多項分布

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多項分布(たこうぶんぷ、: multinomial distribution)は、確率論において二項分布を一般化した確率分布である。

二項分布は、n 個の独立なベルヌーイ試行の「成功」の数の確率分布であり、各試行の「成功」確率は同じである。多項分布では、各試行の結果は固定の有限個(k個)の値をとり、それぞれの値をとる確率は p1, ..., pk(すなわち、i = 1, ..., k について pi ≥ 0 であり、 が成り立つ)であり、n 回の独立した試行が行われる。確率変数 n回の試行で i という数が出る回数を示す。np をパラメータとする多項分布に従う。

確率質量関数[編集]

多項分布の確率質量関数は次の通りである。

ここで、 は負でない整数である。

属性[編集]

期待値は次の通り。

共分散行列は次の通りである。対角線上のエントリは二項分布確率変数の分散であるから、次のようになる。

対角線以外のエントリは共分散であり、次のようになる。

ここで、ij は異なる値である。

共分散は全体として負となる。なぜなら、N が固定であるとき多項ベクトルで1つが増加すると他が減少するためである。

これは、k × k の非負値定符号行列であり、行列の階数k − 1 である。

対応する相関行列の対角線以外のエントリは以下のようになる。

この表現では標本サイズ n が出現しない点に注意されたい。

k個の要素それぞれは npii番目の要素に対応する確率)をパラメータとする二項分布となる。

多項分布のサポートは集合 である。その要素数は である(重複組合せ)。

関連する分布[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]