行列式

数学における行列式（ぎょうれつしき、英: determinant）とは、正方行列に対して定義される量で、歴史的には、連立一次方程式の解の存在や一意性を判定する指標として、また方程式からの変数消去（終結式）の計算の中で、行列そのものの導入に先立って現れたものである。成分が可換環の元である正方行列に対して定義され、幾何的には、有限次元の線型空間、またはより一般の有限生成自由加群上の自己準同型（線型変換）が、向きを込めた体積を何倍に拡大するかを表す量として解釈できる。行列式は、行列の可逆性（正則性）の判定に用いられるほか、固有多項式、ヤコビアン、クラメルの公式など、線型代数学や解析学の基本的な概念の多くと関わっている。正方行列 $A$ の行列式は、 $det(A)$ あるいは $| A |$ と表記される。

概要

$X$ を実2次正方行列

X={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}

とするとき、これは

{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}ax+by\\cx+dy\end{bmatrix}}

という平面上の線型変換を定めている。一方で、2つの平面ベクトル $u = (u 0, u 1)$ , $v = (v 0, v 1)$ に対して、これらが張る平行四辺形の「向きも込めた」面積は

A(u,v)=u_{0}v_{1}-u_{1}v_{0}

により指定されると考えることができる。このとき $A (Xu, Xv) = (ad - bc) A (u, v)$ が成り立っているが、これは $X$ の定める線型変換によって平面内の図形の面積が $(ad - bc)$ 倍される、と解釈できる。

したがって、実2次正方行列 $X$ に対して（上の記号の下で） $det X ≔ ad - bc$ を対応させると、 $det(XY) = (det X)(det Y)$ であることや、 $det X > 0$ であるとき $X$ の定める変換は図形の向きを保ち、反対に $det X < 0$ であるとき図形の向きは反転させられることが分かる。 $det$ の乗法性から $X$ が可逆ならば $det X$ は逆数を持つ数であることが従うが、反対に $X$ が退化した行列（つまり $X$ の定める変換の像が一次元の部分空間）になる場合にはすべての図形の変換後の面積が $0$ になることから $det X = 0$ となることがいえる。こうして、正方行列 $X$ が正則であることと $X$ の行列式が可逆であることは同値であることが分かる。

3次正方行列 $X$ が定める線型変換は、空間内の図形（例えば単位立方体）を平行六面体に写す。このとき、 $X$ の行列式 $\det X$ は、その平行六面体の符号付き体積（元の単位立方体から向きが変わっていれば負）に等しい。概要の図に示されるベクトル $r_{1},r_{2},r_{3}$ を列ベクトルとする行列の行列式（の絶対値）が、それらの張る平行六面体の体積である。

同様にして一般の次数の $n$ 次正方行列 $X$ に対し、 $X$ の定める線型変換が超立体（ $n$ 次図形）の超体積を何倍にしているかという符号付き拡大率を $X$ の行列式として定義することができる。これは行列の成分を変数とする多項式の形で書け、二次の場合と同様にこれは正則性など正方行列の重要な性質に対する指標を与えている。一次方程式系が与えられるとき、方程式の係数行列に対してその行列式の値を調べることにより、方程式系の解の存在や一意性についての情報が得られる。特に、係数行列が正方行列で行列式が 0 でないとき、線型方程式系はただ一つの解を持ち、その解はクラメルの公式により行列式の比として表示される。

定義

行列式の定義には、いくつかの流儀がある。歴史的には、連立一次方程式の解の公式（クラメルの公式）の一部として現れた（後述）が、現代的には、置換を用いた明示的な定義（ライプニッツの公式）、または n-重線型交代形式による公理的な定義が一般的である。

複線型交代形式による特徴づけ

$K$ を体（より一般には可換環）とし、 $K$ の元を成分とする $n$ 次正方行列 $A$ の第 $j$ 列ベクトルを ${\boldsymbol {a}}_{j}$ とし、 $A=({\boldsymbol {a}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {a}}_{n})$ と表す。このとき、行列式 $\det(A)$ は、これらの列ベクトルを変数とする写像 $D:K^{n}\times \cdots \times K^{n}\to K$ として、以下の3つの性質（公理）によって一意に特徴づけられる。

