ネイピア数

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関数 y = axx = 0 における微分係数1(赤線)になるのは a = e(青線)のときである(破線は a = 2, 4 のとき)。

ネイピア数(ネイピアすう、: Napier's constant)は数学定数の一つであり、自然対数の底である。記号として通常は e が用いられる。その値は

e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 …

と続く超越数である。ネピアの定数、ネピア数とも呼ばれる。欧米ではオイラー数 (Euler's number) と呼ばれることもあるが、オイラーの定数 γオイラー数列とは異なる。オイラーに因んで名づけられた物事の一覧#オイラー数英語版も参照。

なお、コンピュータにおける指数表記では、e 又は E がネイピア数ではなく、常用対数の底である10を示すので注意が必要である[1]

歴史[編集]

ネイピア数に関する最も古い研究は、1618年ジョン・ネイピアによって発表された対数の研究の付録に収録されていた表である。その表自体はウィリアム・アウトレッドによって書かれたとされているが、そこで実際に記述されていたのは自然対数のいくつかの値だけで、対数の底自体は含まれていなかった。

初めてネイピア数そのものを見い出したのはヤコブ・ベルヌーイだとされていて、

を求めようとした。これは e に等しくなる。

この数に初めて定数記号を割り当てたのはゴットフリート・ライプニッツだとされている。1690年と1691年のクリスティアーン・ホイヘンス宛ての手紙の中で、記号 b を用いた。レオンハルト・オイラーは、1727年からこの数を表すのに記号 e を使い始め、オイラーによる1736年の『力学』がネイピア数を e で表した最初の出版物となった[2]。その後しばらくは c によってこの数を表す流儀もあったが、やがて e が標準的な記号として受け入れられるようになった。

オイラーは、指数関数 ax

を満たすとき a = e であることや、1/x の積分として定義された自然対数の底でもあることを示した。したがって、一般には e自然対数の底と呼ぶことが多い。

定義[編集]

オイラーによる定義
e
を満たすような実数 a、つまり
をネイピア数の定義とした。
収束数列による定義
以下の式の右辺は、ヤコブ・ベルヌーイによって、利子の連続複利の計算との関連で言及されたものである。
元金1を年利1、付利期間を1/n 年で1年預金すれば、1/n 年ごとに利子1/n で元利合計が増えていき、1年経つと右辺の式になる。n → +∞ とした極限は連続複利の元利合計となる。
オイラーは、導関数が元の関数と等しい指数関数の底が、この式の右辺によって求まることを示した。ここで n自然数だが、n実数として変動させた場合も上の式は同じ値に収束する。
ln e = 1
微分積分学の基本的な関数を使った定義
exp x指数関数、ln x自然対数であり、互いに逆関数になっている。指数関数や自然対数をネイピア数 e により定義する場合、これらの式によりネイピア数を定義することは、循環定義となってしまう。そのためにネイピア数 e を用いない指数関数・対数関数の定義として以下に示すようなものがある。

定義に用いられる諸公式[編集]

グラフ y = 1/x の 1 ≤ xe における領域の面積は 1 になる。

ネイピア数を定義するために用いられる指数関数や対数関数の性質・公式を挙げる。これらの式と e = exp 1 などを組み合わせることによって、ネイピア数が定義できる。

  • これは関数 テイラー展開したものである。
  • という常微分方程式の初期値問題の解 y(x) によって exp x = y(x) が定義される。

性質[編集]

n → -∞ とした極限は、

一般に、任意の実数 x に対して、

特に、x=-1 の場合、

が成り立つ。

底が e指数関数 ex導関数不定積分

C は積分定数)

となる。また、底が e対数関数 loge x (ln x あるいは(紛らわしくない場合)log x と書くことが多い)の導関数は

となる。したがってまた

である。

e は無理数である(ネイピア数の無理性の証明、オイラー、1744年)だけでなく超越数でもある(シャルル・エルミート、1873年)。

指数関数の解析接続によって一般の複素数を指数とした e冪乗 ez が定義されるが、特に純虚数を指数とする冪はオイラーの公式として知られる関係式

を満たす。この式の特別な場合として x = ππ円周率)を代入して得られるオイラーの等式

はネイピアの数を含む5つの基本的な数学定数e, i, π, 0, 1の間の、直観的には全く明らかではない関係を記述するものである。

ネイピア数は以下の規則的な連分数展開を持つ:

e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, ...]

特に 11/4 = 2.75, 19/7 = 2.714…, … などは e の近似値である。

表記[編集]

ネイピア数 e立体斜体とのどちらで表記するかは、国や分野によって異なる。国際標準化機構[3]日本工業規格[4]日本物理学会[5]などは、e のような定数は立体で表記することを定めている。

例:

しかし、数学の分野では、斜体の一つであるイタリック体で表記されることが多い。

例:

ただし、フランスでは数学の書籍でも立体での表記が比較的多く見つかる。

[編集]

小数点以下1000桁までの値を示す。

e = 2.

71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 61332 06981 12509 96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 72085 10383 75051 01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 …

脚注[編集]

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  1. ^ JIS X0210-1986 情報交換用文字列による数値表現
  2. ^ エイドリアン 2008, p. 85
  3. ^ ISO 80000-2:2009 Quantities and units −- Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology、国際標準化機構、2009年。
  4. ^ JIS Z 8201(数学記号)、日本工業規格、1981。
  5. ^ 日本物理学会誌投稿規定日本物理学会、2002年。

参考文献[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]