qポッホハマー記号

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数学において、qポッホハマー記号(q-Pochhammer symbol)はqアナログの数式に頻出する乗積を略記する記号である[1]

\begin{align}
&(a;q)_\infty=\prod_{k=0}^{\infty}(1-aq^k)\\
&(a;q)_n=\frac{(a;q)_\infty}{(aq^n;q)_\infty}\\
\end{align}

|q|<1の仮定が普通であり、実用上、n整数であることが多い。nが整数である場合は

(a;q)_n=\begin{cases}
\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(1-aq^k)&n>0\\
1&n=0\\
\displaystyle\prod_{k=n}^{-1}\frac{1}{(1-aq^k)}&n<0\\
\end{cases}

となる。m,nが整数であり、a=q^{-m}であるとき、0{\le}m<nであれば(q^{-m};q)_n=0であり、n{\le}m<0であれば(q^{-m};q)_nである。

更なる略記[編集]

基底(base)が文字qである場合は省略することがある。

\begin{align}
&(a)_n=(a;q)_n\\
&(q)_n=(q;q)_n\\
\end{align}

複数のqポッホハマー記号が並ぶときは合成することがある。

\begin{align}
&(a,b,c)_n=(a,b,c;q)_n=(a;q)_n(b;q)_n(c;q)_n\\
\end{align}

変換式[編集]

以下の変換式が成立する。

\begin{align}(aq^{-n+1};q)_n
&=\prod_{k=0}^{n-1}(1-aq^{-n+1+k})\\
&=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{q^{n-1-k}}{a}\right)\\
&=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{q^{k}}{a}\right)\qquad(n-1-k{\mapsto}n)\\
&=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\left(\dfrac{1}{a};q\right)_n\\
\end{align}

qブラケット[編集]

qブラケット(q-bracket)は整数、実数、複素数などのqアナログを表す記号である[2]

[n]=[n]_q=\frac{1-q^n}{1-q}=\sum_{n-1}^{k=0}q^k

q階乗[編集]

q階乗(q-factorial)は階乗のqアナログである[3]。(分母は普通の冪乗であることを為念)

[n]_q!=\prod_{k=1}^{n}[k]_q=\frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}

q二項係数[編集]

q二項係数(q-binomial coefficient)は二項係数のqアナログである[4]

\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q=\frac{[n]_q!}{[n-k]_q![k]_q!}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_{n-k}(q;q)_k}

出典[編集]

  1. ^ Wolfram Mathworld: q-Pochhammer Symbol
  2. ^ Wolfram Mathworld: q-Bracket
  3. ^ Wolfram Mathworld: q-Factorial
  4. ^ Wolfram Mathworld: q-Binomial Coefficient