多重線型性（ $n$ -重線型性）: 各列ベクトルに関して線型である。
$D(\dots ,c{\boldsymbol {a}}_{i}+d{\boldsymbol {b}}_{i},\dots )=cD(\dots ,{\boldsymbol {a}}_{i},\dots )+dD(\dots ,{\boldsymbol {b}}_{i},\dots )$
交代性: 2つの列ベクトルが等しいならば、値は 0 である。
$D(\dots ,{\boldsymbol {a}},\dots ,{\boldsymbol {a}},\dots )=0$

（この性質と多重線型性から、2つの列ベクトルを入れ替えると符号が反転することが導かれる。実際、 $D(\dots ,{\boldsymbol {a}}+{\boldsymbol {b}},\dots ,{\boldsymbol {a}}+{\boldsymbol {b}},\dots )=0$ を展開すればよい。逆に、符号の反転から 2 列が等しい場合の値が 0 であることを導くには、体の標数が 2 でないことが必要である。）
正規性: 単位行列 $E$ の行列式は 1 である。
$D(E)=1$

これらの性質を満たす写像 $D$ はただ一つ存在し、それを $\det$ と書く。行列 $A$ の転置行列 $A^{T}$ の行列式は $A$ の行列式と等しい（ $\det(A)=\det(A^{T})$ ）ため、これらの性質は列ベクトルではなく行ベクトルについて考えても同様に成り立つ。

明示的な定義

→詳細は「行列式に対するライプニッツの明示公式」を参照

$n$ 次正方行列 $A$ の $i$ 行 $j$ 列成分を $a i,j$ で表すと、 $A$ の行列式は、次の式で定義される：

\det A=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}{\biggl \{}(\operatorname {sgn} \sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\,\sigma (i)}{\biggr \}}

ここで、

{\mathfrak {S}}_{n}

は

n

次対称群（

{1, \dots, n}

の自己同型群）

sgn

は置換の符号

を表す。

$n$ 次正方行列の行列式は $n$ 次の斉次多項式で、項を $n!$ 個持つ（ライプニッツの公式）。

正方行列 $A$ の行列式は、 $| A |$ あるいは $det(A)$ と表記される。行列の成分を明示する場合は

\left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|

を単に

{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}

と書く。

抽象的な定義

$A$ を可換環とし、 $E$ を $A$ 上の階数 $n$ の自由加群とする。 $E$ の基底 $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ を固定するとき、 $E$ の $n$ -次外冪 $\bigwedge ^{n}E$ は生成元 $e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}$ によって張られる $A$ 上の階数1の自由加群である。

$E$ 上の $A$ 線型写像 $\phi \colon E\to E$ に対し、外冪の普遍性により $\bigwedge ^{n}\phi \colon \bigwedge ^{n}E\to \bigwedge ^{n}E$ が一意に誘導され、この写像は生成元に対して $\bigwedge ^{n}\phi (e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n})=\phi (e_{1})\wedge \cdots \wedge \phi (e_{n})$ と作用する。

$\bigwedge ^{n}E$ が階数1の自由加群であることから、 $\bigwedge ^{n}\phi$ は $A$ の元によるスカラー倍写像と一致する。すなわち、ある $a\in A$ が一意に存在して $\bigwedge ^{n}\phi (e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n})=a\cdot (e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n})$ を満たす。この $a$ を $\phi$ の行列式と呼び、 $\det \phi$ と表記する。

二つの定義の同値性

$K n$ の標準基底を $(e 1, \dots, e n)$ とする。正方行列 $X$ を表す列ベクトルを $v 1, \dots, v n$ とすると、 $v j = Xe j$ である。

({\textstyle \bigwedge ^{n}}X)(e_{1}\wedge \dotsb \wedge e_{n})=v_{1}\wedge \dotsb \wedge v_{n}

