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この記事は検証可能 な参考文献や出典 が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加 して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方 ） 出典検索? "ヴァンデルモンドの行列式" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL （2022年3月
線型代数学 において、ヴァンデルモンドの行列式 （ヴァンデルモンドのぎょうれつしき、英 : Vandermonde's determinant ）とは、ある特殊な形をした正方行列 の行列式 である。名称は18世紀 のフランス の数学者 であるアレクサンドル＝テオフィル・ヴァンデルモンド （フランス語版 、英語版 ） ファン (前置詞) も参照。
各行が初項1の等比数列である正方行列
V
:=
[
1
x
1
x
1
2
⋯
x
1
n
−
1
1
x
2
x
2
2
⋯
x
2
n
−
1
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
1
x
n
x
n
2
⋯
x
n
n
−
1
]
{\displaystyle V:={\begin{bmatrix}1&x_{1}&{x_{1}}^{2}&\cdots &{x_{1}}^{n-1}\\1&x_{2}&{x_{2}}^{2}&\cdots &{x_{2}}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&{x_{n}}^{2}&\cdots &{x_{n}}^{n-1}\end{bmatrix}}}
をヴァンデルモンド行列 （英 : Vandermonde matrix ）といい、その行列式をヴァンデルモンドの行列式 という。テキストによっては、上記の転置行列
[
1
1
⋯
1
x
1
x
2
⋯
x
n
x
1
2
x
2
2
⋯
x
n
2
⋮
⋮
⋱
⋮
x
1
n
−
1
x
2
n
−
1
⋯
x
n
n
−
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\\{x_{1}}^{2}&{x_{2}}^{2}&\cdots &{x_{n}}^{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{x_{1}}^{n-1}&{x_{2}}^{n-1}&\cdots &{x_{n}}^{n-1}\end{bmatrix}}}
で定義している場合もあるが、行列式は転置をとっても変わらないので、行列式としては全く同じものである。
ヴァンデルモンドの行列式は、各行の公比 の差積 に等しい。具体的には、上記の行列 V に対して
det
V
=
∏
1
≤
i
<
j
≤
n
(
x
j
−
x
i
)
=
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
/
2
∏
1
≤
i
<
j
≤
n
(
x
i
−
x
j
)
{\displaystyle \det V=\textstyle \prod \limits _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})=(-1)^{n(n-1)/2}\prod \limits _{1\leq i<j\leq n}(x_{i}-x_{j})}
が成り立つ。n = 2, 3
|
1
x
1
1
x
2
|
=
x
2
−
x
1
,
{\displaystyle {\begin{vmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\end{vmatrix}}=x_{2}-x_{1},}
|
1
x
1
x
1
2
1
x
2
x
2
2
1
x
3
x
3
2
|
=
(
x
3
−
x
1
)
(
x
3
−
x
2
)
(
x
2
−
x
1
)
{\displaystyle {\begin{vmatrix}1&x_{1}&{x_{1}}^{2}\\1&x_{2}&{x_{2}}^{2}\\1&x_{3}&{x_{3}}^{2}\end{vmatrix}}=(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})(x_{2}-x_{1})}
である。公式より直ちに分かることとして、x 1 , …, xn 0 ではない。
公式の証明 [ 編集 ] この公式は、n に関する数学的帰納法 で示すこともできるし、行列式の性質を用いたうまい証明の仕方もある。実際、行列式の交代性（行を入れ替えると行列式は −1 倍になる）と因数定理 によって、det V は xj − xi
ヴァンデルモンドの行列式は、数学のいろいろな場面で現れる。最も古典的なのは、多項式の決定に関することである。x 1 , …, xn
f
(
x
1
)
=
y
1
,
f
(
x
2
)
=
y
2
,
⋯
,
f
(
x
n
)
=
y
n
{\displaystyle f(x_{1})=y_{1},\,f(x_{2})=y_{2},\cdots ,f(x_{n})=y_{n}}
を満たす n − 1f (x )
f
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
n
−
1
x
n
−
1
{\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{n-1}}
とおくと、上記の条件から、係数 a 0 , …, a n −1
[
1
x
1
x
1
2
⋯
x
1
n
−
1
1
x
2
x
2
2
⋯
x
2
n
−
1
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
1
x
n
x
n
2
⋯
x
n
n
−
1
]
[
a
0
a
1
⋮
a
n
−
1
]
=
[
y
1
y
2
⋮
y
n
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x_{1}&{x_{1}}^{2}&\cdots &{x_{1}}^{n-1}\\1&x_{2}&{x_{2}}^{2}&\cdots &{x_{2}}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&{x_{n}}^{2}&\cdots &{x_{n}}^{n-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}}
を満たす。この連立一次方程式 の係数行列がヴァンデルモンド行列に他ならず、x 1 , …, xn 0 ではないので、これは逆行列 を持つ。よって、係数 a 0 , …, a n −1f (x )
参考文献 [ 編集 ] 関連項目 [ 編集 ] 外部リンク [ 編集 ] 
