多項定理

数学における多項定理（たこうていり、英: multinomial theorem）は二項定理における二項式を多項式に対して一般化するもので、多項和 (multinomial) の冪を和の各項からなる積和へ展開する方法を記述するものである。

定理の主張[編集]

任意の正整数 $m$ と任意の非負整数 $n$ に対して、多項公式 (multinomial formula) は $m$ -項和の任意の $n$ -冪が

(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\dotsb x_{m}^{k_{m}}

と展開されることを示すものである。ただし、係数

{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}

は多項係数である。また、和は非負整数値をとる添字列 $k 1, k 2, \dots, k m$ でそれらの総和が $k 1 + k 2 + \dots + k m = n$ を満たすものすべてに亘って取る。従って、展開された式の各項は全次数（各変数 $x i$ の冪指数 $k i$ の総和）が $n$ でなければならない。また二項定理の場合と同様、 $x 0$ の形の量が現れたときは（ $x$ が零のときも含めて恒等的に） $1$ に等しいものと理解しなければならない。

$m = 2$ のとき、主張は二項定理に帰着される。

多重添字記法を用いると、定理の主張は

(x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{|\alpha |=n}{n \choose \alpha }x^{\alpha }

と短く書ける。ここに、 $α = (α 1, α 2, \dots, α m), x = (x 1, x 2, \dots, x m)$ であって, $x α = x α 11 x α 22 \cdot \dots \cdot x α m m$ および $|α| = α 1 + α 2 + \dots + α m, α! = α 1! α 2! \cdot \dots \cdot α m!$ に対して $(nα) = .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}n!⁄α! = |α|⁄α!$ である。例えば、 $(a+b+c)^{3}$ を展開してみる。 $(a+b+c)^{3}=(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)=a^{3}+3a^{2}+3ab^{2}+6abc+3ac^{2}+b^{3}+3bc^{2}+c^{3}$ と展開できる。