であるが、ここで

v_{1}\wedge \dotsb \wedge v_{n}={\biggl (}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )v_{\sigma (1)}^{1}v_{\sigma (2)}^{2}\dotsm v_{\sigma (n)}^{n}{\biggr )}e_{1}\wedge \dotsb \wedge e_{n}

である（ただし、 $v i$ の第 $j$ 成分を $v j i$ と表した）。これは $K n$ 上 $⋀ n X$ が ( $det X$ )-倍写像として作用していることを示しており、抽象的な定義による行列式が明示的な定義による行列式に一致することがわかる。

また、多重線型交代形式による特徴づけとの同値性は、列ベクトルを標準基底で展開し、交代性を用いて整理することで得られる。すなわち、前節の性質を満たす写像 $D$ に対して

D(A)=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{j=1}^{n}a_{\sigma (j),j}\,D(E)=\det(A)

が成り立つ。

歴史

行列式の概念は、行列そのものが導入された19世紀よりも前に、連立一次方程式や代数方程式の変数消去の研究の中で現れている。数係数の連立一次方程式を係数の表の形に並べて処理する方法や、現在ガウス（・ジョルダン）の消去法に相当する算法は、古代中国の『九章算術』の「方程」章に見られる。ヨーロッパでは、16世紀のジェロラモ・カルダノにその萌芽が見られる。

行列式に関する最初期の計算

楊輝（中国、13世紀）は、『九章算術』の注解書『詳解九章算法』（1261年）で、数字係数の連立一次方程式を算木で配列した表に対する消去法（方程術）を扱っている。また1545年にジェロラモ・カルダノは、著書 Ars Magna の中で同じく $2\times2$ の場合のクラメルの公式を与えている。この公式は regula de modo（ラテン語で「様態に関する規則」の意味）と呼ばれている。これらは「行列式」を定義したものではないが、その概念の萌芽と見なされることがある。

高階の行列に関する行列式

高階の行列式に相当する式は、17世紀後半に、ドイツのライプニッツと、日本の和算家の関孝和、田中由真らによって、互いに独立に与えられた。

関孝和ら和算家による発見

関孝和は『解伏題之法』（1683年）で行列式について述べている。本手稿のテーマは多変数の高次方程式から変数を消去して一変数の方程式に帰着することで、変数消去の一般的方法、つまり終結式の理論を提示している。本手稿では3次と4次に関しては終結式として正しい行列式の表示を与えている。5次については関の（「交式」と呼ばれる）算法を適用すると常に 0 になる表示が得られるが、これが単純な誤りなのか、あるいは終結式の計算手法上の意図的な結果なのかについては、数学史家の間でも見解が分かれている。また、次節で述べるように、関西で活躍していた田中由真や井関知辰らの研究も同様の問題を考えており、類似の結果にたどり着いている。

これらの研究では、いずれも行列式は終結式を表すための手段にすぎず、行列式そのものを意味のある対象として捉えていたかについては異論がある。実際、それをあらわす用語すら提案されていない。また、日本が鎖国によって外界から遮断されていたこともあり、西洋数学に影響を与えることはなかった。

ライプニッツによる行列式の発見

同じ時期にライプニッツは数多くの線型方程式系を研究していたが、その頃は行列記法がまだなかったので、彼は未知数の係数を、現在のような $a i,j$ のかわりに $ij$ のように添字の対によって表現していた。1678年に彼は3つの未知数に関する3つの方程式に興味を抱き、列に関する行列式の展開式を与えている。同じ年に彼は4次の行列式についても（符号の間違いを別にすれば）正しい式を与えている。ライプニッツはこの成果を生前に公刊しなかったため、後にマクローリンやクラメルらによって再発見されるまで、広く知られることはなかった。

