三角関数の公式の一覧

単位円とサイン・コサインの値(x軸:cos,y軸:sin)

三角関数の公式（さんかくかんすうのこうしき）は、角度に関わらず成り立つ三角関数の恒等式である。

定義

角

この記事内で、角は原則として α, β, γ, θ といったギリシャ文字か、xを使用する。

角度の単位としては原則としてラジアン(rad,通常単位は省略)を用いるが、度(°)を用いる場合もある。

1周 = 360度 = 2$\pi$$\pi$ラジアン

主な角度の度とラジアンの値は以下のようになる：

度数法（°）	30°	60°	120°	150°	210°	240°	300°	330°
弧度法（ラジアン）	${\frac {\pi }{6}}\!$${\frac {\pi }{6}}\!$	${\frac {\pi }{3}}\!$${\frac {\pi }{3}}\!$	${\frac {2\pi }{3}}\!$${\frac {2\pi }{3}}\!$	${\frac {5\pi }{6}}\!$${\frac {5\pi }{6}}\!$	${\frac {7\pi }{6}}\!$${\frac {7\pi }{6}}\!$	${\frac {4\pi }{3}}\!$${\frac {4\pi }{3}}\!$	${\frac {5\pi }{3}}\!$${\frac {5\pi }{3}}\!$	${\frac {11\pi }{6}}\!$${\frac {11\pi }{6}}\!$
度数法（°）	45°	90°	135°	180°	225°	270°	315°	360°
弧度法（ラジアン）	${\frac {\pi }{4}}\!$${\frac {\pi }{4}}\!$	${\frac {\pi }{2}}\!$${\frac {\pi }{2}}\!$	${\frac {3\pi }{4}}\!$${\frac {3\pi }{4}}\!$	$\pi \!$$\pi \!$	${\frac {5\pi }{4}}\!$${\frac {5\pi }{4}}\!$	${\frac {3\pi }{2}}\!$${\frac {3\pi }{2}}\!$	${\frac {7\pi }{4}}\!$${\frac {7\pi }{4}}\!$	$2\pi \!$$2\pi \!$

記事内では主にラジアンを使用し、度の場合には別記するか度を示す記号（°）を付記する。

三角関数

最も基本的な関数は正弦関数（サイン・sine）と余弦関数（コサイン・cosine）である。これらは sin(θ), cos(θ) または括弧を略して sin θ, cos θ と記述される（θ は対象となる角の大きさ）。

正弦関数と余弦関数の比を正接関数（タンジェント・tangent）と言い、具体的には以下の式で表される：

$\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}.$$\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}.$

上記3関数の逆数関数を余割関数（コセカント・cosecant）・正割関数（セカント・secant）・余接関数（コタンジェント・cotangent）と言う。余割関数の略称には cosec と csc の2種類があり、この記事では csc を使用する。

$\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}.$$\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}.$

逆関数

三角関数の逆関数を逆三角関数と言う。日本語においては逆正弦関数のように頭に「逆」を付けて呼ぶ。式中では sin⁻¹ のように右肩に "-1" を付けるか asin, arcsin のように "a" または "arc" を付ける。

この記事では逆関数として以下の表記を採用する：

関数	sin	cos	tan	sec	csc	cot
逆関数	arcsin	arccos	arctan	arcsec	arccsc	arccot

三角関数は周期関数なので、逆関数は多価関数である。

逆関数の性質から以下が成り立つ：

$\sin(\arcsin x)=x\!$$\sin(\arcsin x)=x\!$

$\arcsin(\sin \theta )=\theta \quad {\text{for }}-\pi /2\leq \theta \leq \pi /2.$$\arcsin(\sin \theta )=\theta \quad {\text{for }}-\pi /2\leq \theta \leq \pi /2.$

ピタゴラスの定理

ピタゴラスの定理やオイラーの公式などから以下の基本的な関係が導ける。

$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1\!$$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1\!$

ここで sin² θ は (sin(θ))² を意味する。

この式を変形して、以下の式が導かれる：

$\sin \theta =\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}$$\sin \theta =\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}$

$\cos \theta =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}$$\cos \theta =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}$

関数同士の変換

上の関係式を cos² θ と sin² θ で割ると、以下の関係式ができる：

$1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \!$$1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \!$

$1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \!$$1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \!$

これらの式から以下の関係を得る：

他の5種類の関数による表現

	$\sin \theta \!$$\sin \theta \!$	$\cos \theta \!$$\cos \theta \!$	$\tan \theta \!$$\tan \theta \!$	$\csc \theta \!$$\csc \theta \!$	$\sec \theta \!$$\sec \theta \!$	$\cot \theta \!$$\cot \theta \!$
$\sin \theta =\!$$\sin \theta =\!$	$\sin \theta \$$\sin \theta \$	$\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}\!$$\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}\!$	$\pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}\!$$\pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}\!$	${\frac {1}{\csc \theta }}\!$${\frac {1}{\csc \theta }}\!$	$\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}\!$$\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}\!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}\!$$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}\!$
$\cos \theta =\!$$\cos \theta =\!$	$\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}\!$$\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}\!$	$\cos \theta \!$$\cos \theta \!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}\!$$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}\!$	$\pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}\!$$\pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}\!$	${\frac {1}{\sec \theta }}\!$${\frac {1}{\sec \theta }}\!$	$\pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}\!$$\pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}\!$
$\tan \theta =\!$$\tan \theta =\!$	$\pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}\!$$\pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}\!$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}\!$$\pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}\!$	$\tan \theta \!$$\tan \theta \!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}\!$$\pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}\!$	$\pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}\!$$\pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}\!$	${\frac {1}{\cot \theta }}\!$${\frac {1}{\cot \theta }}\!$
$\csc \theta =\!$$\csc \theta =\!$	${\frac {1}{\sin \theta }}\!$${\frac {1}{\sin \theta }}\!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}\!$$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}\!$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}\!$$\pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}\!$	$\csc \theta \!$$\csc \theta \!$	$\pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}\!$$\pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}\!$	$\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}\!$$\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}\!$
$\sec \theta =\!$$\sec \theta =\!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}\!$$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}\!$	${\frac {1}{\cos \theta }}\!$${\frac {1}{\cos \theta }}\!$	$\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}\!$$\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}\!$	$\pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}\!$$\pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}\!$	$\sec \theta \!$$\sec \theta \!$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}\!$$\pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}\!$
$\cot \theta =\!$$\cot \theta =\!$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}\!$$\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}\!$	$\pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}\!$$\pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}\!$	${\frac {1}{\tan \theta }}\!$${\frac {1}{\tan \theta }}\!$	$\pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}\!$$\pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}\!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}\!$$\pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}\!$	$\cot \theta \!$$\cot \theta \!$

古い関数

単位円と角 θ に対する三角関数の関係。

三角関数から求められる versine, coversine, haversine, exsecant などの各関数は、かつて測量などに用いられた。例えば haversine は球面上の2点の距離を求めるのに使用された。haversineを使用すると関数表の表をひく回数を減らすことができるからである。(参考：球面三角法) 今日ではコンピュータの発達により、これらの関数はほとんど使用されない。

versine と coversine は日本語では「正矢」「余矢」と呼ばれ、三角関数とともに八線表として1つの数表にまとめられていた。

名前	表記	値
versed sine, versine 正矢	$\operatorname {versin} \theta$$\operatorname {versin} \theta$ $\operatorname {vers} \theta$$\operatorname {vers} \theta$ $\operatorname {ver} \theta$$\operatorname {ver} \theta$	$1-\cos \theta \!$$1-\cos \theta \!$
versed cosine, vercosine	$\operatorname {vercosin} \theta$$\operatorname {vercosin} \theta$	$1+\cos \theta \!$$1+\cos \theta \!$
coversed sine, coversine 余矢	$\operatorname {coversin} \theta$$\operatorname {coversin} \theta$ $\operatorname {cvs} \theta$$\operatorname {cvs} \theta$	$1-\sin \theta \!$$1-\sin \theta \!$
coversed cosine, covercosine	$\operatorname {covercosin} \theta$$\operatorname {covercosin} \theta$	$1+\sin \theta \!$$1+\sin \theta \!$
half versed sine, haversine	$\operatorname {haversin} \theta$$\operatorname {haversin} \theta$	${\frac {1-\cos \theta }{2}}$${\frac {1-\cos \theta }{2}}$
half versed cosine, havercosine	$\operatorname {havercosin} \theta$$\operatorname {havercosin} \theta$	${\frac {1+\cos \theta }{2}}$${\frac {1+\cos \theta }{2}}$
half coversed sine, hacoversine cohaversine	$\operatorname {hacoversin} \theta$$\operatorname {hacoversin} \theta$	${\frac {1-\sin \theta }{2}}$${\frac {1-\sin \theta }{2}}$
half coversed cosine, hacovercosine cohavercosine	$\operatorname {hacovercosin} \theta$$\operatorname {hacovercosin} \theta$	${\frac {1+\sin \theta }{2}}$${\frac {1+\sin \theta }{2}}$
exterior secant, exsecant	$\operatorname {exsec} \theta$$\operatorname {exsec} \theta$	$\sec \theta -1\!$$\sec \theta -1\!$
exterior cosecant, excosecant	$\operatorname {excsc} \theta$$\operatorname {excsc} \theta$	$\csc \theta -1\!$$\csc \theta -1\!$
chord （弦の長さ）	$\operatorname {crd} \theta$$\operatorname {crd} \theta$	$2\sin {\frac {\theta }{2}}$$2\sin {\frac {\theta }{2}}$

