主値

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複素解析において、関数値として複数の複素数を取る多価関数を考えるとき、関数の主値とはその関数の分枝 (en) から取られる値のことである。多価関数の値を主値に限定することで、一価の関数となる。

必要性[編集]

複素数の対数関数 log z は、一つの複素数 z を以下を満たす複素数 w に移す写像である。

するとたとえば、 の値を計算しようとすると、以下の方程式を満たす解として w を探すことになる。

オイラーの公式から、 が一つの解であることは明らかである。しかし、解はそれだけではない。

関数の引数とした点 ガウス平面上での位置を考えると、解が複数あることが分かる。 から反時計回りに ラジアンだけ回転した点が になるが、ここからさらに 回転すると、また になる。したがって の値であると考えることができ、また だけでなく、その整数倍を加えたものはすべて、この関数の値と考えることができる。

しかし実数関数の場合と比較すると、これには違和感がある。つまり の値は一意に定まらない、と言うことである。log z は、k を任意の整数として

と書ける。k の値は分岐点 (en) として知られている、多価関数が一価になる点を決めることになる。

ここで k=0 に相当する分枝を主枝 (principal branch, en)、この主枝において関数が取る値を主値と呼ぶ。

一般化[編集]

一般に f(z) が多価関数の時、f の主値を

と書き表す。これは、f の定義域内の複素数 z について一価の関数となる。

主な関数の主値[編集]

複素数を取る初等関数は、定義域内で領域によっては多価となる。主値を取るのが簡単な形の関数に分解することで、その主値を決めることができる場合がある。

対数関数[編集]

対数関数の例は上述したが、その形は

である。ここで が多価である。この偏角の取るうる範囲を に限定すれば、その偏角における関数の値を主値として取ることができる。このときの (範囲の限定された) 偏角を、大文字を使って と書く。関数の定義に の代わりに を使うことで、対数関数が一価になり、

と書くことができるようになる。

指数関数[編集]

を複素数 () とするときの指数 について考えるとき、一般には zαeα log z として定義する。ここで Log ではなく log を使うと、eα log z は多価関数となる。Log を使えば以下の形で zα の主値を得ることができる。

平方根[編集]

複素数 平方根の主値は以下のようになる。

ここで偏角 の範囲である。

複素数の偏角[編集]

atanatan2 の比較(横軸の目盛は正しい??)

ラジアンで表される複素数の偏角の主値は、以下のどちらかで定義されることが多い。

逆正接関数をプロットすれば、これらの値を見ることができる。

  • atan2 : ( の範囲、en)
  • atan : ( の範囲、en)

関連項目[編集]