一般的な行列式

『大成算経』は、関孝和の指導のもとで建部賢明、建部賢弘、建部賢雄の兄弟らが編纂した数学書（執筆は1683年〈天和3年〉 - 1710年〈宝永7年〉頃）であり、その中に、第一列についての余因子展開を一般の場合について正しく与えた記述がある。また、田中由真は『算学紛解』（1690年（元禄3年）ごろ）で 5次までの行列式を、井関知辰は『算法発揮』（1690年（元禄3年）刊）で第一行についての余因子展開を一般の場合で与えている。ちなみに関や田中の著作は写本のみであるが、井関の著作は出版がなされている。

ヨーロッパでは、連立一次方程式の解法と、代数方程式の変数消去の双方の研究の中で、行列式の理論が発展した。1748年にマクローリンの（死後に刊行された）代数学の著作において4つの未知数に関する4つの方程式の系の解が正しい形で述べられ、行列式の研究が再開されることになった。1750年にクラメルは（証明抜きで） $n$ 個の変数に関する $n$ 個の方程式からなる方程式の解を求める規則を定式化した。この規則では、行列式の各項の符号が順列の符号によって定まる。

ベズー（1764年）やファンデルモント（1771年、ヴァンデルモンドの行列式の計算）などがそれに続き、1772年にはラプラスによって余因子展開の公式が確立された。さらに翌年にはラグランジュによって行列式と体積との関係が発見されている。

今日の determinant（決定するもの）に当たる言葉が初めて現れたのはガウスによる1801年の Disquisitiones Arithmeticae である。そこで彼は二次形式の判別式（今日的な意味での行列式の特別な例と見なせる）を用いている。ガウスはさらに、行列式に相当するものと積の関係についても、ほぼ結論に近い結果を得ていた。

現代的な行列式の概念の確立

現代的な意味での行列式という用語はコーシーによって初めて導入された^[1]。彼はそれまでに得られていた知識を統合し、1812年には積と行列式の関係を発表している（同じ年にビネも独立に証明をあたえていた）。コーシーは平行して準同型の簡約化についての基礎付けの研究も行っている。

1841年に「クレレ誌」で発表されたヤコビの3本の著作によって行列式の概念の重要性が確立された。ヤコビによって初めて行列式の計算の系統的なアルゴリズムが与えられ、またヤコビアンの概念によって写像の行列式も同様に考察できるようになった。行列の枠組みはケイリーとシルベスターによって導入された。ちなみにケイリーは逆行列の公式を確立させており、行列式の記号として縦棒を導入したのも彼である^[1]。

行列式の理論は様々な対称性を持つような行列についての行列式の研究や、線型微分方程式系のロンスキー行列式など数学の様々な分野に新たに行列式を持ち込むことが追究されている。

行列式の計算例

2次対称群 ${\mathfrak {S}}_{2}$ は恒等置換 $id (id(1) = 1, id(2) = 2)$ と互換 $σ = (1, 2)（ σ (1) = 2, σ (2) = 1)$ の 2 つの置換からなるので

{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}

{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}

となる（第 1 項が $id$ , 第 2 項が $(1, 2)$ に対応する項である）。

2 次あるいは 3 次の正方行列については、左上から右下へ向かう方向に「 $+$ 」、右上から左下へ向かう方向に「 $-$ 」の符号を付けて積を取りそれらの和を取ると行列式が求められる。これを「サラスの方法」または「サラス展開」、「たすきがけの法」と言う。 $n$ 次正方行列に対して、サラスの方法で取り出せる項の数は高々 $2 n$ であり、4次以上では行列式の総項数 $n!$ に比べて少ないため、4次以上の正方行列に対してこの方法をそのまま適用しても行列式は得られない。

三角行列の行列式は、主対角成分の総乗をとることで求まる。三角行列の主対角成分には固有値が並ぶから、行列式の値は固有値の総乗である。このことは、基底の取替えによる行列の三角化可能性と行列式の乗法性によって、一般の正方行列に対しても正しい。つまり、与えられた行列の行列式の値は、その行列の固有値の総乗に等しい。