対称性・周期性

単位円と三角関数の関係を検討することにより、以下の性質が導かれる。

対称性

いくつかの線に対し対称な図形を考えることにより、以下の関係式を得ることができる。

$\theta =0$$\theta =0$（x軸）に対して対称	$\theta =\pi /4$$\theta =\pi /4$（直線 y=x）に対して対称 （co- が付く関数との関係）	$\theta =\pi /2$$\theta =\pi /2$（y軸）に対して対称
${\begin{aligned}\sin(-\theta )&=-\sin \theta \\\cos(-\theta )&=+\cos \theta \\\tan(-\theta )&=-\tan \theta \\\csc(-\theta )&=-\csc \theta \\\sec(-\theta )&=+\sec \theta \\\cot(-\theta )&=-\cot \theta \end{aligned}}$${\begin{aligned}\sin(-\theta )&=-\sin \theta \\\cos(-\theta )&=+\cos \theta \\\tan(-\theta )&=-\tan \theta \\\csc(-\theta )&=-\csc \theta \\\sec(-\theta )&=+\sec \theta \\\cot(-\theta )&=-\cot \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cos \theta \\\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sin \theta \\\tan({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cot \theta \\\csc({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sec \theta \\\sec({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\csc \theta \\\cot({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\tan \theta \end{aligned}}$${\begin{aligned}\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cos \theta \\\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sin \theta \\\tan({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cot \theta \\\csc({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sec \theta \\\sec({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\csc \theta \\\cot({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\tan \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin(\pi -\theta )&=+\sin \theta \\\cos(\pi -\theta )&=-\cos \theta \\\tan(\pi -\theta )&=-\tan \theta \\\csc(\pi -\theta )&=+\csc \theta \\\sec(\pi -\theta )&=-\sec \theta \\\cot(\pi -\theta )&=-\cot \theta \\\end{aligned}}$${\begin{aligned}\sin(\pi -\theta )&=+\sin \theta \\\cos(\pi -\theta )&=-\cos \theta \\\tan(\pi -\theta )&=-\tan \theta \\\csc(\pi -\theta )&=+\csc \theta \\\sec(\pi -\theta )&=-\sec \theta \\\cot(\pi -\theta )&=-\cot \theta \\\end{aligned}}$

移動と周期性

単位円の図を回転させることにより、別の関係が得られる。π/2 の回転だとすべての関数が別の関数との関係を得られる。π または 2π の回転だと、同じ関数内での関係となる。

π/2 の移動	π の移動 tan と cot の周期	2π の移動 sin, cos, csc, sec の周期
${\begin{aligned}\sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \theta \\\sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\tan \theta \end{aligned}}$${\begin{aligned}\sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \theta \\\sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\tan \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +\pi )&=-\csc \theta \\\sec(\theta +\pi )&=-\sec \theta \\\cot(\theta +\pi )&=+\cot \theta \\\end{aligned}}$${\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +\pi )&=-\csc \theta \\\sec(\theta +\pi )&=-\sec \theta \\\cot(\theta +\pi )&=+\cot \theta \\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi )&=+\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +2\pi )&=+\csc \theta \\\sec(\theta +2\pi )&=+\sec \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \end{aligned}}$${\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi )&=+\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +2\pi )&=+\csc \theta \\\sec(\theta +2\pi )&=+\sec \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \end{aligned}}$

加法定理

以下の式は「加法定理」として知られる。これらの式は、10世紀のペルシャの数学者アブル・ワファーによって最初に示された。これらの式はオイラーの公式を用いて示すことが可能である。

Sine	$\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \!$$\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \!$
Cosine	$\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \,$$\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \,$
Tangent	$\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$$\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$
Arcsine	$\arcsin \alpha \pm \arcsin \beta =\arcsin(\alpha {\sqrt {1-\beta ^{2}}}\pm \beta {\sqrt {1-\alpha ^{2}}})$$\arcsin \alpha \pm \arcsin \beta =\arcsin(\alpha {\sqrt {1-\beta ^{2}}}\pm \beta {\sqrt {1-\alpha ^{2}}})$
Arccosine	$\arccos \alpha \pm \arccos \beta =\arccos(\alpha \beta \mp {\sqrt {(1-\alpha ^{2})(1-\beta ^{2})}})$$\arccos \alpha \pm \arccos \beta =\arccos(\alpha \beta \mp {\sqrt {(1-\alpha ^{2})(1-\beta ^{2})}})$
Arctangent	$\arctan \alpha \pm \arctan \beta =\arctan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{1\mp \alpha \beta }}\right)$$\arctan \alpha \pm \arctan \beta =\arctan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{1\mp \alpha \beta }}\right)$

上記の表において複号は同順とする。

回転行列の積

加法定理によって、回転行列同士の積をまとめることができる。

${\begin{aligned}&{}\quad \left({\begin{array}{rr}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{array}}\right)\left({\begin{array}{rr}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{array}}\right)\\[12pt]&=\left({\begin{array}{rr}\cos \phi \cos \theta -\sin \phi \sin \theta &-\cos \phi \sin \theta -\sin \phi \cos \theta \\\sin \phi \cos \theta +\cos \phi \sin \theta &-\sin \phi \sin \theta +\cos \phi \cos \theta \end{array}}\right)\\[12pt]&=\left({\begin{array}{rr}\cos(\theta +\phi )&-\sin(\theta +\phi )\\\sin(\theta +\phi )&\cos(\theta +\phi )\end{array}}\right)\end{aligned}}$${\begin{aligned}&{}\quad \left({\begin{array}{rr}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{array}}\right)\left({\begin{array}{rr}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{array}}\right)\\[12pt]&=\left({\begin{array}{rr}\cos \phi \cos \theta -\sin \phi \sin \theta &-\cos \phi \sin \theta -\sin \phi \cos \theta \\\sin \phi \cos \theta +\cos \phi \sin \theta &-\sin \phi \sin \theta +\cos \phi \cos \theta \end{array}}\right)\\[12pt]&=\left({\begin{array}{rr}\cos(\theta +\phi )&-\sin(\theta +\phi )\\\sin(\theta +\phi )&\cos(\theta +\phi )\end{array}}\right)\end{aligned}}$

任意の個数の和

正弦関数と余弦関数

正弦関数と余弦関数において、以下の式が成り立つ。

$\sin \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{(k-1)/2}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)$$\sin \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{(k-1)/2}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)$

$\cos \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{k/2}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)$$\cos \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{k/2}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)$

いずれの場合にも、「有限個の角の正弦関数と残りの角の余弦関数の積」の和となる。無限の和に見えるが、j 以上のすべての i で θ_i=0 が成り立つ場合、j 以上の k は計算する必要がなく有限項の計算となる。

正接関数

e_k (k ∈ {0, ..., n}) を k次の基本対称式とする。

$x_{i}=\tan \theta _{i}\,$$x_{i}=\tan \theta _{i}\,$

のとき i ∈ {0, ..., n} に対して以下のようになる。

${\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{1\leq i\leq n}x_{i}&&=\sum _{1\leq i\leq n}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}&&=\sum _{1\leq i<j\leq n}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{1\leq i<j<k\leq n}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{1\leq i<j<k\leq n}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&{}\ \ \vdots &&{}\ \ \vdots \end{aligned}}$${\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{1\leq i\leq n}x_{i}&&=\sum _{1\leq i\leq n}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}&&=\sum _{1\leq i<j\leq n}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{1\leq i<j<k\leq n}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{1\leq i<j<k\leq n}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&{}\ \ \vdots &&{}\ \ \vdots \end{aligned}}$

このとき正接関数の和は以下の式で表される。

$\tan(\theta _{1}+\cdots +\theta _{n})={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }},\!$$\tan(\theta _{1}+\cdots +\theta _{n})={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }},\!$

この e は、e_n まで使用する。

例

${\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\\\\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\\\\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\\\&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}$${\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\\\\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\\\\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\\\&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}$

数学的帰納法を用いて証明が可能である。

正割関数と余割関数

e_k は前節同様正接関数の基本対称式とする。

${\begin{aligned}\sec(\theta _{1}+\cdots +\theta _{n})&={\frac {\sec \theta _{1}\cdots \sec \theta _{n}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]\csc(\theta _{1}+\cdots +\theta _{n})&={\frac {\sec \theta _{1}\cdots \sec \theta _{n}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}$${\begin{aligned}\sec(\theta _{1}+\cdots +\theta _{n})&={\frac {\sec \theta _{1}\cdots \sec \theta _{n}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]\csc(\theta _{1}+\cdots +\theta _{n})&={\frac {\sec \theta _{1}\cdots \sec \theta _{n}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}$

例

${\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}\end{aligned}}$${\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}\end{aligned}}$

