三角関数の公式の一覧

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単位円サイン・コサインの値(x軸:cos,y軸:sin)

三角関数の公式(さんかくかんすうのこうしき)は、角度に関わらず成り立つ三角関数恒等式である。

定義[編集]

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この記事内で、角は原則として α, β, γ, θ といったギリシャ文字か、xを使用する。

角度の単位としては原則としてラジアン(rad,通常単位は省略)を用いるが、(°)を用いる場合もある。

1周 = 360度 = 2ラジアン

主な角度の度とラジアンの値は以下のようになる:

度数法(°) 30° 60° 120° 150° 210° 240° 300° 330°
弧度法(ラジアン)
度数法(°) 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°
弧度法(ラジアン)

記事内では主にラジアンを使用し、度の場合には別記するか度を示す記号(°)を付記する。

三角関数[編集]

最も基本的な関数は正弦関数(サイン・sine)と余弦関数(コサイン・cosine)である。これらは sin(θ), cos(θ) または括弧を略して sin θ, cos θ と記述される(θ は対象となる角の大きさ)。

正弦関数と余弦関数の比を正接関数(タンジェント・tangent)と言い、具体的には以下の式で表される:

上記3関数の逆数関数を余割関数(コセカント・cosecant)・正割関数(セカント・secant)・余接関数(コタンジェント・cotangent)と言う。余割関数の略称には cosec と csc の2種類があり、この記事では csc を使用する。

逆関数[編集]

三角関数の逆関数逆三角関数と言う。日本語においては正弦関数のように頭に「逆」を付けて呼ぶ。式中では sin−1 のように右肩に "-1" を付けるか asin, arcsin のように "a" または "arc" を付ける。

この記事では逆関数として以下の表記を採用する:

関数 sin cos tan sec csc cot
逆関数 arcsin arccos arctan arcsec arccsc arccot

三角関数は周期関数なので、逆関数は多価関数である。

逆関数の性質から以下が成り立つ:

ピタゴラスの定理[編集]

ピタゴラスの定理オイラーの公式などから以下の基本的な関係が導ける[1]

ここで sin2 θ(sin(θ))2 を意味する。

この式を変形して、以下の式が導かれる:

関数同士の変換[編集]

上の関係式を cos2 θsin2 θ で割ると、以下の関係式ができる:

これらの式から以下の関係を得る:

他の5種類の関数による表現[2]

古い関数[編集]

単位円と角 θ に対する三角関数の関係。

三角関数から求められる versine, coversine, haversine, exsecant などの各関数は、かつて測量などに用いられた。例えば haversine は球面上の2点の距離を求めるのに使用された。haversineを使用すると関数表の表をひく回数を減らすことができるからである。(参考:球面三角法) 今日ではコンピュータの発達により、これらの関数はほとんど使用されない。

versine と coversine は日本語では「正矢」「余矢」と呼ばれ、三角関数とともに八線表として1つの数表にまとめられていた。

名前 表記
versed sine, versine
正矢


versed cosine, vercosine
coversed sine, coversine
余矢

coversed cosine, covercosine
half versed sine, haversine
half versed cosine, havercosine
half coversed sine, hacoversine
cohaversine
half coversed cosine, hacovercosine
cohavercosine
exterior secant, exsecant
exterior cosecant, excosecant
chord
の長さ)

対称性・周期性[編集]

単位円と三角関数の関係を検討することにより、以下の性質が導かれる。

対称性[編集]

いくつかの線に対し対称な図形を考えることにより、以下の関係式を得ることができる。

(x軸)に対して対称 (直線 y=x)に対して対称
(co- が付く関数との関係)
(y軸)に対して対称

移動と周期性[編集]

単位円の図を回転させることにより、別の関係が得られる。π/2 の回転だとすべての関数が別の関数との関係を得られる。π または 2π の回転だと、同じ関数内での関係となる。

π/2 の移動 π の移動
tan と cot の周期
2π の移動
sin, cos, csc, sec の周期

加法定理[編集]

以下の式は「加法定理」として知られる。これらの式は、10世紀のペルシャの数学者アブル・ワファーによって最初に示された。これらの式はオイラーの公式を用いて示すことが可能である。

Sine [3]
Cosine [3]
Tangent [3]
Arcsine
Arccosine
Arctangent

上記の表において複号は同順とする。

回転行列の積[編集]

加法定理によって、回転行列同士の積をまとめることができる。

任意の個数の和[編集]