$n$ が大きい場合、ライプニッツの公式や余因子展開を直接用いると、演算量が $n!$ に比例して増加し実用的でない。実際の計算では、行に関する基本変形（掃き出し法）により行列を三角行列に変形し、主対角成分の積をとる方法が用いられる。行の入れ替えでは符号が反転し、ある行の定数倍を他の行に加えても値は変わらないことに注意すると、この方法の演算量は $O (n 3)$ である。

発展的な話題

小行列式

→詳細は「小行列式」を参照

正方行列とは限らない一般の行列 $A ≔ (a ij)$ に対して、その行と列からそれぞれ $k$ 個選び、それらに属する成分からなる正方行列の行列式を考えることができる：

{\begin{vmatrix}a_{i_{1}j_{1}}&a_{i_{1}j_{2}}&\cdots &a_{i_{1}j_{k}}\\a_{i_{2}j_{1}}&a_{i_{2}j_{2}}&\cdots &a_{i_{2}j_{k}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{k}j_{1}}&a_{i_{k}j_{2}}&\cdots &a_{i_{k}j_{k}}\end{vmatrix}}

これを $A$ から作られる小行列式（しょうぎょうれつしき、minor determinant）という。行列に対して、 $0$ でない小行列式の最大次数は行列の階数に一致する。特に、同じ番号の行と列を選んで

{\begin{vmatrix}a_{i_{1}i_{1}}&a_{i_{1}i_{2}}&\cdots &a_{i_{1}i_{k}}\\a_{i_{2}i_{1}}&a_{i_{2}i_{2}}&\cdots &a_{i_{2}i_{k}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{k}i_{1}}&a_{i_{k}i_{2}}&\cdots &a_{i_{k}i_{k}}\end{vmatrix}}

の形に書かれる（対角線上にある）小行列式を主小行列式（しゅしょうぎょうれつしき、principal minor）と呼ぶ。

余因子展開

→詳細は「余因子展開」を参照

$n$ 次正方行列 $A ≔ (a ij)$ に対して、第 $i$ 行と第 $j$ 列を除いてできる $n - 1$ 次の小行列式に $(- 1) i + j$ を乗じた

\Delta _{ij}=(-1)^{i+j}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i-1,1}&\cdots &a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\cdots &a_{i-1,n}\\a_{i+1,1}&\cdots &a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\cdots &a_{i+1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}

を $(i, j)$ 余因子（よいんし、英: cofactor）という。（係数 $(- 1) i + j$ を含まない形で定義する場合もある。）

列（あるいは行）に関する線型性から、正方行列の行列式は、ある列（あるいはある行）の変数に関して斉 1 次である。 $A$ の行列式は $j$ 列に関して

\det(A)=\Delta _{1j}a_{1j}+\Delta _{2j}a_{2j}+\dotsb +\Delta _{nj}a_{nj}

と展開される。また同様に $i$ 行に関して

\det(A)=\Delta _{i1}a_{i1}+\Delta _{i2}a_{i2}+\dotsb +\Delta _{in}a_{in}

と展開される。（余因子の定め方によっては展開の符号が変わる。）

余因子は次数が 1 少ない行列式であるから、展開を繰り返すことで元の行列の行列式を小さなサイズの行列式の計算に帰着させることができる。基本変形に対する行列式の性質をうまく組み合わせると展開の効率を高めることができる。

余因子行列と逆行列

$n$ 次正方行列 $A ≔ (a ij)$ に対し、 $(i, j)$ 余因子を $(j, i)$ 成分に持つ行列

{\tilde {A}}:={\begin{bmatrix}\Delta _{11}&\Delta _{21}&\cdots &\Delta _{n1}\\\Delta _{12}&\Delta _{22}&\cdots &\Delta _{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\Delta _{1n}&\Delta _{2n}&\cdots &\Delta _{nn}\end{bmatrix}}