倍角公式

Tn は n 次のチェビシェフ多項式	$\cos n\theta =T_{n}(\cos \theta )\,$$\cos n\theta =T_{n}(\cos \theta )\,$
Sn は n 次の spread 多項式	$\sin ^{2}n\theta =S_{n}(\sin ^{2}\theta )\,$$\sin ^{2}n\theta =S_{n}(\sin ^{2}\theta )\,$
ド・モアブルの定理による（i は虚数単位）	$\cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))^{n}\,$$\cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))^{n}\,$
ディリクレ核	$1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}$$1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}$

倍角・三倍角・半角の公式

以下の式は加法定理などから容易に導くことができる。

倍角
${\begin{aligned}\sin 2\theta &=2\sin \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$${\begin{aligned}\sin 2\theta &=2\sin \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cos 2\theta &=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\sin ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$${\begin{aligned}\cos 2\theta &=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\sin ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$	$\tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}\!$$\tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}\!$	$\cot 2\theta ={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}\!$$\cot 2\theta ={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}\!$
三倍角
${\begin{aligned}\sin 3\theta &=3\cos ^{2}\theta \sin \theta -\sin ^{3}\theta \\&=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta \end{aligned}}$${\begin{aligned}\sin 3\theta &=3\cos ^{2}\theta \sin \theta -\sin ^{3}\theta \\&=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cos 3\theta &=\cos ^{3}\theta -3\sin ^{2}\theta \cos \theta \\&=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \end{aligned}}$${\begin{aligned}\cos 3\theta &=\cos ^{3}\theta -3\sin ^{2}\theta \cos \theta \\&=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \end{aligned}}$	$\tan 3\theta ={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}\!$$\tan 3\theta ={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}\!$	$\cot 3\theta ={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}\!$$\cot 3\theta ={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}\!$
半角
$\sin {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}$$\sin {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}$	$\cos {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}$$\cos {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}$	${\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\[10pt]\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}&={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[8pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[8pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {1-\tan(\theta /2)}{1+\tan(\theta /2)}}\end{aligned}}$${\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\[10pt]\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}&={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[8pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[8pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {1-\tan(\theta /2)}{1+\tan(\theta /2)}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1+\cos \theta \over 1-\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}$${\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1+\cos \theta \over 1-\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}$

正弦関数と余弦関数の三倍角の公式は、元の関数の三次方程式で表すことができる。従って、三次方程式の解を求めることでそれらの三角関数の値を得ることができる。

幾何学的には、三倍角の公式を経由し三角関数の値を求めることは角の三等分問題に相当する。この問題は、定規とコンパスを用いた解法が特別な角を除いて存在しないことが知られている。

方程式 x³ − 3x + d/4 = 0（正弦関数ならば x = sinθ, d = sin(3θ) とする）の判別式は正なのでこの方程式は3つの実数解を持つ。

倍角の公式

加法定理から、正弦関数および余弦関数の以下の倍角公式が得られる。これらの式は16世紀のフランスの数学者フランソワ・ビエトによって示された。

${\begin{aligned}\sin(n\theta )&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\sin \left({\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right),\\\cos(n\theta )&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\cos \left({\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right)\end{aligned}}$${\begin{aligned}\sin(n\theta )&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\sin \left({\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right),\\\cos(n\theta )&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\cos \left({\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right)\end{aligned}}$

ここで (n
k) は二項係数である。上記の和の最初の数項を明示すれば、以下の通りである。

${\begin{aligned}\sin(n\theta )&={\binom {n}{1}}\cos ^{n-1}\theta \sin \theta -{\binom {n}{3}}\cos ^{n-3}\theta \sin ^{3}\theta +\cdots ,\\\cos(n\theta )&={\binom {n}{0}}\cos ^{n}\theta -{\binom {n}{2}}\cos ^{n-2}\theta \sin ^{2}\theta +\cdots .\end{aligned}}$${\begin{aligned}\sin(n\theta )&={\binom {n}{1}}\cos ^{n-1}\theta \sin \theta -{\binom {n}{3}}\cos ^{n-3}\theta \sin ^{3}\theta +\cdots ,\\\cos(n\theta )&={\binom {n}{0}}\cos ^{n}\theta -{\binom {n}{2}}\cos ^{n-2}\theta \sin ^{2}\theta +\cdots .\end{aligned}}$

ビエトの公式を利用し、正接関数と余接関数の倍角公式を漸化式として与えることができる。

${\begin{aligned}\tan {((n+1)\theta )}&={\frac {\tan(n\theta )+\tan \theta }{1-\tan(n\theta )\tan \theta }},\\\cot {((n+1)\theta )}&={\frac {\cot(n\theta )\cot \theta -1}{\cot {(n\theta )}+\cot \theta }}.\end{aligned}}$${\begin{aligned}\tan {((n+1)\theta )}&={\frac {\tan(n\theta )+\tan \theta }{1-\tan(n\theta )\tan \theta }},\\\cot {((n+1)\theta )}&={\frac {\cot(n\theta )\cot \theta -1}{\cot {(n\theta )}+\cot \theta }}.\end{aligned}}$

またド・モアブルの定理、あるいはオイラーの公式を利用し、以下のように表すことができる。

${\begin{aligned}\cos(n\theta )&={\frac {1}{2}}\left\{(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}+(\cos \theta -i\sin \theta )^{n}\right\},\\\sin(n\theta )&=-{\frac {i}{2}}\left\{(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}-(\cos \theta -i\sin \theta )^{n}\right\},\\\tan(n\theta )&=-i{\frac {(1+i\tan \theta )^{n}-(1-i\tan \theta )^{n}}{(1+i\tan \theta )^{n}+(1-i\tan \theta )^{n}}}\end{aligned}}$${\begin{aligned}\cos(n\theta )&={\frac {1}{2}}\left\{(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}+(\cos \theta -i\sin \theta )^{n}\right\},\\\sin(n\theta )&=-{\frac {i}{2}}\left\{(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}-(\cos \theta -i\sin \theta )^{n}\right\},\\\tan(n\theta )&=-i{\frac {(1+i\tan \theta )^{n}-(1-i\tan \theta )^{n}}{(1+i\tan \theta )^{n}+(1-i\tan \theta )^{n}}}\end{aligned}}$

チェビシェフの方法

パフヌティ・チェビシェフは、n 倍角の正弦関数と余弦関数の値を、(n − 1) 倍角と (n − 2) 倍角の値を用いて表す方法を発見している。

cos(nx) は、以下のように表される。

$\cos(nx)=2\cdot \cos x\cdot \cos((n-1)x)-\cos((n-2)x)\,$$\cos(nx)=2\cdot \cos x\cdot \cos((n-1)x)-\cos((n-2)x)\,$

同様に sin(nx) は以下のように表される。

$\sin(nx)=2\cdot \cos x\cdot \sin((n-1)x)-\sin((n-2)x)\,$$\sin(nx)=2\cdot \cos x\cdot \sin((n-1)x)-\sin((n-2)x)\,$

tan(nx) は以下のようになる。

$\tan(nx)={\frac {H+K\tan x}{K-H\tan x}}\,$$\tan(nx)={\frac {H+K\tan x}{K-H\tan x}}\,$

ここで、H/K = tan((n − 1)x) である。

算術平均の正接関数

α, β の算術平均の正接について以下が成り立つ。

$\tan \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}=-\,{\frac {\cos \alpha -\cos \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }}$$\tan \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}=-\,{\frac {\cos \alpha -\cos \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }}$

α, β のいずれかが 0 である場合、これは正接関数の半角公式に一致する。

ビエトの無限積

以下の式が成り立つ。

$\cos \left({\theta \over 2}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 4}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 8}\right)\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\theta \over 2^{n}}\right)={\sin(\theta ) \over \theta }=\operatorname {sinc} \,\theta .$$\cos \left({\theta \over 2}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 4}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 8}\right)\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\theta \over 2^{n}}\right)={\sin(\theta ) \over \theta }=\operatorname {sinc} \,\theta .$

最後のsincは、正弦関数を角の大きさで割ったものである。

$\operatorname {sinc} x:={\frac {\sin x}{x}}.$$\operatorname {sinc} x:={\frac {\sin x}{x}}.$

べき乗

余弦関数の倍角公式を変形することにより、以下の式が得られる。式の次数を下げるために良く用いられる。

正弦関数	余弦関数	その他
$\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}\!$$\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}\!$	$\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\!$$\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\!$	$\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 4\theta }{8}}\!$$\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 4\theta }{8}}\!$
$\sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin 3\theta }{4}}\!$$\sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin 3\theta }{4}}\!$	$\cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos 3\theta }{4}}\!$$\cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos 3\theta }{4}}\!$	$\sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin 2\theta -\sin 6\theta }{32}}\!$$\sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin 2\theta -\sin 6\theta }{32}}\!$
$\sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}\!$$\sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}\!$	$\cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}\!$$\cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}\!$	$\sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 4\theta +\cos 8\theta }{128}}\!$$\sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 4\theta +\cos 8\theta }{128}}\!$
$\sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin 3\theta +\sin 5\theta }{16}}\!$$\sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin 3\theta +\sin 5\theta }{16}}\!$	$\cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos 3\theta +\cos 5\theta }{16}}\!$$\cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos 3\theta +\cos 5\theta }{16}}\!$	$\sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin 2\theta -5\sin 6\theta +\sin 10\theta }{512}}\!$$\sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin 2\theta -5\sin 6\theta +\sin 10\theta }{512}}\!$

