. 1 (pp. 129–33), Pt.2 (pp. 180–95).
  31. ^ a b 航法の歴史-1:電波航法の歴史”. みちびき準天頂衛星システム. 内閣府宇宙開発戦略推進事務局. 2017年2月24日閲覧。
  32. ^ a b 【第7回】17世紀の航海術の進歩~新たな海図・四分儀・対数理論”. 帆船航海史大全集. 2017年2月24日閲覧。
  33. ^ Parry, J.H. (1974). The Discovery of the Sea (1984 edition ed.). Berkeley: University of California Press. p. 152. https://books.google.com/books?id=kCREcRCFD0QC&lpg=PP1&pg=PR3#v=onepage&q&f=false 2017年2月24日閲覧。. 
  34. ^ ノイゲバウアー 1984, p. 143.

参考文献[編集]