主値

複素解析において、関数値として複数の複素数を取る多価関数を考えるとき、関数の主値（しゅち、英: principal value）とはその関数の分枝から取られる値のことである。多価関数の値を主値に限定することで、一価の関数となる。

必要性[編集]

複素対数関数 log z は、一つの複素数 z を以下を満たす複素数 w に移す関数である。

e^{w}=z\,\!

例えば、 $\log i$ の値を計算しようとすると、以下の方程式を満たす解として w を求めることになる。

e^{w}=i\,\!

オイラーの公式から、 $i\pi /2$ が一つの解であることは明らかであるが、解はそれだけでない。

関数の引数とした点 $(0,i)$ の複素平面上での位置を考えると、解が複数あることが分かる。 $(1,0)$ から反時計回りに $\pi /2$ ラジアンだけ回転した点が $(0,i)$ になるが、ここからさらに $2\pi$ 回転すると、また $(0,i)$ になる。したがって $i(\pi /2+2\pi )$ も $\log i$ の値であると考えることができ、また $2\pi$ だけでなく、その整数倍を加えたものはすべて、この関数の値と考えることができる。

しかし実数関数の場合と比較すると、これには違和感がある。つまり $\log i$ の値は一意に定まらない、ということである。log z は、k を任意の整数として

\log {z}=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {arg} \ z+2\pi k\right)

と書ける。k の値は分岐点として知られ、多価関数が一価になる点を決めることになる。

ここで k = 0 に相当する分枝を主枝（英語版）、この主枝において関数が取る値を主値と呼ぶ。

一般化[編集]

一般に f(z) が多価関数のとき、f の主値を

\mathrm {pv} \ f(z)

と書き表す。これは、f の定義域内の複素数 z について一価の関数となる。

主な関数の主値[編集]

複素数を取る初等関数は、定義域内で領域によっては多価となる。主値を取るのが簡単な形の関数に分解することで、その主値を決めることができる場合がある。

対数関数[編集]

対数関数の例は上述したが、その形は

\log {z}=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {arg} \ z\right)

である。ここで $\mathrm {arg} \ z$ が多価である。この偏角の取りうる範囲を $-\pi <\mathrm {arg} \ z\leq \pi$ に限定すれば、その偏角における関数の値を主値として取ることができる。このときの（範囲の限定された）偏角を、大文字を使って $\mathrm {Arg} \ z$ と書く。関数の定義に $\mathrm {arg} \ z$ の代わりに $\mathrm {Arg} \ z$ を使うことで、対数関数が一価になり、

\mathrm {pv} \ \log {z}=\mathrm {Log} \ z=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {Arg} \ z\right).

と書くことができるようになる。

指数関数[編集]

$\alpha$ を複素数（ $\alpha \in \mathbb {C}$ ）とするときの指数 $z^{\alpha }\,$ について考えるとき、一般には z^α を e^{α log z} として定義する。ここで Log でなく log を使うと、e^{α log z} は多価関数となる。Log を使えば以下の形で z^α の主値を取ることができる。