正弦関数と余弦関数[編集]

正弦関数と余弦関数において、以下の式が成り立つ。

いずれの場合にも、「有限個の角の正弦関数と残りの角の余弦関数の積」の和となる。無限の和に見えるが、j 以上のすべての i で θi=0 が成り立つ場合、j 以上の k は計算する必要がなく有限項の計算となる。

正接関数[編集]

ek (k ∈ {0, ..., n}) を k次の基本対称式とする。

のとき i ∈ {0, ..., n} に対して以下のようになる。

このとき正接関数の和は以下の式で表される。

この e は、en まで使用する。

数学的帰納法を用いて証明が可能である。

正割関数と余割関数[編集]

ek は前節同様正接関数の基本対称式とする。

倍角公式[編集]

Tnn次のチェビシェフ多項式とする [4]
Snn次の spread 多項式とする
ド・モアブルの定理 虚数単位とする

ディリクレ核を参照)

倍角・三倍角・半角の公式[編集]

以下の式は加法定理などから容易に導くことができる。

倍角[5]
三倍角[4]
半角[6]

正弦関数と余弦関数の三倍角の公式は、元の関数の3次式で表すことができる。そのため、定規とコンパスを用いて角を三等分するためには3次方程式を解く必要があるが、この制約下で解くことはできないため任意の角の三等分は不可能であると結論付けられる。

コンピュータを用いれば3次方程式を解くことはできるが、方程式 (正弦関数ならば x=sinθ d=sin(3θ) とする)の判別式は正なのでこの方程式は3つの実数解を持つ。

n倍角の公式[編集]

加法定理から、以下の式を導くことができる。これらの式は16世紀のフランスの数学者フランソワ・ビエトによって示された。

正接関数と余接関数に関しては、以下のように帰納的に求めることができる。


以下のようにも表現できる。

sin na=ₙC₁cosⁿ⁻¹asin a-ₙC₃cosⁿ⁻³asin³a+…

cos na=ₙC₀cosⁿa-ₙC₂cosⁿ⁻²asin²a+…

チェビシェフのメソッド[編集]

パフヌティ・チェビシェフは、n倍角の正弦関数と余弦関数の値を、(n-1)倍角と (n-2)倍角の値を用いて表す方法を発見している[7]

cos(nx) は、以下のように表される。

同様に sin(nx) は以下のように表される。

tan(nx) は以下のようになる。

ここで、H/K = tan(n-1)x である。

正接関数の平均値[編集]

以下が成り立つ。

αβ に 0 を代入すると、半角公式が得られる。

ビエトの無限積[編集]

以下の式が成り立つ。

最後のsincは、正弦関数を角の大きさで割ったものである。

べき乗[編集]

余弦関数の倍角公式を変形することにより、以下の式が得られる。式の次数を下げるために良く用いられる。

正弦関数 余弦関数 その他

ド・モアブルの定理オイラーの公式二項定理を用いると、以下のように一般化できる。

余弦関数 正弦関数
n が奇数
n が偶数

和積公式と積和公式[編集]

加法定理に(θ±φ)を代入することにより、積和公式を導くことができる。これを変形すると和積公式になる。

積和公式
和積公式

エルミートの無限積[編集]

シャルル・エルミートは、複素関数に関する以下の式を示した。

複素数 a1, ..., an は、どの2つをとってもその差がπの整数倍にならないものとする。

と置く(A1,1 のときこの値は1とする)と、以下の式が成り立つ。

自明でない単純な例として、n = 2 のときの例をあげる。

合成公式[編集]

正弦関数と余弦関数の和は、正弦関数で表すことができる。

ここで、φの値は以下の式で与えられる。

または


位相の違う正弦関数を以下のように合成することができる。

ここで c と β の値は以下の式で与えられる。

その他の和に関する公式[編集]

正弦関数と余弦関数の和に関する以下のような公式がある[8]

正接関数と正割関数に関して以下の式が成り立つ。

ただし、グーデルマン関数逆関数である。

メビウス変換[編集]

ƒ(x) と g(x) を以下のようなメビウス変換関数として定義する。

このとき以下が成り立つ。

以下のように書くこともできる。

逆三角関数に関する公式[編集]

逆三角関数同士の関係[編集]

arccos arcsin arctan arccot
arccos
arcsin
arctan
arccot

逆三角関数の和に関する公式[編集]