ド・モアブルの定理・オイラーの公式・二項定理を用いると、以下のように一般化できる。

	余弦関数	正弦関数
n が奇数	$\cos ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos {\left((n-2k)\theta \right)}$$\cos ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos {\left((n-2k)\theta \right)}$	$\sin ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{\left({\frac {n-1}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\sin {\left((n-2k)\theta \right)}$$\sin ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{\left({\frac {n-1}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\sin {\left((n-2k)\theta \right)}$
n が偶数	$\cos ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos {\left((n-2k)\theta \right)}$$\cos ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos {\left((n-2k)\theta \right)}$	$\sin ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\cos {\left((n-2k)\theta \right)}$$\sin ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\cos {\left((n-2k)\theta \right)}$

和積公式と積和公式

加法定理に（θ±φ）を代入することにより、積和公式を導くことができる。これを変形すると和積公式になる。

積和公式 $\cos \theta \cos \varphi ={\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi ) \over 2}$$\cos \theta \cos \varphi ={\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi ) \over 2}$ $\sin \theta \sin \varphi ={\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi ) \over 2}$$\sin \theta \sin \varphi ={\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi ) \over 2}$ $\sin \theta \cos \varphi ={\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi ) \over 2}$$\sin \theta \cos \varphi ={\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi ) \over 2}$ $\cos \theta \sin \varphi ={\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi ) \over 2}$$\cos \theta \sin \varphi ={\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi ) \over 2}$

和積公式 $\sin \theta \pm \sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \varphi }{2}}\right)$$\sin \theta \pm \sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \varphi }{2}}\right)$ $\cos \theta +\cos \varphi =2\cos \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)$$\cos \theta +\cos \varphi =2\cos \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)$ $\cos \theta -\cos \varphi =-2\sin \left({\theta +\varphi \over 2}\right)\sin \left({\theta -\varphi \over 2}\right)$$\cos \theta -\cos \varphi =-2\sin \left({\theta +\varphi \over 2}\right)\sin \left({\theta -\varphi \over 2}\right)$

エルミートの無限積

シャルル・エルミートは、複素関数に関する以下の式を示した。

複素数 a₁, ..., a_n は、どの2つをとってもその差がπの整数倍にならないものとする。

$A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})$$A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})$

と置く（A_1,1 のときこの値は1とする）と、以下の式が成り立つ。

$\cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).$$\cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).$

自明でない単純な例として、n = 2 のときの例をあげる。

$\cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2})$$\cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2})$

合成公式

正弦関数と余弦関数の和は、正弦関数で表すことができる。

$a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi )\,$$a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi )\,$

ここで、φの値は以下の式で与えられる。

$\varphi ={\begin{cases}\arcsin \left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)&{\text{if }}a\geq 0,\\\pi -\arcsin \left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)&{\text{if }}a<0,\end{cases}}$$\varphi ={\begin{cases}\arcsin \left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)&{\text{if }}a\geq 0,\\\pi -\arcsin \left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)&{\text{if }}a<0,\end{cases}}$

または

$\varphi =\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)+{\begin{cases}0&{\text{if }}a\geq 0,\\\pi &{\text{if }}a<0,\end{cases}}$$\varphi =\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)+{\begin{cases}0&{\text{if }}a\geq 0,\\\pi &{\text{if }}a<0,\end{cases}}$

位相の違う正弦関数を以下のように合成することができる。

$a\sin x+b\sin(x+\alpha )=c\sin(x+\beta )\,$$a\sin x+b\sin(x+\alpha )=c\sin(x+\beta )\,$

ここで c と β の値は以下の式で与えられる。

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \alpha }},\,$$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \alpha }},\,$

$\beta =\arctan \left({\frac {b\sin \alpha }{a+b\cos \alpha }}\right)+{\begin{cases}0&{\text{if }}a+b\cos \alpha \geq 0,\\\pi &{\text{if }}a+b\cos \alpha <0.\end{cases}}$$\beta =\arctan \left({\frac {b\sin \alpha }{a+b\cos \alpha }}\right)+{\begin{cases}0&{\text{if }}a+b\cos \alpha \geq 0,\\\pi &{\text{if }}a+b\cos \alpha <0.\end{cases}}$

その他の和に関する公式

正弦関数と余弦関数の和に関する以下のような公式がある。

${\begin{aligned}&\sin {\varphi }+\sin {(\varphi +\alpha )}+\sin {(\varphi +2\alpha )}+\cdots {}\\[8pt]&{}\qquad \qquad \cdots +\sin {(\varphi +n\alpha )}={\frac {\sin {\left({\frac {(n+1)\alpha }{2}}\right)}\cdot \sin {(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}})}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}.\\[10pt]&\cos {\varphi }+\cos {(\varphi +\alpha )}+\cos {(\varphi +2\alpha )}+\cdots {}\\[8pt]&{}\qquad \qquad \cdots +\cos {(\varphi +n\alpha )}={\frac {\sin {\left({\frac {(n+1)\alpha }{2}}\right)}\cdot \cos {(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}})}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}.\end{aligned}}$${\begin{aligned}&\sin {\varphi }+\sin {(\varphi +\alpha )}+\sin {(\varphi +2\alpha )}+\cdots {}\\[8pt]&{}\qquad \qquad \cdots +\sin {(\varphi +n\alpha )}={\frac {\sin {\left({\frac {(n+1)\alpha }{2}}\right)}\cdot \sin {(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}})}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}.\\[10pt]&\cos {\varphi }+\cos {(\varphi +\alpha )}+\cos {(\varphi +2\alpha )}+\cdots {}\\[8pt]&{}\qquad \qquad \cdots +\cos {(\varphi +n\alpha )}={\frac {\sin {\left({\frac {(n+1)\alpha }{2}}\right)}\cdot \cos {(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}})}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}.\end{aligned}}$

正接関数と正割関数に関して以下の式が成り立つ。

$\tan x+\sec x=\tan \left({x \over 2}+{\pi \over 4}\right)=\exp \left(\operatorname {gd} ^{-1}x\right)$$\tan x+\sec x=\tan \left({x \over 2}+{\pi \over 4}\right)=\exp \left(\operatorname {gd} ^{-1}x\right)$

ただし、$\operatorname {gd} ^{-1}x$$\operatorname {gd} ^{-1}x$ はグーデルマン関数の逆関数である。

メビウス変換

ƒ(x) と g(x) を以下のようなメビウス変換関数として定義する。

$f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }},$$f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }},$

$g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},$$g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},$

このとき以下が成り立つ。

$f(g(x))=g(f(x))={\frac {(\cos(\alpha +\beta ))x-\sin(\alpha +\beta )}{(\sin(\alpha +\beta ))x+\cos(\alpha +\beta )}}.$$f(g(x))=g(f(x))={\frac {(\cos(\alpha +\beta ))x-\sin(\alpha +\beta )}{(\sin(\alpha +\beta ))x+\cos(\alpha +\beta )}}.$

以下のように書くこともできる。

$f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.\,$$f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.\,$

逆三角関数に関する公式

$\arcsin(x)+\arccos(x)=\pi /2\;$$\arcsin(x)+\arccos(x)=\pi /2\;$

$\arctan(x)+\operatorname {arccot}(x)=\pi /2.\;$$\arctan(x)+\operatorname {arccot}(x)=\pi /2.\;$

$\arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{{\begin{matrix}\pi /2,&{\mbox{if }}x>0\\-\pi /2,&{\mbox{if }}x<0\end{matrix}}\right.$$\arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{{\begin{matrix}\pi /2,&{\mbox{if }}x>0\\-\pi /2,&{\mbox{if }}x<0\end{matrix}}\right.$

逆三角関数同士の関係

	arccos	arcsin	arctan	arccot
arccos		$\arccos x=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}}$$\arccos x=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}}$	$\arccos x=\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$$\arccos x=\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$	$\arccos x=\operatorname {arccot} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$$\arccos x=\operatorname {arccot} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
arcsin	$\arcsin x=\arccos {\sqrt {1-x^{2}}}$$\arcsin x=\arccos {\sqrt {1-x^{2}}}$		$\arcsin x=\arctan {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$$\arcsin x=\arctan {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	$\arcsin x=\operatorname {arccot} {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$$\arcsin x=\operatorname {arccot} {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$
arctan	$\arctan x=\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$$\arctan x=\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\arctan x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$$\arctan x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$		$\arctan x=\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}$$\arctan x=\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}$
arccot	$\operatorname {arccot} x=\arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$$\operatorname {arccot} x=\arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\operatorname {arccot} x=\arcsin {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$$\operatorname {arccot} x=\arcsin {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$	$\operatorname {arccot} x=\arctan {\frac {1}{x}}$$\operatorname {arccot} x=\arctan {\frac {1}{x}}$

