素数階乗

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階乗(黄色)と素数階乗(赤)の値の推移

素数階乗(そすうかいじょう)は n# という記号で表される演算もしくは自然数 n関数であり、2 以上 n 以下の素数総乗をとったものである(ただし n ≧ 2)。例えば 10 以下の素数は 7, 5, 3, 2 であるので、10# = 7 × 5 × 3 × 2 = 210 である。また n 番目の素数 pn の素数階乗を pn# で表す。例:3 番目の素数は 5 であるので、p3# = 5# = 5 × 3 × 2 = 30

数学的性質[編集]

  • 5# 以上の素数階乗数は全て一の位が 0 であり、十の位は 1, 3, 7, 9 のいずれかに限られる。
5# = 30 以上の数に、7 以上の素数(一の位に 5 を含まない奇数)を掛けても、十の位が 5 や偶数になることはない。
  • 素数は無限にあるかという命題を証明するのに素数階乗が使われることがある。
略解例:最大の素数の存在を仮定し、それを pmax とおくと pmax# + 1 は pmax 以下の約数をもたない。したがって pmax# + 1 は pmax より大きな整数で素因数分解されることになるが、これは pmax を最大の素数とした仮定に反するので最大の素数は存在しない。
このように背理法を用いて最大の素数の存在を否定する方法は紀元前から知られていた。
以下は、簡単に説明するために便宜的に13を最大の素数とした例
pmax = 13
pmax# + 1 = 13# + 1 = 30031 = 59 × 509
上記のように 13# + 1 (= pmax# + 1) は 59 と 509 で素因数分解されるが、59 も 509 も 13 (= pmax) 以下の数ではなく、13 (= pmax) を最大の素数とした仮定に反する。

最初の20個の素数階乗数 pn#[編集]

p1# = 2# = 2
p2# =3# = 6
p3# = 5# = 30
p4# = 7# = 210
p5# = 11# = 2310
p6# = 13# = 30030
p7# = 17# = 510510
p8# = 19# = 9699690
p9# = 23# = 223092870
p10# = 29# = 6469693230
p11# = 31# = 200560490130
p12# = 37# = 7420738134810
p13# = 41# = 304250263527210
p14# = 43# = 13082761331670030
p15# = 47# = 614889782588491410
p16# = 53# = 32589158477190044730
p17# = 59# = 1922760350154212639070
p18# = 61# = 117288381359406970983270
p19# = 67# = 7858321551080267055879090
p20# = 71# = 557940830126698960967415390

関連項目[編集]