終結式

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数学において、2つの多項式終結式(しゅうけつしき、: resultant)はそれらの係数を不定元とする整係数多項式であり、これが 0 になることと多項式が(係数体の適当な拡大体において)共通を持つことが同値である、あるいは同じことだが、(多項式の係数体上)共通因子を持つことと同値である。古い文献では eliminant消去式)と呼ばれることもある[1]

終結式は数論において、直接あるいは判別式を通して、広く用いられる。判別式は本質的に多項式とその微分の終結式である。有理係数あるいは多項式係数の2つの多項式の終結式はコンピュータで効率的に計算できる。それは 計算機代数英語版 の基本的なツールであり、たいていの数式処理システムの組み込み関数である。それはとりわけ、柱形代数分解英語版 (CAD), 有理関数の逆微分、二変数多項式方程式によって定義された曲線の描画、に対して使われる。

定義[編集]

R単位的可換環とし、fg を次数それぞれ mnR 係数多項式とする:

.

これら 2 つの多項式の終結式 Res(fg) は、シルヴェスター行列と呼ばれる次の m + n 次正方行列の行列式である:

行列の上の n 行は f の係数、下の m 行は g の係数からなり、空白部分はすべて 0 である。

性質[編集]

k 上の2つの一変数多項式 f, g に対して、終結式 Res(fg) は fg の係数の多項式関数である。k代数閉包において

と因数分解されたとすると、

となる

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ Salmon 1885, lesson VIII, p. 66.

参考文献[編集]

  • Gelfand, I. M.; Kapranov, M.M.; Zelevinsky, A.V. (1994), Discriminants, resultants, and multidimensional determinants, Boston: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3660-9 
  • MacAulay, F. S. (1902), “Some Formulæ in Elimination”, Proc. London Math. Soc. 35: 3–27, doi:10.1112/plms/s1-35.1.3 
  • Salmon, George (1885) [1859], Lessons introductory to the modern higher algebra (4th ed.), Dublin, Hodges, Figgis, and Co., ISBN 978-0-8284-0150-0, http://archive.org/details/salmonalgebra00salmrich 
  • Siegfried Bosch: Algebra. 7., überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-540-92811-9, doi:10.1007/978-3-540-92812-6.

外部リンク[編集]