逆三角関数の和に関する公式

式	和	条件
$\arcsin x+\arcsin y=$$\arcsin x+\arcsin y=$	$\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$$\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$xy\leq 0$$xy\leq 0$ または $x^{2}+y^{2}\leq 1$$x^{2}+y^{2}\leq 1$
	$\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$$\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$x>0$$x>0$ かつ $y>0$$y>0$ かつ $x^{2}+y^{2}>1$$x^{2}+y^{2}>1$
	$-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$$-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$x<0$$x<0$ かつ $y<0$$y<0$ かつ $x^{2}+y^{2}>1$$x^{2}+y^{2}>1$
$\arcsin x-\arcsin y=$$\arcsin x-\arcsin y=$	$\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$$\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$xy\geq 0$$xy\geq 0$ または $x^{2}+y^{2}\leq 1$$x^{2}+y^{2}\leq 1$
	$\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$$\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$x>0$$x>0$ かつ $y<0$$y<0$ かつ $x^{2}+y^{2}>1$$x^{2}+y^{2}>1$
	$-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$$-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$x<0$$x<0$ かつ $y>0$$y>0$ かつ $x^{2}+y^{2}>1$$x^{2}+y^{2}>1$
$\arccos x+\arccos y=$$\arccos x+\arccos y=$	$\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)$$\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)$	$x+y\geq 0$$x+y\geq 0$
	$2\pi -\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)$$2\pi -\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)$	$x+y<0$$x+y<0$
$\arccos x-\arccos y=$$\arccos x-\arccos y=$	$-\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)$$-\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)$	$x+y\geq 0$$x+y\geq 0$
	$\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)$$\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)$	$x+y<0$$x+y<0$
$\arctan x+\arctan y=$$\arctan x+\arctan y=$	$\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)$$\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)$	$xy<1$$xy<1$
	$\pi +\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)$$\pi +\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)$	$x>0$$x>0$ かつ $xy>1$$xy>1$
	$-\pi +\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)$$-\pi +\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)$	$x<0$$x<0$ かつ $xy>1$$xy>1$
$\arctan x-\arctan y=$$\arctan x-\arctan y=$	$\arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)$$\arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)$	$xy>-1$$xy>-1$
	$\pi +\arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)$$\pi +\arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)$	$x>0$$x>0$ かつ $xy<-1$$xy<-1$
	$-\pi +\arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)$$-\pi +\arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)$	$x<0$$x<0$ かつ $xy<-1$$xy<-1$

逆三角関数と三角関数

$\sin[\arccos(x)]={\sqrt {1-x^{2}}}\,$$\sin[\arccos(x)]={\sqrt {1-x^{2}}}\,$	$\tan[\arcsin(x)]={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$$\tan[\arcsin(x)]={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\sin[\arctan(x)]={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$$\sin[\arctan(x)]={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan[\arccos(x)]={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$$\tan[\arccos(x)]={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$
$\cos[\arctan(x)]={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$$\cos[\arctan(x)]={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cot[\arcsin(x)]={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$$\cot[\arcsin(x)]={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$
$\cos[\arcsin(x)]={\sqrt {1-x^{2}}}\,$$\cos[\arcsin(x)]={\sqrt {1-x^{2}}}\,$	$\cot[\arccos(x)]={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$$\cot[\arccos(x)]={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

複素関数

以下において、$i$$i$ は虚数単位とする。

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,$$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,$ （オイラーの公式）

$e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos(x)-i\sin(x)$$e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos(x)-i\sin(x)$

$e^{i\pi }=-1$$e^{i\pi }=-1$ （オイラーの等式）

$\cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\;$$\cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\;$

$\sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\;$$\sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\;$

$\tan(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{i({e^{ix}+e^{-ix}})}}\;={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$$\tan(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{i({e^{ix}+e^{-ix}})}}\;={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$

無限乗積による表現

いくつかの関数は、無限乗積の形で表すことができる。

$\sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)$$\sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)$

$\sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)$$\sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)$

${\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)$${\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)$

$\cos x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)$$\cos x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)$

$\cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)$$\cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)$

$|\sin x|={\frac {1}{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\sqrt[{2^{n+1}}]{\left|\tan \left(2^{n}x\right)\right|}}$$|\sin x|={\frac {1}{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\sqrt[{2^{n+1}}]{\left|\tan \left(2^{n}x\right)\right|}}$

三角形

α, β, γ が三角形の3つの角の大きさのとき、即ち α + β + γ = π を満たす場合、以下の式が成り立つ。

$\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma =\tan \alpha \cdot \tan \beta \cdot \tan \gamma \,$$\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma =\tan \alpha \cdot \tan \beta \cdot \tan \gamma \,$

$\cot \beta \cdot \cot \gamma +\cot \gamma \cdot \cot \alpha +\cot \alpha \cdot \cot \beta =1$$\cot \beta \cdot \cot \gamma +\cot \gamma \cdot \cot \alpha +\cot \alpha \cdot \cot \beta =1$

$\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}=\cot {\frac {\alpha }{2}}\cdot \cot {\frac {\beta }{2}}\cdot \cot {\frac {\gamma }{2}}$$\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}=\cot {\frac {\alpha }{2}}\cdot \cot {\frac {\beta }{2}}\cdot \cot {\frac {\gamma }{2}}$

$\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}=1$$\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}=1$

$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}$$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}$

$-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}$$-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}$

$\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+1$$\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+1$

$-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}-1$$-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}-1$

$\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \,$$\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \,$

$-\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \,$$-\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \,$

$\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\,$$\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\,$

$-\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\,$$-\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\,$

$\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\,$$\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\,$

$-\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \,$$-\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \,$

$\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\,$$\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\,$

$-\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\,$$-\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\,$

$-\sin ^{2}(2\alpha )+\sin ^{2}(2\beta )+\sin ^{2}(2\gamma )=-2\cos(2\alpha )\,\sin(2\beta )\,\sin(2\gamma )$$-\sin ^{2}(2\alpha )+\sin ^{2}(2\beta )+\sin ^{2}(2\gamma )=-2\cos(2\alpha )\,\sin(2\beta )\,\sin(2\gamma )$

$-\cos ^{2}(2\alpha )+\cos ^{2}(2\beta )+\cos ^{2}(2\gamma )=2\cos(2\alpha )\,\sin(2\beta )\,\sin(2\gamma )+1$$-\cos ^{2}(2\alpha )+\cos ^{2}(2\beta )+\cos ^{2}(2\gamma )=2\cos(2\alpha )\,\sin(2\beta )\,\sin(2\gamma )+1$

特定の角度に関する式

以下の式が成り立つ。

$\cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}}$$\cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}}$

この式は以下の式の特殊な場合である。

$\prod _{j=0}^{k-1}\cos \left(2^{j}x\right)={\frac {\sin \left(2^{k}x\right)}{2^{k}\sin(x)}}.$$\prod _{j=0}^{k-1}\cos \left(2^{j}x\right)={\frac {\sin \left(2^{k}x\right)}{2^{k}\sin(x)}}.$

以下の式も同じ値を持つ。

$\cos {\frac {\pi }{7}}\cos {\frac {2\pi }{7}}\cos {\frac {3\pi }{7}}={\frac {1}{8}},$$\cos {\frac {\pi }{7}}\cos {\frac {2\pi }{7}}\cos {\frac {3\pi }{7}}={\frac {1}{8}},$

正弦関数では以下の式が成り立つ。

$\sin 10^{\circ }\cdot \sin 50^{\circ }\cdot \sin 70^{\circ }={\frac {1}{8}}.$$\sin 10^{\circ }\cdot \sin 50^{\circ }\cdot \sin 70^{\circ }={\frac {1}{8}}.$

$\sin 15^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }={\frac {1}{4}}.$$\sin 15^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }={\frac {1}{4}}.$

$\sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}.$$\sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}.$

余弦関数では以下の式が成り立つ。

$\cos 10^{\circ }\cdot \cos 50^{\circ }\cdot \cos 70^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}.$$\cos 10^{\circ }\cdot \cos 50^{\circ }\cdot \cos 70^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}.$

$\cos 15^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }={\frac {1}{4}}.$$\cos 15^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }={\frac {1}{4}}.$

上の式を利用して以下の式が得られる。

$\tan 50^{\circ }+\tan 60^{\circ }+\tan 70^{\circ }=\tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }=\tan 80^{\circ }.$$\tan 50^{\circ }+\tan 60^{\circ }+\tan 70^{\circ }=\tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }=\tan 80^{\circ }.$

以下の式は単純である。

$\cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.$$\cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.$

上の式を一般化する場合分母に21が出てくるため、単位として度よりもラジアンを使用した方がよい。

${\begin{aligned}&\cos \left({\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\\[10pt]&{}\qquad {}+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}$${\begin{aligned}&\cos \left({\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\\[10pt]&{}\qquad {}+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}$

係数に登場する 1, 2, 4, 5, 8, 10 は 21/2 より小さく 21 と互いに素な全ての自然数である。この式は円分多項式に関係している。

以下の関係から導かれる式もある。

$\prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}$$\prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}$

$\prod _{k=1}^{n-1}\cos \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {\sin \left(\pi n/2\right)}{2^{n-1}}}$$\prod _{k=1}^{n-1}\cos \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {\sin \left(\pi n/2\right)}{2^{n-1}}}$

