指数分布

指数分布
	確率密度関数;
	累積分布関数;
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特性関数
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指数分布（しすうぶんぷ、英: exponential distribution）とは、確率論および統計学における連続確率分布の一種である。これは例えばポアソン過程——事象が連続して独立に一定の発生率で起こる過程——に従う事象の時間間隔を記述する。

定義

指数分布は台 $(0, \infty)$ を持ち、母数 $λ > 0$ に対して確率密度関数が

f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x}

で与えられる^[1]。このとき、累積分布関数は

F(x;\lambda )=1-e^{-\lambda x}

となる^[2]。

尺度母数 $θ = 1/ λ$ を用いると、確率密度関数の等価な定義は

f(x;\theta )={\frac {1}{\theta }}f(x/\theta ;1)={\frac {1}{\theta }}e^{-x/\theta }

として与えられる。

性質

期待値・分散

定義より、期待値 $E (x)$ および分散 $V (x)$ はそれぞれ以下のようになる^[3]。

E(x)={\frac {1}{\lambda }}=\theta ,\ \ \ V(x)={\frac {1}{\lambda ^{2}}}=\theta ^{2}

他の分布との関係

形状母数（英語版）が 1 であるガンマ分布は指数分布である。

独立で同一の指数分布に従う確率変数の和はアーラン分布に従う。アーラン分布の形状母数を 1 とすると指数分布に自明に一致する。

また、自由度2のカイ二乗分布は $θ = 2$ の指数分布と一致する。ワイブル分布における係数 $m = 1$ とおいた特殊な場合でもある。

無記憶性

指数分布は、幾何分布と同様に無記憶性 (memoryless) と呼ばれる性質を持つ。これは、確率変数 $X$ が

\forall s,t>0,\ \ P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)

なる等式を満たすことをいう。すなわち、時刻 $s$ までに事象が生起しなかったという情報が与えられたとき、その事象がさらに $t$ 時間の間生起しない条件付き確率は、（時刻 $s$ まで事象が生起しなかったという情報が完全に忘れ去られ、改めてその時点から観測を始めて） $t$ 時間の間事象が生起しない確率に一致するという意味である。

上述した累積分布関数の定義より、指数分布に従う確率変数がこの性質を満たすことは容易に示される^[4]。逆に、この性質を満たす連続確率分布が指数分布のみであることも証明されている^[5]。

事象

ランダムに発生する事象の発生間隔の分布

下記にその例を示す。

コールセンターへの電話の着信間隔
放射性物質の崩壊間隔
機械の故障間隔
銀行窓口の来客間隔

発生間隔の分布ではない指数分布に近似する現象

何らかの数量がその担体の間で絶え間なく交換されると最大エントロピー原理によって指数分布が出現すると説明される^[6]。

ボルツマン分布（気体分子が取り得るエネルギー分布）。
測高公式（高度が上がると気圧は指数関数的に減少する）。
富の交換のモデル（英語版）。
一般社会における抑うつスコアの分布^[7]。日米欧の大規模疫学調査のデータにおいて確認された^[8]^[9]。

パラメータ推定

この節では、確率変数 X が未知なるパラメータλの指数分布に従うとし、 $\{x\}=x_{1},\ldots ,x_{n}$ が X のn個の独立なサンプルであるとする。また、

{\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}

とする。今、パラメータλを $x_{1},\ldots ,x_{n}$ を用いて推定することを考える。

最尤推定

λの最尤推定は、以下の尤度を最大化するλとして与えられる:

L(\{x\}|\lambda )=\prod _{i=1}^{n}\lambda \exp(-\lambda x_{i})=\lambda ^{n}\exp(-n\lambda {\bar {x}})

したがって、λの最尤推定として

{\hat {\lambda }}_{\mathrm {mle} }={\frac {1}{\bar {x}}}

が得られる。ただし、これは不偏推定量ではない。実際、 ${\hat {\lambda }}_{\mathrm {mle} }$ の期待値は $n>1$ の場合に

\operatorname {E} \left[{\hat {\lambda }}_{\mathrm {mle} }\right]={\frac {n}{n-1}}\lambda

と計算され、 $\lambda$ に一致しない。一方、 ${\bar {x}}$ は $\theta$ の最尤推定量^[10]かつ不偏推定量^[11] である。

フィッシャー情報量

フィッシャー情報量は

{\mathcal {I}}(\lambda )=\left\langle \left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\ln \left(f(x;\lambda )\right)\right)^{2}\right\rangle ={\frac {1}{\lambda ^{2}}}

と計算される。

共役分布を用いたベイズ推定

$X$ が指数分布に従うモデルで $\lambda$ を推定する場合、 $\lambda$ の事前分布としてガンマ分布を利用すると、これは共役事前分布（英語版）となる。すなわち、 $\lambda$ の事後分布もガンマ分布となる。

実際、事前分布を

p(\lambda )=\operatorname {Gamma} (\lambda ;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\lambda ^{\alpha -1}\exp(-\beta \lambda )

