虚数単位

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複素平面(ガウス平面)上の虚数単位 i。横軸は実数全体を表し、それ以外の部分が虚数である。

虚数単位(きょすうたんい、imaginary unit)とは、−1 の平方根2乗して −1 になる)である2つの数のうちの1つの数のことである(どちらかを特定することはできない)。そのような数を記号で i または \sqrt{-1} で表す。

i^2 =-1

任意実数の2乗は0以上なので、虚数単位は実数でない。数の概念を複素数に拡張すると登場する数である。

虚数単位の記号 iimaginary の頭文字から採られている。ただし、i を別の意味(電流など)の記号として使う場合は、虚数単位を j などで表すことがある(どの文字を用いるかは自由である。その場合にはどの文字を用いるかを初めに必ず宣言する)。

交換法則が成り立たないことを許容すると、異なる3個以上の虚数単位からなる数の体系(非可換)を考えることができる。3個の虚数単位の場合は i,j,k、7つ以上の虚数単位の組には i_1 ,i_2 ,... といったように一つずつ添字を付けて表すことが多い。

定義[編集]

虚数単位 i とは、2次方程式 x2 + 1 = 0 の2つののうちの一方のことであり、

i^2 =-1 あるいは i=\sqrt{-1}

とも表すことができる。解の一方を i とすれば、(x + i)(xi) = 0 より、解の他方は −i である。

「実数の全体と虚数単位 i を含み四則演算が自由にできる(になる)」集合のうち最小のものを複素数体、その元(要素)複素数といい、特に実数でない複素数を虚数という。

同様に、「複素数の全体と、複素数でない新たな虚数単位 j を含む最小の体」四元数体といい、その元を四元数という。このとき、ij = k とおくと、k も虚数単位である。すなわち k2 = −1 を満たす。この i, j, k をそのまま虚数単位とすることもできるが、複素数体の場合に −ii と置き直しても同じ構造であるのと同じように、四元数体 H においても、虚数単位を取り直すことができる。すなわち、R3正規直交基底を一組選び、

f\colon\mathbb{R}^3 \to \mathbb{H} \quad ((a,b,c)\mapsto ai+bj+ck)

によって写した像を新たに i, j, k とおいて虚数単位としてもよい。ただし、基底を左手系に取ると ij = −k となってしまうので、数学的な必然性はないが、慣習として右手系が選ばれる。

つまり虚数単位は、複素数四元数の範囲を、実数部分と虚数部分に分けた時の、後者の方の基本単位である。八元数十六元数はさらに多くの虚数単位を持つ。

行列表現[編集]

線型代数学(あるいは線型表現)の知識を用いると、虚数単位が行列で表される。実際、

J = \begin{pmatrix}
 0 & -1 \\
 1 &  0
\end{pmatrix}

と定義される行列 J は、J2 = −EE は 2 次単位行列)という性質を持つ。これは、虚数単位 i の左からの積が引き起こす複素数体 C一次変換を、表現空間 C を2次元実ベクトル空間 R2 と見て行列表現することによって得られる。

四元数についても同様に、四元数体 H における積を C2 に対して引き起こされる一次変換と見なすことにより


J_1 = i \sigma_3 = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix},\quad
J_2 = i \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\quad
J_3 = i \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}

という三つの虚数単位の行列表現を考えることができる。また、C2 と見なすのでなく R4 と見なせば、4 次の正方行列として表現することもできる。詳しくは四元数の項を参照されたい。

行列の積は結合的であるので、八元数や十六元数では(結合法則を満たさないため)このような表示はできない。

虚数単位の演算[編集]

n は整数とする。

虚数単位の累乗[編集]

i^n =
\begin{cases}
1, & \mbox{if }n\equiv0\pmod4\\
i, & \mbox{if }n\equiv1\pmod4\\
-1, & \mbox{if }n\equiv2\pmod4\\
-i, & \mbox{if }n\equiv3\pmod4
\end{cases}

虚数単位の虚数単位乗[編集]

i^i = e^{-\left(\frac{1}{2}+2n\right)\pi} [1]

1の虚数単位乗[編集]

1^i = e^{-2n\pi} [2]

変数の虚数単位乗[編集]

 \!\ x^{ni} = \cos(\ln x^n) + i \sin(\ln x^n ).

虚数単位の自然対数[編集]

\log i = \left(\frac{1}{2}+2n\right)\pi i [3]

底が虚数単位の変数[編集]

 \log_i(x) = {{2 \ln x } \over i\pi}.

変数の虚数単位累乗根[編集]

 \!\ \sqrt[ni]{x} = \cos(\ln \sqrt[n]{x} ) - i \sin(\ln \sqrt[n]{x} ).

脚注[編集]

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  1. ^ ポール・J・ナーイン 『虚数の話』 pp. 270–271、青土社、2008年
  2. ^ 表実 『理工系の数学入門コース5 複素関数』 p. 115、岩波書店、1988年
  3. ^ 岸正倫・藤本担孝 『複素関数論』 p. 45、学術図書出版社、1980年

参考文献[編集]

  • ポール・J・ナーイン 『虚数の話』 青土社、2008年

関連項目[編集]