を $A$ の余因子行列という。余因子行列については、余因子展開と、同じ行（または列）を2つもつ行列の行列式が 0 であることを用いると

{\tilde {A}}A=A{\tilde {A}}=\det(A)E_{n}

となることが確かめられる。ただし、 $E n$ は $n$ 次単位行列である。またここから、 $A$ の行列式 $det(A)$ が $0$ でない場合には

{\frac {1}{\det(A)}}{\tilde {A}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\Delta _{11}}{\det(A)}}&{\dfrac {\Delta _{21}}{\det(A)}}&\cdots &{\dfrac {\Delta _{n1}}{\det(A)}}\\{\dfrac {\Delta _{12}}{\det(A)}}&{\dfrac {\Delta _{22}}{\det(A)}}&\cdots &{\dfrac {\Delta _{n2}}{\det(A)}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\Delta _{1n}}{\det(A)}}&{\dfrac {\Delta _{2n}}{\det(A)}}&\cdots &{\dfrac {\Delta _{nn}}{\det(A)}}\end{bmatrix}}

は $A$ の逆行列 $A - 1$ に一致する。これを余因子行列による逆行列の公式という。この公式から、連立一次方程式 $A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}$ の解が $x_{i}={\dfrac {\det A_{i}}{\det A}}$ （ $A i$ は $A$ の第 $i$ 列を $b$ で置き換えた行列）で与えられるというクラメルの公式が導かれる。

なお、余因子行列としてここでの余因子行列の転置行列、すなわち $(i, j)$ 余因子を $(i, j)$ 成分に持つ行列を採用する流儀もあるので、単に「余因子行列」といったときにはどちらの流儀であるか注意が必要である。

行列式の性質

行列式の基本的な性質として以下が成り立つ。

\det(E)=1

^[2]

\det(AB)=\det(A)\det(B)

^[3]

\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}

^[4]

\det(A^{T})=\det(A)

^[5]

\det({\overline {A}})={\overline {\det(A)}}

転置の性質: ある行列の転置行列の行列式の値はもとの行列式の値と変わらない。

行列式の行または列の入れ替えの性質: 行列式の2つの行(または列)を入れ替えると、行列式の値は符号だけ変わる。

定数倍の性質: 行列式の1つの行(または列)の各要素に一定の数cをかけた行列式の値は、もとの行列式の値のc倍になる。

同じ行があるときの性質: 行列式の2つの行(または列)が行列式の一致する行列式なら、その行列式の値は0になる。

行列式の和の性質: 行列式の1つの行(または列)の各要素が2つの数の和であるならば、その行(または列)を一方の数のみで置き換えた行列と、他方のみで置き換えた行列式との和になる。

行列式の計算則: 行列式の1つの行(または列)の各要素に一定の数cをかけて他の行(または列)に加えても、行列式の値は変わらない。

行列の積の行列式: n次の正方行列A,Bに関して|AB|=|A||B|が成り立つ。

複線型交代形式

→詳細は「重線型交代形式」を参照

→「重線型形式」も参照

$n$ 次行列に関する行列式は列に関して $n$ 重交代線型性をもつ^[6]。つまり、行列を $(a 1, a 2, \dots, a n)$ のように列ベクトルの組の形に書くことにすれば

{\begin{aligned}\left|\dotsc ,({\boldsymbol {a}}_{i}+{\boldsymbol {a}}'_{i}),\dotsc \right|&=\left|\dotsc ,{\boldsymbol {a}}_{i},\dotsc \right|+\left|\dotsc ,{\boldsymbol {a}}'_{i},\dotsc \right|,\\\left|\dotsc ,\lambda {\boldsymbol {a}}_{i},\dotsc \right|&=\lambda \cdot \left|\dotsc ,{\boldsymbol {a}}_{i},\dotsc \right|,\\\left|\dotsc ,{\boldsymbol {a}}_{i},\dotsc ,{\boldsymbol {a}}_{j},\dotsc \right|&=-\left|\dotsc ,{\boldsymbol {a}}_{j},\dotsc ,{\boldsymbol {a}}_{i},\dotsc \right|\end{aligned}}