これらを組み合わせると、以下の式になる。

$\prod _{k=1}^{n-1}\tan \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{\sin \left(\pi n/2\right)}}$$\prod _{k=1}^{n-1}\tan \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{\sin \left(\pi n/2\right)}}$

n を奇数に限定すると、以下の式が得られる。

$\prod _{k=1}^{m}\tan \left({\frac {k\pi }{2m+1}}\right)={\sqrt {2m+1}}$$\prod _{k=1}^{m}\tan \left({\frac {k\pi }{2m+1}}\right)={\sqrt {2m+1}}$

πの計算

円周率の計算において、以下のマチンの公式はよく使用される。

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$

レオンハルト・オイラーは、以下の式を示している。

${\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}.$${\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}.$

よく使用される値

正弦関数と余弦関数において、値が $\scriptstyle {\sqrt {n}}/2$$\scriptstyle {\sqrt {n}}/2$ （ただし 0 ≤ n ≤ 4）の形になるものは、覚えやすい値である。

${\begin{matrix}\sin 0&=&\sin 0^{\circ }&=&{\sqrt {0}}/2&=&\cos 90^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)&=&\sin 30^{\circ }&=&{\sqrt {1}}/2&=&\cos 60^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{3}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)&=&\sin 45^{\circ }&=&{\sqrt {2}}/2&=&\cos 45^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{3}}\right)&=&\sin 60^{\circ }&=&{\sqrt {3}}/2&=&\cos 30^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)&=&\sin 90^{\circ }&=&{\sqrt {4}}/2&=&\cos 0^{\circ }&=&\cos 0\end{matrix}}$${\begin{matrix}\sin 0&=&\sin 0^{\circ }&=&{\sqrt {0}}/2&=&\cos 90^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)&=&\sin 30^{\circ }&=&{\sqrt {1}}/2&=&\cos 60^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{3}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)&=&\sin 45^{\circ }&=&{\sqrt {2}}/2&=&\cos 45^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{3}}\right)&=&\sin 60^{\circ }&=&{\sqrt {3}}/2&=&\cos 30^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)&=&\sin 90^{\circ }&=&{\sqrt {4}}/2&=&\cos 0^{\circ }&=&\cos 0\end{matrix}}$

黄金比

一部の角に対する値は、黄金比 φ を用いて表すことができる。

$\cos \left({\frac {\pi }{5}}\right)=\cos 36^{\circ }={{\sqrt {5}}+1 \over 4}={\frac {\varphi }{2}}$$\cos \left({\frac {\pi }{5}}\right)=\cos 36^{\circ }={{\sqrt {5}}+1 \over 4}={\frac {\varphi }{2}}$

$\sin \left({\frac {\pi }{10}}\right)=\sin 18^{\circ }={{\sqrt {5}}-1 \over 4}={\varphi -1 \over 2}={1 \over 2\varphi }$$\sin \left({\frac {\pi }{10}}\right)=\sin 18^{\circ }={{\sqrt {5}}-1 \over 4}={\varphi -1 \over 2}={1 \over 2\varphi }$

ユークリッドによる式

ユークリッドは原論13巻で、正五角形と同じ長さの辺を持つ正方形の面積は、同じ円に内接する正六角形と正十角形の辺の長さを持つ2つの正方形の和に等しいことを示した。これを三角関数を用いて書くと以下のようになる。

$\sin ^{2}{18^{\circ }}+\sin ^{2}{30^{\circ }}=\sin ^{2}{36^{\circ }}.\,$$\sin ^{2}{18^{\circ }}+\sin ^{2}{30^{\circ }}=\sin ^{2}{36^{\circ }}.\,$

微積分

微分積分学の分野においては、角度はラジアンを使用する。

微積分において、極限に関する2つの重要な式がある。1つは

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,$$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,$

である。この式ははさみうちの原理から導くことができる。もう1つは以下の式である。

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0,$$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0,$

これらの式と加法定理などを利用して、以下の式を導くことができる。

${d \over dx}\sin x=\cos x$${d \over dx}\sin x=\cos x$

以下に三角関数と逆三角関数の微分を示す。

${\begin{aligned}{d \over dx}\sin x&=\cos x,&{d \over dx}\arcsin x&={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{d \over dx}\cos x&=-\sin x,&{d \over dx}\arccos x&={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{d \over dx}\tan x&=\sec ^{2}x,&{d \over dx}\arctan x&={1 \over 1+x^{2}}\\\\{d \over dx}\cot x&=-\csc ^{2}x,&{d \over dx}\operatorname {arccot} x&={-1 \over 1+x^{2}}\\\\{d \over dx}\sec x&=\tan x\sec x,&{d \over dx}\operatorname {arcsec} x&={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\\\\{d \over dx}\csc x&=-\csc x\cot x,&{d \over dx}\operatorname {arccsc} x&={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\end{aligned}}$${\begin{aligned}{d \over dx}\sin x&=\cos x,&{d \over dx}\arcsin x&={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{d \over dx}\cos x&=-\sin x,&{d \over dx}\arccos x&={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{d \over dx}\tan x&=\sec ^{2}x,&{d \over dx}\arctan x&={1 \over 1+x^{2}}\\\\{d \over dx}\cot x&=-\csc ^{2}x,&{d \over dx}\operatorname {arccot} x&={-1 \over 1+x^{2}}\\\\{d \over dx}\sec x&=\tan x\sec x,&{d \over dx}\operatorname {arcsec} x&={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\\\\{d \over dx}\csc x&=-\csc x\cot x,&{d \over dx}\operatorname {arccsc} x&={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\end{aligned}}$

積分に関しては三角関数の原始関数の一覧を参照。

三角関数（特に正弦関数と余弦関数）の導関数と原始関数が三角関数であらわされることは、微分方程式やフーリエ解析を含む数学の多くの分野で有用である。

指数関数による定義

関数	逆関数
$\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\,$$\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\,$	$\arcsin x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,$$\arcsin x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,$
$\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\,$$\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\,$	$\arccos x=-i\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,$$\arccos x=-i\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,$
$\tan \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}}\,$$\tan \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}}\,$	$\arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)\,$$\arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)\,$
$\csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,$$\csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,$	$\operatorname {arccsc} x=-i\ln \left({\tfrac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {1}{x^{2}}}}}\right)\,$$\operatorname {arccsc} x=-i\ln \left({\tfrac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {1}{x^{2}}}}}\right)\,$
$\sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}\,$$\sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}\,$	$\operatorname {arcsec} x=-i\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {i}{x^{2}}}}}\right)\,$$\operatorname {arcsec} x=-i\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {i}{x^{2}}}}}\right)\,$
$\cot \theta ={\frac {i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,$$\cot \theta ={\frac {i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,$	$\operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)\,$$\operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)\,$
$\operatorname {cis} \,\theta =e^{i\theta }\,$$\operatorname {cis} \,\theta =e^{i\theta }\,$	$\operatorname {arccis} \,x={\frac {\ln x}{i}}=-i\ln x=\operatorname {arg} \,x\,$$\operatorname {arccis} \,x={\frac {\ln x}{i}}=-i\ln x=\operatorname {arg} \,x\,$

その他

ワイエルシュトラスの置換

(Weierstrass substitution) 以下の変換は、カール・ワイエルシュトラスの名がつけられている。

$t=\tan {\frac {x}{2}}$$t=\tan {\frac {x}{2}}$

とおくと、

$\sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}},\cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}},\mathrm {d} x={\frac {2\,\mathrm {d} t}{1+t^{2}}}$$\sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}},\cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}},\mathrm {d} x={\frac {2\,\mathrm {d} t}{1+t^{2}}}$

となる。

三角関数を含む積分などにおいてこの値を代入すると、t による有理関数となる。

応用例

sinの3倍角の公式を加法定理で変形すると、

$\sin {3x}=3\sin {x}-4\sin ^{3}{x}$$\sin {3x}=3\sin {x}-4\sin ^{3}{x}$

${\frac {\sin {3x}}{4}}=\sin {x}\cdot \left({\frac {3}{4}}-\sin ^{2}{x}\right)$${\frac {\sin {3x}}{4}}=\sin {x}\cdot \left({\frac {3}{4}}-\sin ^{2}{x}\right)$

$=\sin {x}\cdot \left(\sin ^{2}{60^{\circ }}-(\sin ^{2}{60^{\circ }}+\cos ^{2}{60^{\circ }})\cdot \sin ^{2}{x}\right)$$=\sin {x}\cdot \left(\sin ^{2}{60^{\circ }}-(\sin ^{2}{60^{\circ }}+\cos ^{2}{60^{\circ }})\cdot \sin ^{2}{x}\right)$

$=\sin {x}\cdot \left(\sin ^{2}{60^{\circ }}\cdot (1-\sin ^{2}{x})-\cos ^{2}{60^{\circ }}\cdot \sin ^{2}{x}\right)$$=\sin {x}\cdot \left(\sin ^{2}{60^{\circ }}\cdot (1-\sin ^{2}{x})-\cos ^{2}{60^{\circ }}\cdot \sin ^{2}{x}\right)$

$=\sin {x}\cdot \left(\sin ^{2}{60^{\circ }}\cdot \cos ^{2}{x}-\cos ^{2}{60^{\circ }}\cdot \sin ^{2}{x}\right)$$=\sin {x}\cdot \left(\sin ^{2}{60^{\circ }}\cdot \cos ^{2}{x}-\cos ^{2}{60^{\circ }}\cdot \sin ^{2}{x}\right)$

