ネイピア数の表現

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  数学記事シリーズ
数学定数 e

Euler's formula.svg

自然対数 · 指数関数

応用: 複利オイラーの等式 · オイラーの公式 · 半減期 · 指数増加/減衰

e の定義: e の無理性 · e の表現 · リンデマン=ワイエルシュトラスの定理

人物 ネイピア · オイラー

シャヌエルの予想 (en)

ネイピア数の表現 (ねいぴあすうのひょうげん, 英語: representation of Napier's constant) とは、数学でのネイピア数の様々な表現を集積した一覧である。重要な数学定数であるネイピア数 e、すなわち自然対数実数として様々な方法で表現が可能である。e無理数であるため(ネイピア数の無理性の証明)通常の分数では表現できないが、無限連分数によれば表現可能である。さらに解析学的手法を用いることにより、e級数無限乗積、あるいはある種の数列極限として表現することが可能である。

定義[編集]

ここではまずネイピア数 e の定義を与える。本項において e の定義と e の表現には明確な差はないが、歴史的に e の利用目的・存在理由としての意義付けが明確なものを定義として扱っている。

I. ヤコブ・ベルヌーイによるとされる e の定義:

e=\lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n
ベルヌーイは複利計算の過程でこの式の重要性を見い出したとされている。

II. 微分積分学的な定義:

e=a,   s.t.   \frac{d}{dx} a^x = a^x\,
x を指数部に持つ指数関数において x による微分がその関数自身となる、という e の性質は微分積分学での最も基本的なものの一つである。

連分数による表現[編集]

e は様々な無限連分数で表現できる。超越数であるので循環節は持たないが、ある種の規則性が観察される。

  • I. e は単純な正則連分数で表現可能である[1]:
e =[2;1,\textbf{2} ,1,1,\textbf{4},1,1,\textbf{6},1,1,\textbf{8} ,1,1,\ldots,\textbf{2n} ,1,1,\ldots]
=2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{4+\ddots}}}}}
  • II. 一般連分数による表現
e=2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+\cfrac{3}{4+\cfrac{4}{5+\ddots}}}}}
  • III. (II) から連分数等価変換により得られる連分数
e=2+\cfrac{2}{2+\cfrac{3}{3+\cfrac{4}{4+\cfrac{5}{5+\cfrac{6}{6+\ddots\,}}}}}
  • IV. (II) から変換して得られるが、… 6, 10, 14, … という項を含み、収束が早い。
e=1+\cfrac{2}{1+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{14+\cfrac{1}{18+\ddots\,}}}}}
  • V. この例は e指数関数のうち特殊なケースである。
e^\frac{2x}{y} = 1+\cfrac{2x}{(y-x)+\cfrac{x^2}{3y+\cfrac{x^2}{5y+\cfrac{x^2}{7y+\cfrac{x^2}{9y+\ddots\,}}}}}

級数による表現[編集]

ネイピア数 e は次のような級数で表される。

無限乗積による表現[編集]

ネイピア数 e はいくつかの無限乗積の形式で表現できる。

  • I. Pippengerの積:
e=2\left( \frac{2}{1} \right)^{1/2} \left( \frac{2}{3} \; \frac{4}{3} \right)^{1/4} \left( \frac{4}{5} \; \frac{6}{5} \; \frac{6}{7} \; \frac{8}{7} \right)^{1/8} \cdots
e=\left( \frac{2}{1} \right)^{1/1} \left( \frac{2^2}{1\cdot 3} \right)^{1/2} \left( \frac{2^3 \cdot 4}{1\cdot 3^3} \right)^{1/3} 
\left( \frac{2^4 \cdot 4^4}{1\cdot 3^6 \cdot 5} \right)^{1/4}\cdots ,
ここに n 番目の要素は次の積 の n 番目の根である。
\prod_{k=0}^n (k+1)^{(-1)^{k+1} {n \choose k}}
  • III. 無限乗積:
e=\frac{2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^2} \cdots}{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^3}\cdots}.

数列の極限による表現[編集]

ネイピア数 e はいくつかの無限数列極限として表現できる。

e=\lim_{n\to \infty} n\cdot \left( \frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \right)^{1/n}
  • II. スターリングの公式その2
e=\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}
  • III. 上述の e の基本的な極限による定義から得られる対称形の極限[6] [7]
e=\lim_{n\to \infty} \left[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} -\frac{n^n}{(n-1)^{n-1}} \right]
  • IV. 別の極限による例[8]
e=\lim_{n\to \infty}(p_n \#)^{1/p_n}
ここで p_nn 番目の素数p_n \#p_n素数階乗
  • V. 極限による指数関数の一般形式
e^x =\lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{x}{n} \right)^n

脚注[編集]

  1. ^ オンライン整数列大辞典の数列 A003417
  2. ^ Brown, Stan (2006年8月27日). “It’s the Law Too — the Laws of Logarithms”. Oak Road Systems. 2008年8月14日閲覧。
  3. ^ Formulas 2-7: H. J. Brothers, Improving the convergence of Newton's series approximation for e. The College Mathematics Journal, Vol. 35, No. 1, 2004; pages 34-39.
  4. ^ J. Sondow, A faster product for pi and a new integral for ln pi/2, Amer. Math. Monthly 112 (2005) 729-734.
  5. ^ J. Guillera and J. Sondow, Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent,Ramanujan Journal 16 (2008), 247-270.
  6. ^ H. J. Brothers and J. A. Knox, New closed-form approximations to the Logarithmic Constant e. The Mathematical Intelligencer, Vol. 20, No. 4, 1998; pages 25-29.
  7. ^ Khattri, Sanjay, From Lobatto Quadrature to the Euler constant e, http://ans.hsh.no/home/skk/Publications/Lobatto/PRIMUS_KHATTRI.pdf
  8. ^ S. M. Ruiz 1997