が成り立っている。例えば、線型性によって

{\begin{vmatrix}\lambda a_{11}+\mu a_{11}'&a_{12}&a_{13}\\\lambda a_{21}+\mu a_{21}'&a_{22}&a_{23}\\\lambda a_{31}+\mu a_{31}'&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}\,=\,\lambda \,{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}\,{}+{}\,\mu \,{\begin{vmatrix}a_{11}'&a_{12}&a_{13}\\a_{21}'&a_{22}&a_{23}\\a_{31}'&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}

が成立しており、さらに交代性によって

{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}\,=\,-\,{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{11}&a_{13}\\a_{22}&a_{21}&a_{23}\\a_{32}&a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}

も成り立っている。特に、どれか二つの列が全く同一の成分を持つような行列の行列式は 0 である^[7]。

$A$ の行列式と、 $A$ の転置行列の行列式は等しい^[5]。これによって、行列式が列に関してある性質を持てば、行に関しても同様の性質を持つことが分かる。つまり、上記の性質は全て行に対するものにも書き直せる。

二つの行列の積の行列式は、それぞれの行列式の積に等しい： $A, B$ を $n$ 次正方行列とするとき、 $| A | \cdot | B | = | AB |$ である。これより特に行列式が基底の取り替えによって不変であることが従う。

固有値との関係

複素数体上の $n$ 次正方行列 $A$ の固有値を、重複度を込めて $λ 1, \dots, λ n$ と置くと、

\det(A)=\prod _{k=1}^{n}\lambda _{k}

となる。このことは、 $A$ が適当な正則行列 $P$ により上三角化でき、その対角成分に固有値が並ぶこと、すなわち

P^{-1}AP={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&&&&*\\&\lambda _{2}&&&\\&&\ddots &&\\&&&\lambda _{n-1}&\\&&&&\lambda _{n}\end{bmatrix}}

の両辺の $det$ を取ることで得られる。

特異値との関係

正方行列 $A$ の特異値を $σ i (A)$ ( $i = 1, \dots, n$ ) と置くと、

{\bigl |}\det(A){\bigr |}=\prod _{k=1}^{n}\sigma _{k}(A)

となる。このことは、特異値分解 $A = U Σ V$ （ $U, V$ はユニタリ行列、Σ は特異値を対角成分とする対角行列）を用い、ユニタリ行列の行列式の絶対値が 1 であることから示される。

証明 — ${\begin{aligned}{\bigl |}\det(A){\bigr |}&={\bigl |}\det(U\Sigma V){\bigr |}\\&={\bigl |}\det(U)\det(\Sigma )\det(V){\bigr |}\\&={\bigl |}\det(\Sigma ){\bigr |}\\&=\prod _{k}\Sigma _{kk}\\&=\prod _{k}\sigma _{k}(A)\end{aligned}}$ 　(対角行列Σの対角成分は非負)

正方行列 $A n$ に関して行列式と固有値および特異値の間には次の関係が成り立つ。

{\bigl |}\det(A_{n}){\bigr |}=\prod _{k=1}^{n}{\bigl |}\lambda _{k}(A_{n}){\bigr |}=\prod _{k=1}^{n}\sigma _{k}(A_{n})

跡との関係

正方行列の跡 (trace) とは、対角成分の総和である。それは固有値の総和に一致する。そのため、固有値の積である行列式とは指数関数 (exponential) を介してつながっている。行列に対する指数関数は

\exp(A)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}

と書けるが、 $A$ の固有値 $λ i$ とそれに属する固有ベクトル $x i$ に対して、

{\begin{aligned}{\boldsymbol {x}}_{i}\exp(A)&={\boldsymbol {x}}_{i}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}\\&={\boldsymbol {x}}_{i}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda _{i}^{k}}{k!}}\\&={\boldsymbol {x}}_{i}\exp(\lambda _{i})\end{aligned}}

となることより、 $exp(A)$ は固有値 $exp(λ i)$ とその固有ベクトル $x i$ を持つことが分かる。よって、関係式

\det \exp(A)=\exp \operatorname {tr} (A)