$=\sin {x}\cdot \left(\sin {60^{\circ }}\cdot \cos {x}+\cos {60^{\circ }}\cdot \sin {x}\right)\left(\sin {60^{\circ }}\cdot \cos {x}-\cos {60^{\circ }}\cdot \sin {x}\right)$$=\sin {x}\cdot \left(\sin {60^{\circ }}\cdot \cos {x}+\cos {60^{\circ }}\cdot \sin {x}\right)\left(\sin {60^{\circ }}\cdot \cos {x}-\cos {60^{\circ }}\cdot \sin {x}\right)$

$=\sin {x}\cdot \sin {(60^{\circ }+x)}\cdot \sin {(60^{\circ }-x)}$$=\sin {x}\cdot \sin {(60^{\circ }+x)}\cdot \sin {(60^{\circ }-x)}$

が成り立つ。

$x=10^{\circ }$$x=10^{\circ }$

を入力すると、

$\sin {10^{\circ }}\cdot \sin {50^{\circ }}\cdot \sin {70^{\circ }}={\frac {\sin {30^{\circ }}}{4}}={\frac {1}{8}}.$$\sin {10^{\circ }}\cdot \sin {50^{\circ }}\cdot \sin {70^{\circ }}={\frac {\sin {30^{\circ }}}{4}}={\frac {1}{8}}.$

が成り立つ。

$x=15^{\circ }$$x=15^{\circ }$

を入力すると、

$\sin {15^{\circ }}\cdot \sin {45^{\circ }}\cdot \sin {75^{\circ }}={\frac {\sin {45^{\circ }}}{4}}={\frac {\sqrt {2}}{8}},$$\sin {15^{\circ }}\cdot \sin {45^{\circ }}\cdot \sin {75^{\circ }}={\frac {\sin {45^{\circ }}}{4}}={\frac {\sqrt {2}}{8}},$

$\sin {15^{\circ }}\cdot \sin {75^{\circ }}={\frac {1}{4}}.$$\sin {15^{\circ }}\cdot \sin {75^{\circ }}={\frac {1}{4}}.$

が成り立つ。

$x=20^{\circ }$$x=20^{\circ }$

を入力すると、

$\sin {20^{\circ }}\cdot \sin {40^{\circ }}\cdot \sin {80^{\circ }}={\frac {\sin {60^{\circ }}}{4}}={\frac {\sqrt {3}}{8}}.$$\sin {20^{\circ }}\cdot \sin {40^{\circ }}\cdot \sin {80^{\circ }}={\frac {\sin {60^{\circ }}}{4}}={\frac {\sqrt {3}}{8}}.$

が成り立つ。

cosの3倍角の公式を加法定理で変形すると、

$\cos {3x}=4\cos ^{3}{x}-3\cos {x}$$\cos {3x}=4\cos ^{3}{x}-3\cos {x}$

${\frac {\cos {3x}}{4}}=\cos {x}\cdot \left(\cos ^{2}{x}-{\frac {3}{4}}\right)$${\frac {\cos {3x}}{4}}=\cos {x}\cdot \left(\cos ^{2}{x}-{\frac {3}{4}}\right)$

$=\cos {x}\cdot \left((\cos ^{2}{60^{\circ }}+\sin ^{2}{60^{\circ }})\cdot \cos ^{2}{x}-\sin ^{2}{60^{\circ }}\right)$$=\cos {x}\cdot \left((\cos ^{2}{60^{\circ }}+\sin ^{2}{60^{\circ }})\cdot \cos ^{2}{x}-\sin ^{2}{60^{\circ }}\right)$

$=\cos {x}\cdot \left(\cos ^{2}{60^{\circ }}\cdot \cos ^{2}{x}-\sin ^{2}{60^{\circ }}\cdot (1-\cos ^{2}{x})\right)$$=\cos {x}\cdot \left(\cos ^{2}{60^{\circ }}\cdot \cos ^{2}{x}-\sin ^{2}{60^{\circ }}\cdot (1-\cos ^{2}{x})\right)$

$=\cos {x}\cdot \left(\cos ^{2}{60^{\circ }}\cdot \cos ^{2}{x}-\sin ^{2}{60^{\circ }}\cdot \sin ^{2}{x}\right)$$=\cos {x}\cdot \left(\cos ^{2}{60^{\circ }}\cdot \cos ^{2}{x}-\sin ^{2}{60^{\circ }}\cdot \sin ^{2}{x}\right)$

$=\cos {x}\cdot \left(\cos {60^{\circ }}\cdot \cos {x}-\sin {60^{\circ }}\cdot \sin {x}\right)\left(\cos {60^{\circ }}\cdot \cos {x}+\sin {60^{\circ }}\cdot \sin {x}\right)$$=\cos {x}\cdot \left(\cos {60^{\circ }}\cdot \cos {x}-\sin {60^{\circ }}\cdot \sin {x}\right)\left(\cos {60^{\circ }}\cdot \cos {x}+\sin {60^{\circ }}\cdot \sin {x}\right)$

$=\cos {x}\cdot \cos {(60^{\circ }+x)}\cdot \cos {(60^{\circ }-x)}$$=\cos {x}\cdot \cos {(60^{\circ }+x)}\cdot \cos {(60^{\circ }-x)}$

が成り立つ。

$x=10^{\circ }$$x=10^{\circ }$

を入力すると、

$\cos {10^{\circ }}\cdot \cos {50^{\circ }}\cdot \cos {70^{\circ }}={\frac {\cos {30^{\circ }}}{4}}={\frac {\sqrt {3}}{8}}.$$\cos {10^{\circ }}\cdot \cos {50^{\circ }}\cdot \cos {70^{\circ }}={\frac {\cos {30^{\circ }}}{4}}={\frac {\sqrt {3}}{8}}.$

が成り立つ。

$x=15^{\circ }$$x=15^{\circ }$

を入力すると、

$\cos {15^{\circ }}\cdot \cos {45^{\circ }}\cdot \cos {75^{\circ }}={\frac {\cos {45^{\circ }}}{4}}={\frac {\sqrt {2}}{8}},$$\cos {15^{\circ }}\cdot \cos {45^{\circ }}\cdot \cos {75^{\circ }}={\frac {\cos {45^{\circ }}}{4}}={\frac {\sqrt {2}}{8}},$

$\cos {15^{\circ }}\cdot \cos {75^{\circ }}={\frac {1}{4}}.$$\cos {15^{\circ }}\cdot \cos {75^{\circ }}={\frac {1}{4}}.$

が成り立つ。

$x=20^{\circ }$$x=20^{\circ }$

を入力すると、

$\cos {20^{\circ }}\cdot \cos {40^{\circ }}\cdot \cos {80^{\circ }}={\frac {\cos {60^{\circ }}}{4}}={\frac {1}{8}}.$$\cos {20^{\circ }}\cdot \cos {40^{\circ }}\cdot \cos {80^{\circ }}={\frac {\cos {60^{\circ }}}{4}}={\frac {1}{8}}.$

が成り立つ。

tanでは、

$\tan {3x}={\frac {\sin {3x}}{\cos {3x}}}={\frac {\sin {x}\cdot \sin {(60^{\circ }+x)}\cdot \sin {(60^{\circ }-x)}}{\cos {x}\cdot \cos {(60^{\circ }+x)}\cdot \cos {(60^{\circ }-x)}}}=\tan {x}\cdot \tan(60^{\circ }+x)\cdot \tan(60^{\circ }-x)$$\tan {3x}={\frac {\sin {3x}}{\cos {3x}}}={\frac {\sin {x}\cdot \sin {(60^{\circ }+x)}\cdot \sin {(60^{\circ }-x)}}{\cos {x}\cdot \cos {(60^{\circ }+x)}\cdot \cos {(60^{\circ }-x)}}}=\tan {x}\cdot \tan(60^{\circ }+x)\cdot \tan(60^{\circ }-x)$

が成り立つ。

$x=10^{\circ }$$x=10^{\circ }$

を入力すると、

$\tan 30^{\circ }=\tan 10^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }\cdot \tan 50^{\circ }.$$\tan 30^{\circ }=\tan 10^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }\cdot \tan 50^{\circ }.$

整理すると、

$\tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }=\tan 80^{\circ }.$$\tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }=\tan 80^{\circ }.$

が成り立つのが分かる。 同様に、tanの5倍角・7倍角の公式から、

$\tan {5x}=\tan {x}\cdot \tan \left({\frac {180^{\circ }}{5}}+x\right)\cdot \tan \left({\frac {180^{\circ }}{5}}-x\right)\cdot \tan \left({\frac {2\cdot 180^{\circ }}{5}}+x\right)\cdot \tan \left({\frac {2\cdot 180^{\circ }}{5}}-x\right)$$\tan {5x}=\tan {x}\cdot \tan \left({\frac {180^{\circ }}{5}}+x\right)\cdot \tan \left({\frac {180^{\circ }}{5}}-x\right)\cdot \tan \left({\frac {2\cdot 180^{\circ }}{5}}+x\right)\cdot \tan \left({\frac {2\cdot 180^{\circ }}{5}}-x\right)$

