因数定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動先: 案内検索

初等代数学における因数定理(いんすうていり、: factor theorem)は、多項式の因数英語版多項式の根を結びつける定理である。因数定理は剰余の定理の特別の場合になっている。[1]

定理 (Ruffini[要検証 ])
多項式 f(X)一次式 Xk を因子に持つ必要十分条件f(k) = 0 となること、すなわち k が多項式 f(X) の根となることである[2]

応用[編集]

多項式の因数分解[編集]

因数定理が一般的に応用されるのは「多項式を因数分解すること」および「多項式の根を求めること」の二つの問題であり、また因数定理の直接の帰結として、この二つの問題が本質的に等価な問題であることがわかる。

また、因数定理は多項式の既知の根を、未知の根には一切触らずに、取り除くことにも利用できる。それにより対象となる多項式の次数は下がるため、根をより求めやすくなる可能性がでてくる。指針としては以下のようなことである[3]:

  1. 多項式 f の根 a を「推測する」。(一般にはこれは「非常に困難」。だが、例えば有理根定理などを利用したりして、根が容易に発見できるような多項式もある)
  2. 因数定理によって xaf の因子である。
  3. (xa)g(x) = f(x) となる多項式 g を、実際に f(x)xa による割り算を(多項式の長除法英語版でも組立除法英語版でも何でもいいので)実行して求める。
  4. 結論として、a と異なる f の任意の根が g の根である。g次数f より一つ下がるから、g を調べることにより残りの根を求める問題がその分だけ「簡単化」される。

多変数多項式の因数定理[編集]

fn 個の変数 X1, X2, …, Xn の多項式、gX1 以外の n − 1 個の変数 X2, …, Xn の多項式とする。

定理
f(X1, X2, …, Xn)X1g(X2, …, Xn) を因子に持つための必要十分条件は、f(g(X2, …, Xn), X2, …, Xn) = 0 となることである。

これは f, gX1 の多項式と見れば gX1 に関して定数であるから、一変数の場合の因数定理から従う。[4] 注目する変数を変えれば、各変数について同様の主張が成り立つ。

例えば fヴァンデルモンドの行列式

とするとき f(X2, X2, …, Xn) = 0 が明らかに成り立つから、g(X2, …, Xn) := X2 として因数定理を適用すれば、fX1X2 で割り切れるとわかる。同様の議論により、この f が差積 Δ(X1, X2, …, Xn) で割り切れることも言える。

[編集]

例えば f(x) = x3 + 4x2 + 3x − 2 とすると、f(−2) = 0 が成立するから f(x) は x − (−2) で割り切れる。実際

f(x) = (x + 2)(x2 + 2x − 1)

のように因数分解できる。

[編集]

  1. ^ Sullivan, Michael (1996), Algebra and Trigonometry, Prentice Hall, p. 381, ISBN 0-13-370149-2 .
  2. ^ Sehgal, V K; Gupta, Sonal, Longman ICSE Mathematics Class 10, Dorling Kindersley (India), p. 119, ISBN 978-81-317-2816-1 .
  3. ^ Bansal, R. K., Comprehensive Mathematics IX, Laxmi Publications, p. 142, ISBN 81-7008-629-9 .
  4. ^ 世界大百科事典『剰余定理』 - コトバンク

外部リンク[編集]