総乗

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総乗(そうじょう)とは、の定義される集合における多項演算の一つで、元の列の全ての積のことである。

定義[編集]

結合律を満たす積 × の定義される集合 M の元の列 a1, a2, …, an の総乗を

などと表す。記号 ギリシャ文字パイ (Pi) であり、これは積 (Product) の頭文字 P に相当する文字である。

有限集合 E に対し、E濃度n とする。このとき、E の元を I = {1, 2, …, n} で添え字付けて、E の元の全体を I を添え字集合とする元の列 (xi)iI と思うことができる。この列の総乗を

などのように表す。ここで、E の濃度が 0、すなわち、添え字集合 I が空集合であってもよい。特に、集合 M が積 × に関する単位元 1M を持つとき、空集合を添え字集合とする列(空な列)の総乗は 1M であるとする。(空積も参照)

積が非結合的な場合[編集]

積が結合的でないならば、積をとる順番が問題になるので、a1 × a2 × … × an という記号自体が意味を持たないが、たとえば、部分列を用いて以下のように帰納的に定義することは可能である。

  • p1 = a1,
  • pk+1 = pk × ak+1

このとき、pn = k=1n ak と書くことにすると、

の意味になる。このようなものはあまり応用がない。

無限乗積[編集]

総和と同様に、可算無限列 (xn)nN の総乗

を定義することができ、無限積とか無限乗積 (infinite product) と呼ばれる。これらは極限操作であり、総和より微妙な意味で収束性を吟味しなければならない。

定義[編集]

実数複素数からなる可算列 (xn)nN の無限乗積を定義する。無限乗積 収束するとは2条件

  • ある番号 m から先では常に xn ≠ 0 (n > m)[1]
  • 部分積 pn := xm+1xn (n > m) がゼロでない値 Pmn → ∞ の極限で収束する

が成り立つことをいう[2]。無限乗積 が収束するとき、その値を

と定める。この値は番号 m の取り方に依存しない。無限乗積が収束するならば、limn→∞ xn = 1 が成り立つ[3]

また数列 (xn)nN に対して無限乗積 が収束するとき、無限乗積 絶対収束するという[4]。無限乗積 が絶対収束するのは無限級数 絶対収束するとき、かつそのときに限る[5]

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三角関数の無限乗積展開

ウォリス積

オイラー乗積

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  1. ^ つまり、有限個の例外を除いて数列の値はゼロでない。
  2. ^ Konrad 1956, p. 93, Definition 3.7.1.
  3. ^ Konrad 1956, p. 93, Theorem 3.7.2.
  4. ^ Konrad 1956, p. 96.
  5. ^ Konrad 1956, p. 96, Theorem 3.7.6.

参考文献[編集]

関連項目[編集]