リンデマンの定理

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リンデマンの定理(リンデマンのていり、Lindemann's theorem)は、1882年フェルディナント・フォン・リンデマン証明した、超越数論における定理の一つである。この定理は、円周率ネイピア数などの数が超越数であることを内包する。1885年カール・ワイエルシュトラスによる寄与を踏まえ、リンデマン=ワイエルシュトラスの定理 (Lindemann–Weierstrass theorem) とも呼ばれる。

定理の主張[編集]

α1, …, αn が相異なる代数的数であるとき、eα1, …, eαnQ一次独立である[1]eネイピア数)。すなわち、

c_1 e^{\alpha_1} +\cdots +c_n e^{\alpha_n} =0

を満たす代数的数の組 (c1, …, cn) は (0, …, 0) のみである。

同値命題として、次のように定式化されることもある。α1, …, αnQ 上一次独立な代数的数であるとき、eα1, …, eαnQ代数的独立である[2]

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定理において、n = 2, α1 = 0, α2 = α ≠ 0 とすると、1 と eαQ 上一次独立である。すなわち、0 でない代数的数 α に対して eα は超越数である。

特別な数の超越性[編集]

この定理より、いくつかの特別な数が超越数であることが直ちに従う。まず、系において α = 1 とすると、ネイピア数 e は超越数であることが分かる。

円周率 π が超越数であることは、次のようにして従う。π が代数的数であると仮定すると、iπ も代数的数であるから、系より eiπ は超越数である。しかるに、オイラーの公式より eiπ = −1 であるから、これは矛盾である。したがって、π は超越数である。

0 でも 1 でもない代数的数 β に対して、log β は超越数である。これを見るために、log β が代数的数と仮定する。系において α = log β とすると、elog β = β は超越数となるが、これは仮定に反する。

0 でない代数的数 θ に対して、sin θ は超越数である。もしそうでなければ、γ := 2i sin θ は代数的数であり、オイラーの公式より 2i sin θ = ee であるから、γe + e = 0 となる。これは、定理において n = 3, α1 = 0, α2 = , α3 = − として得られる結果に矛盾する。よって、sin θ は超越数である。同様にして、\cos \theta =\frac{e^{i\theta} +e^{-i\theta}}{2} も超越数であることが分かる。

歴史[編集]

1873年シャルル・エルミートe が超越数であることを示した。このことを言い換えるならば、α1, …, αn が相異なる自然数であるとき、eα1, …, eαnQ 上一次独立である。リンデマンの定理は、この結果の「自然数」を「代数的数」に、「Q 上」を「Q 上」に 拡張したものである。リンデマンは、1882年にこの定理を証明し、同時に円周率が超越数であること、円の正方形化が不可能であることを歴史上初めて明らかにした。1885年カール・ワイエルシュトラスは、リンデマンの定理の証明を簡単にしたものを公表した。その後、ヒルベルトらがさらに証明を簡単にした。リンデマンの定理の p-進類似や、一般化であってゲルフォント=シュナイダーの定理も含むシャヌエルの予想は、2009年現在未解決問題である。

脚注[編集]

  1. ^ 塩川 p. 64、定理10
  2. ^ 塩川 p. 64、定理10.1

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • 塩川宇賢 『無理数と超越数』 森北出版、1999年3月。ISBN 4-627-06091-2
  • Beckmann, Petr (1976). History of Pi (3rd edition ed.). St. Martin's Press. ISBN 0312381859.  - 超越性については主に第16章。
    • ペートル・ベックマン 『πの歴史』 田尾陽一・清水韶光訳、筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉、2006年4月。ISBN 4-480-08985-3

外部リンク[編集]