としておくと、事後分布は

p(\lambda |\{x\})\propto p(\lambda )L(\{x\}|\lambda )\propto \left(\lambda ^{\alpha -1}\exp(-\beta \lambda )\right)\left(\lambda ^{n}\exp(-n\lambda {\bar {x}})\right)

を満たすため、

p(\lambda |\{x\})=\operatorname {Gamma} (\lambda ;\alpha +n,\beta +n{\bar {x}})

がわかる。この場合、ハイパーパラメータはそれぞれ $\alpha$ が事前の観測数、 $\beta$ が事前の観測値の和として解釈される。

生成

逆関数法を用いて指数分布に従う確率変数を生成することができる。一様乱数 $U(0,1)$ で、 $x\sim \mathrm {Exp} (\lambda )$ は以下の式で得られる:

x=-{\frac {1}{\lambda }}\ln U

脚注

[脚注の使い方]

^ Billingsley 2012, p. 275, (20.10).
^ Billingsley 2012, p. 275, (20.11).
^ 難波明生. 指数分布 (PDF) (Report). 指数分布の平均と分散の導出
^ Billingsley 2012, p. 316, (23.2).
^ Billingsley 2012, pp. 200–201, 316.
^ 大沢文夫『大沢流手づくり統計力学』2011年8月15日。ISBN 978-4-8158-0674-3。
^ 冨高辰一郎『なぜ抑うつは指数分布に従うのか』2022年11月14日。ISBN 978-4-7911-1104-6。
^ Melzer, D.; Tom, B. D. M.; Brugha, T. S.; Fryers, T.; Meltzer, H. (2002). “Common mental disorder symptom counts in populations: are there distinct case groups above epidemiological cut-offs?”. Psychological Medicine 32 (7): 1195–1201. doi:10.1017/S0033291702006049. ISSN 0033-2917 2026年1月17日閲覧。.
^ Tomitaka, Shinichiro; Kawasaki, Yohei; Ide, Kazuki; Akutagawa, Maiko; Ono, Yutaka; Furukawa, Toshiaki A. (2019). “Further evidence that item responses on the Kessler Psychological Distress Scale exhibit the characteristic pattern in the general population”. Heliyon 5 (3): e01387. doi:10.1016/j.heliyon.2019.e01387 2026年1月22日閲覧。.
^ NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods
^ Richard Arnold Johnson; Dean W. Wichern (2007). Applied Multivariate Statistical Analysis. Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-187715-3 2012年8月10日閲覧。

参考文献

Billingsley, P. (2012). Probability and Measure (Anniversary ed.). Wiley. ISBN 978-1-118-12237-2

外部リンク

『指数分布の意味と具体例』 - 高校数学の美しい物語

[FOOTNOTEBillingsley2012275(20.10)-1] Billingsley 2012, p. 275, (20.10).

[FOOTNOTEBillingsley2012275(20.11)-2] Billingsley 2012, p. 275, (20.11).

[mean_diviatuin-3] 難波明生. 指数分布 (PDF) (Report). 指数分布の平均と分散の導出

[FOOTNOTEBillingsley2012316(23.2)-4] Billingsley 2012, p. 316, (23.2).

[FOOTNOTEBillingsley2012200–201,_316-5] Billingsley 2012, pp. 200–201, 316.

[osawa-6] 大沢文夫『大沢流手づくり統計力学』2011年8月15日。ISBN 978-4-8158-0674-3。

[a733-7] 冨高辰一郎『なぜ抑うつは指数分布に従うのか』2022年11月14日。ISBN 978-4-7911-1104-6。

[t688-8] Melzer, D.; Tom, B. D. M.; Brugha, T. S.; Fryers, T.; Meltzer, H. (2002). “Common mental disorder symptom counts in populations: are there distinct case groups above epidemiological cut-offs?”. Psychological Medicine 32 (7): 1195–1201. doi:10.1017/S0033291702006049. ISSN 0033-2917 2026年1月17日閲覧。.

[v475-9] Tomitaka, Shinichiro; Kawasaki, Yohei; Ide, Kazuki; Akutagawa, Maiko; Ono, Yutaka; Furukawa, Toshiaki A. (2019). “Further evidence that item responses on the Kessler Psychological Distress Scale exhibit the characteristic pattern in the general population”. Heliyon 5 (3): e01387. doi:10.1016/j.heliyon.2019.e01387 2026年1月22日閲覧。.

