ガンベル分布

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ガンベル分布
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Probability density plots of gamma distributions
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確率密度関数
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確率論および統計学において、ガンベル分布(ガンベルぶんぷ、: Gumbel distribution)は、連続確率分布の一種である。さまざまな分布に従う確率変数の最大値が漸近的に従う分布であり、極値分布のタイプI型に相当する。分布の名は極値統計学の先駆的な研究を行ったドイツの数学者エミール・ユリウス・ガンベルに因む。

定義[編集]

定数 μ と正の定数 η > 0 に対し、確率変数 X分布関数 F(X)

で与えられるとき、確率変数 X はガンベル分布に従うという。このとき、対応する確率密度関数 f (x)

である。ガンベル分布は極値分布のタイプIに相当する。

性質[編集]

平均・分散[編集]

ガンベル分布の確率変数X とするとき、平均 E(X) および分散 V(X) は次のように表される。

ここで γ = 0.577…オイラーの定数である。

モーメント母関数・特性関数[編集]

ガンベル分布の確率変数X とするとき、モーメント母関数 MX(t)

で与えられる。ここで Γ(x) はガンマ関数を表す。

また、特性関数 φX(t)

で与えられる。

キュムラント母関数・キュムラント[編集]

ガンベル分布の確率変数X とするとき、キュムラント母関数 KX(t)

で与えられる。 このとき、n 次のキュムラント κn

となる。ここで ζ(n)ゼータ関数である。

参考文献[編集]

  • Gumbel. E. J.:Statistics of Extremes, Columbia University Press, 1963.

関連項目[編集]