条件
または
かつ かつ
かつ かつ
または
かつ かつ
かつ かつ
かつ
かつ
かつ
かつ

逆三角関数と三角関数[編集]

複素関数[編集]

以下において、虚数単位とする。

オイラーの公式
オイラーの等式

無限乗積による表現[編集]

いくつかの関数は、無限乗積の形で表すことができる。

三角形[編集]

α, β, γ が三角形の3つの角の大きさのとき、即ち α + β + γ = π を満たす場合、以下の式が成り立つ。

特定の角度に関する式[編集]

以下の式が成り立つ。

この式は以下の式の特殊な場合である。

以下の式も同じ値を持つ。

正弦関数では以下の式が成り立つ。

余弦関数では以下の式が成り立つ。

上の式を利用して以下の式が得られる。

以下の式は単純である。

上の式を一般化する場合分母に21が出てくるため、単位として度よりもラジアンを使用した方がよい。

係数に登場する 1, 2, 4, 5, 8, 10 は 21/2 より小さく 21 と互いに素な全ての自然数である。この式は円分多項式に関係している。

以下の関係から導かれる式もある。

これらを組み合わせると、以下の式になる。

n を奇数に限定すると、以下の式が得られる。

πの計算[編集]

円周率の計算において、以下のマチンの公式はよく使用される。

レオンハルト・オイラーは、以下の式を示している。

よく使用される値[編集]

正弦関数と余弦関数において、値が (ただし 0 ≤ n ≤ 4)の形になるものは、覚えやすい値である。

黄金比[編集]

一部の角に対する値は、黄金比 φ を用いて表すことができる。

ユークリッドによる式[編集]

ユークリッド原論13巻で、正五角形と同じ長さの辺を持つ正方形の面積は、同じ円に内接する正六角形正十角形の辺の長さを持つ2つの正方形の和に等しいことを示した。これを三角関数を用いて書くと以下のようになる。

微積分[編集]

微分積分学の分野においては、角度はラジアンを使用する。

微積分において、極限に関する2つの重要な式がある。1つは

である。この式ははさみうちの原理から導くことができる。もう1つは以下の式である。

これらの式と加法定理などを利用して、以下の式を導くことができる。

以下に三角関数と逆三角関数の微分を示す。

積分に関しては三角関数の原始関数の一覧を参照。

三角関数(特に正弦関数と余弦関数)の導関数と原始関数が三角関数であらわされることは、微分方程式フーリエ解析を含む数学の多くの分野で有用である。

指数関数による定義[編集]

関数 逆関数

その他[編集]

ワイエルシュトラスの置換[編集]

(Weierstrass substitution) 以下の変換は、カール・ワイエルシュトラスの名がつけられている。

とおくと、

となる。

三角関数を含む積分などにおいてこの値を代入すると、t による有理関数となる。

応用例[編集]

sinの3倍角の公式を加法定理で変形すると、

が成り立つ。

を入力すると、

が成り立つ。

を入力すると、

が成り立つ。

を入力すると、

が成り立つ。


cosの3倍角の公式を加法定理で変形すると、

が成り立つ。

を入力すると、

が成り立つ。

を入力すると、

が成り立つ。

を入力すると、

が成り立つ。

tanでは、

が成り立つ。

を入力すると、

整理すると、

が成り立つのが分かる。 同様に、tanの5倍角・7倍角の公式から、

が成り立つ。

一般には、2項係数を使用したtanのn倍角の公式で

とおくと、

となる。ここで

が成り立つのは、

の場合なので、

のとき、

が成り立つ。また分子と分母で2項係数が逆順になるため、

と変形でき、下記の式が成り立つ。

 

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ 稲津 將(北海道大学大学院理学研究院). “オイラーの公式”. 2014年10月7日閲覧。
  2. ^ オーム社『数学公式・数表ハンドブック』P.15
  3. ^ a b c Weisstein, Eric W., "Trigonometric Addition Formulas" - MathWorld.(英語)
  4. ^ a b Weisstein, Eric W., "Multiple-Angle Formulas" - MathWorld.(英語)
  5. ^ Weisstein, Eric W., "Double-Angle Formulas" - MathWorld.(英語)
  6. ^ Weisstein, Eric W., "Half-Angle Formulas" - MathWorld.(英語)
  7. ^ Ken Ward's Mathematics Pages
  8. ^ Michael P. Knapp, Sines and Cosines of Angles in Arithmetic Progression