[10] NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods

[Dean_W._Wichern-2007-11] Richard Arnold Johnson; Dean W. Wichern (2007). Applied Multivariate Statistical Analysis. Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-187715-3 2012年8月10日閲覧。

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表話編歴確率分布
離散単変量で有限台	ベンフォードベルヌーイベータ二項二項 categorical（英語版）超幾何ポワソン二項ラーデマッハ（英語版）離散一様ジップジップ–マンデルブロー（英語版）
離散単変量で無限台	ベータ負二項（英語版）ボレル（英語版）コンウェイ–マクスウェル–ポワソン（英語版）離散位相型（英語版）ドラポルト（英語版）拡張負二項（英語版）ガウス–クズミン幾何対数（英語版）負の二項放物フラクタル（英語版）ポワソンスケラム（英語版）ユール–サイモン（英語版）ゼータ（英語版）
連続単変量で有界区間に台を持つ	逆正弦 ARGUS（英語版）バルディング–ニコルス（英語版）ベイツ（英語版）ベータ beta rectangular（英語版）アーウィン–ホールクマラスワミー（英語版）ロジット-正規（英語版）非中心ベータ（英語版） raised cosine（英語版）対数一様三角 U-quadratic（英語版）一様ウィグナー半円
連続単変量で半無限区間に台を持つ	ベニーニ（英語版）ベンクタンダー第一種（英語版）ベンクタンダー第二種（英語版）第2種ベータ Burr（英語版）カイ二乗カイ（英語版） Dagum（英語版）デービス（英語版）指数-対数（英語版）アーラン指数 F folded normal（英語版） Flory–Schulz（英語版）フレシェガンマ gamma/Gompertz（英語版）一般逆ガウス（英語版） Gompertz（英語版） half-logistic（英語版）半正規 Hotelling's T-squared（英語版）超アーラン（英語版）超指数（英語版） hypoexponential（英語版）逆カイ二乗（英語版） scaled inverse chi-squared（英語版）逆ガウス逆ガンマコルモゴロフレヴィ対数コーシー対数ラプラス（英語版）対数ロジスティック（英語版）対数正規ロマックス（英語版）行列指数（英語版）マクスウェル–ボルツマンマクスウェル–ユットナー（英語版）ミッタク-レフラー（英語版）仲上（英語版）非心カイ二乗パレート位相型（英語版） poly-Weibull（英語版）レイリー relativistic Breit–Wigner（英語版）ライス（英語版） shifted Gompertz（英語版）切断正規タイプ2ガンベル（英語版）ワイブル離散ワイブル（英語版）ウィルクスのラムダ（英語版）
連続単変量で実数直線全体に台を持つ	コーシー（ローレンツ、ブライト・ウィグナー）指数冪（英語版）フィッシャーの z（英語版）ガウスの q（英語版）一般正規（英語版）一般化双曲型幾何安定（英語版）ガンベルホルツマルク（英語版）双曲線正割ジョンソンの S_U（英語版）ランダウラプラス非対称ラプラス（英語版）ロジスティック非心 t 正規 (ガウス) 正規逆ガウス（英語版）歪正規（英語版）スラッシュ安定スチューデントの t タイプ1ガンベル（英語版）トレイシー–ウィダム（英語版）分散ガンマ（英語版）フォークト
連続単変量でタイプの変わる台を持つ	一般極値一般パレート（英語版）マルチェンコ–パストゥール（英語版） q-指数（英語版） q-ガウス q-ワイブル（英語版） shifted log-logistic（英語版）トゥーキーのラムダ（英語版）
混連続-離散単変量	rectified Gaussian（英語版）
多変量 (結合)	【離散】エウェンズ（英語版）多項ディリクレ多項（英語版）負多項（英語版）【連続】ディリクレ一般ディリクレ（英語版）多変量正規多変量安定（英語版）多変量 t（英語版）正規逆ガンマ（英語版）正規ガンマ（英語版）【行列値】逆行列ガンマ（英語版）逆ウィッシャート（英語版）行列正規（英語版）行列 t（英語版）行列ガンマ（英語版）正規逆ウィッシャート（英語版）正規ウィッシャート（英語版）ウィッシャート
方向	【単変量 (円周) 方向】円周一様（英語版）単変数フォン・ミーゼス wrapped 正規（英語版） wrapped コーシー（英語版） wrapped 指数（英語版） wrapped 非対称ラプラス（英語版） wrapped レヴィ（英語版）【二変量 (球面)】ケント（英語版）【二変量 (トロイダル)】二変数フォン・ミーゼス（英語版）【多変量】フォン・ミーゼス–フィッシャー（英語版）ビンガム（英語版）
退化と特異	【退化】ディラックのデルタ関数【特異】カントール
族	円周（英語版）混合ポワソン（英語版）楕円（英語版）指数自然指数（英語版）位置尺度最大エントロピー（英語版）混合（英語版）ピアソン（英語版）トウィーディ（英語版） wrapped（英語版）
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累積分布関数	$1-e^{-\lambda x}$
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中央値	$(\ln 2)/\lambda$
最頻値	$0$
分散	$1/\lambda ^{2}$
歪度	$2$
超過尖度	$6$
エントロピー	$1-\ln \lambda$
モーメント母関数	$(1-t/\lambda )^{-1}{\text{ for }}t<\lambda$
特性関数	$(1-i\,t/\lambda )^{-1}$
フィッシャー情報量	$1/\lambda ^{2}$
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