−1

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-2 −1 0
二進法 -1
六進法 -1
八進法 -1
十二進法 -1
十六進法 -1
二十進法 -1
漢数字 マイナス一
大字 マイナス壱
算木 Counting rod v-1.png

−1(マイナスいち)は、最大の負の整数であり、整数を小さい順に並べたとき、−2 の次で 0 の前である(0 からマイナス無限大へ数えれば、最初の負の数で、0 の次で −2 の前である)。

−1 に関すること[編集]

  • −1 は最大の負の整数であり、絶対値が最小の負の整数である。
  • −1整数環単数である(単数は2つありもう1つは 1)。またガウス整数環の単数でもある(単数は4つあり他の3つは 1, ±i)。
  • −1 をかけると反数になる。つまり、a × (−1) = −a となる。このような場合 a × −1 とは書かないのが一般的である(−1 × a という形はよい)。
  • −1 を2乗すると 1になる。これは 0 = −1 ⋅ 0 = −1 ⋅ (−1 + 1) であり、これを分配法則にしたがって展開すると
と示される。よって −11平方根のうちのひとつである。一般に −1偶数乗すると 1 になる: (−1)2n = 1. よって −1 は全ての n > 0 に対し 12n 乗根のひとつである。
  • −1 の平方根のうち一つを虚数単位と呼び i と書く。−1 の平方根は ii の二つである。i2 = (−i )2 = −1.
  • 単位円周上で θ = π radとして表すこともできる。
  • 自然数の −1 乗の総和は収束せず、正の無限大発散する(→調和級数)。
  • 1/(−1) = −1. 負の整数の逆数が整数になるのは 1/−1 のときのみである。逆数が自分自身である整数(または実数)は −11 のみ。
  • (−1)−1 = −1. x が負の数のとき xx が整数になるのは x = −1 のときのみ。
  • 逆数を x−1 で表す。例えば 3 の逆数は 1/3 = 3−1 となる。一般に xx−1 = x−1x = 1 であり、(x−1)−1 = x である。
  • 逆関数f−1(x) で表す。例えば y = cos x の逆関数は x = cos yy = cos−1 x となる。一般に f(f−1(x)) = f−1(f(x)) = x であり、((f −1)−1(x)) = f(x) である。
  • 逆行列A−1 で表す。一般に AA−1 = A−1A = I であり、(A −1)−1 = A である。
  • 座標平面上で直交する2本の直線の傾きを掛け合わせると −1 になる。
  • kn − 1 = (k − 1)(kn−1 + kn−2 + … + k2 + k + 1)因数分解できる(k, n は整数で k, n ≥ 2)。k ≥ 3 のとき kn − 1k − 1約数にもつ合成数である。したがって k = 2 のときのみ kn − 1素数になる可能性がある(→メルセンヌ素数)。
  • 異なる n 個のものを円形に配置する並べ方は (n − 1)! 通りである(円順列)。
  • (−1)!! = 1. −1二重階乗1 である。
  • 三角関数において、0 ≤ x < 2π のとき、sin xx = 3π/2 のとき最小値 −1 をとり、cos xx = π のとき最小値 −1 をとる。
  • x−1原始関数
C積分定数)となる。
  • xn (n ≥ 1)x微分すると
となる。
  • 1 でない正の実数 r の累乗数 rk (k = 0, 1, ..., n) の和は
となる。
  • e = −1. オイラーの公式と呼ばれるもので e + 1 = 0 とも書かれる。数学で最も基本的な定数である、ネイピア数 e, 虚数単位 i, 円周率 π, 1, 0 がこのような単純な関係式で表現できるのは非常に興味深く、この式に美しさを感じるという数学者も少なくない。

その他 −1 に関すること[編集]

関連項目[編集]