$\tan {7x}=\tan {x}\cdot \tan \left({\frac {180^{\circ }}{7}}+x\right)\cdot \tan \left({\frac {180^{\circ }}{7}}-x\right)\cdot \tan \left({\frac {2\cdot 180^{\circ }}{7}}+x\right)\cdot \tan \left({\frac {2\cdot 180^{\circ }}{7}}-x\right)\cdot \tan \left({\frac {3\cdot 180^{\circ }}{7}}+x\right)\cdot \tan \left({\frac {3\cdot 180^{\circ }}{7}}-x\right)$$\tan {7x}=\tan {x}\cdot \tan \left({\frac {180^{\circ }}{7}}+x\right)\cdot \tan \left({\frac {180^{\circ }}{7}}-x\right)\cdot \tan \left({\frac {2\cdot 180^{\circ }}{7}}+x\right)\cdot \tan \left({\frac {2\cdot 180^{\circ }}{7}}-x\right)\cdot \tan \left({\frac {3\cdot 180^{\circ }}{7}}+x\right)\cdot \tan \left({\frac {3\cdot 180^{\circ }}{7}}-x\right)$

が成り立つ。

一般には、２項係数を使用したtanのｎ倍角の公式で

$\tan ^{2}{\theta }=x$$\tan ^{2}{\theta }=x$とおくと、

$\tan(2n+1)\theta ={\frac {\sum _{k=0}^{n}{\biggl (}{(-1)^{k}{\binom {2n+1}{2k+1}}\tan ^{2k+1}\theta }{\biggr )}}{\sum _{k=0}^{n}{\biggl (}{(-1)^{k}{\binom {2n+1}{2k}}\tan ^{2k}\theta }{\biggr )}}}=tan\theta \cdot {\frac {\sum _{k=0}^{n}{{\biggl (}(-1)^{k}{\binom {2n+1}{2k+1}}x^{k}{\biggr )}}}{\sum _{k=0}^{n}{{\biggl (}(-1)^{k}{\binom {2n+1}{2k}}x^{k}{\biggr )}}}}$$\tan(2n+1)\theta ={\frac {\sum _{k=0}^{n}{\biggl (}{(-1)^{k}{\binom {2n+1}{2k+1}}\tan ^{2k+1}\theta }{\biggr )}}{\sum _{k=0}^{n}{\biggl (}{(-1)^{k}{\binom {2n+1}{2k}}\tan ^{2k}\theta }{\biggr )}}}=tan\theta \cdot {\frac {\sum _{k=0}^{n}{{\biggl (}(-1)^{k}{\binom {2n+1}{2k+1}}x^{k}{\biggr )}}}{\sum _{k=0}^{n}{{\biggl (}(-1)^{k}{\binom {2n+1}{2k}}x^{k}{\biggr )}}}}$

となる。ここで

$\tan(2n+1)\theta =0$$\tan(2n+1)\theta =0$

が成り立つのは、

$\theta =0,\pm {\frac {\pi }{2n+1}},\pm {\frac {2\pi }{2n+1}},\cdot \cdot \cdot ,\pm {\frac {n\pi }{2n+1}}$$\theta =0,\pm {\frac {\pi }{2n+1}},\pm {\frac {2\pi }{2n+1}},\cdot \cdot \cdot ,\pm {\frac {n\pi }{2n+1}}$

の場合なので、

$x=\tan ^{2}{\Bigl (}{\frac {\pi }{2n+1}}{\Bigr )},\tan ^{2}{\Bigl (}{\frac {2\pi }{2n+1}}{\Bigr )},\cdot \cdot \cdot ,\tan ^{2}{\Bigl (}{\frac {n\pi }{2n+1}}{\Bigr )}$$x=\tan ^{2}{\Bigl (}{\frac {\pi }{2n+1}}{\Bigr )},\tan ^{2}{\Bigl (}{\frac {2\pi }{2n+1}}{\Bigr )},\cdot \cdot \cdot ,\tan ^{2}{\Bigl (}{\frac {n\pi }{2n+1}}{\Bigr )}$

のとき、

${\sum _{k=0}^{n}{\biggl (}{(-1)^{k}{\binom {2n+1}{2k+1}}x^{k}}}{\biggr )}=0$${\sum _{k=0}^{n}{\biggl (}{(-1)^{k}{\binom {2n+1}{2k+1}}x^{k}}}{\biggr )}=0$

が成り立つ。また分子と分母で２項係数が逆順になるため、

$\tan(2n+1)\theta =tan\theta \cdot {\frac {\sum _{k=0}^{n}{\biggl (}(-1)^{k}{\binom {2n+1}{2k+1}}x^{k}{\biggr )}}{\sum _{k=0}^{n}{\biggl (}(-1)^{k}{\binom {2n+1}{2k}}x^{k}{\biggr )}}}=tan\theta \cdot {\frac {\prod _{k=1}^{n}{\Bigl (}\tan ^{2}{\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}{\Bigr )}-x{\Bigr )}}{\prod _{k=1}^{n}{\Bigl (}1-\tan ^{2}{\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}{\Bigr )}x{\Bigr )}}}$$\tan(2n+1)\theta =tan\theta \cdot {\frac {\sum _{k=0}^{n}{\biggl (}(-1)^{k}{\binom {2n+1}{2k+1}}x^{k}{\biggr )}}{\sum _{k=0}^{n}{\biggl (}(-1)^{k}{\binom {2n+1}{2k}}x^{k}{\biggr )}}}=tan\theta \cdot {\frac {\prod _{k=1}^{n}{\Bigl (}\tan ^{2}{\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}{\Bigr )}-x{\Bigr )}}{\prod _{k=1}^{n}{\Bigl (}1-\tan ^{2}{\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}{\Bigr )}x{\Bigr )}}}$

$=tan\theta \cdot {\frac {\prod _{k=1}^{n}{{\Bigl (}\tan ^{2}{\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}{\Bigr )}-\tan ^{2}\theta {\Bigr )}}}{\prod _{k=1}^{n}{\Bigl (}1-\tan ^{2}{\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}{\Bigr )}\tan ^{2}\theta {\Bigr )}}}$$=tan\theta \cdot {\frac {\prod _{k=1}^{n}{{\Bigl (}\tan ^{2}{\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}{\Bigr )}-\tan ^{2}\theta {\Bigr )}}}{\prod _{k=1}^{n}{\Bigl (}1-\tan ^{2}{\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}{\Bigr )}\tan ^{2}\theta {\Bigr )}}}$

$=tan\theta \cdot {\frac {\prod _{k=1}^{n}{{\Bigl (}\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}{\Bigr )}+\tan \theta {\Bigr )}}\cdot \prod _{k=1}^{n}{{\Bigl (}\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}{\Bigr )}-\tan \theta {\Bigr )}}}{\prod _{k=1}^{n}{\Bigl (}1-\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}{\Bigr )}\tan \theta {\Bigr )}\cdot \prod _{k=1}^{n}{\Bigl (}1+\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}{\Bigr )}\tan \theta {\Bigr )}}}$$=tan\theta \cdot {\frac {\prod _{k=1}^{n}{{\Bigl (}\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}{\Bigr )}+\tan \theta {\Bigr )}}\cdot \prod _{k=1}^{n}{{\Bigl (}\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}{\Bigr )}-\tan \theta {\Bigr )}}}{\prod _{k=1}^{n}{\Bigl (}1-\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}{\Bigr )}\tan \theta {\Bigr )}\cdot \prod _{k=1}^{n}{\Bigl (}1+\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}{\Bigr )}\tan \theta {\Bigr )}}}$

$=tan\theta \cdot {\prod _{k=1}^{n}{{\Biggl (}\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}+\theta {\Bigr )}{\Biggr )}}\cdot \prod _{k=1}^{n}{{\Biggl (}\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}-\theta {\Bigr )}{\Biggr )}}}$$=tan\theta \cdot {\prod _{k=1}^{n}{{\Biggl (}\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}+\theta {\Bigr )}{\Biggr )}}\cdot \prod _{k=1}^{n}{{\Biggl (}\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}-\theta {\Bigr )}{\Biggr )}}}$

$=tan\theta \cdot {\prod _{k=1}^{n}{{\Biggl (}\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}+\theta {\Bigr )}{\Biggr )}}\cdot \prod _{k=n+1}^{2n}{{\Biggl (}\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}+\theta {\Bigr )}{\Biggr )}}}$$=tan\theta \cdot {\prod _{k=1}^{n}{{\Biggl (}\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}+\theta {\Bigr )}{\Biggr )}}\cdot \prod _{k=n+1}^{2n}{{\Biggl (}\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}+\theta {\Bigr )}{\Biggr )}}}$

と変形でき、下記の式が成り立つ。

$\tan(2n+1)\theta =\prod _{k=0}^{2n}{{\Biggl (}\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}+\theta {\Bigr )}{\Biggr )}}$$\tan(2n+1)\theta =\prod _{k=0}^{2n}{{\Biggl (}\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}+\theta {\Bigr )}{\Biggr )}}$　

関連項目

• 三角関数
• ピタゴラスの定理
• 正弦定理
• 余弦定理
• 正接定理