切断正規分布

切断正規分布 (せつだんせいきぶんぷ) は正規分布と似ているが、確率変数 $x$ の定義域が有限な確率分布である。上下とも有界 ( $A\leq x\leq B$ ) なものを二重に切断された正規分布、どちらか一方だけのものを単一切断正規分布という。

定義と性質[編集]

切断正規分布の確率密度関数は以下で定義される。

f(x;\mu ,\sigma ,a,b)={\frac {{\frac {1}{\sigma }}\phi ({\frac {x-\mu }{\sigma }})}{\Phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})-\Phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})}}

ここで $\scriptstyle {\phi (\cdot )}\$ は標準正規分布 $N(0,1)$ の確率密度関数、 $\scriptstyle {\Phi (\cdot )}\$ は標準正規分布 $N(0,1)$ の累積分布関数である。

切断正規分布の期待値と分散は、二重に切断されている場合、

E(X|A<X<B)=\mu +{\frac {\phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})-\phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})}{\Phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})-\Phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})}}\sigma \!

Var(X|A<X<B)=\sigma ^{2}\left[1+{\frac {{\frac {a-\mu }{\sigma }}\phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})-{\frac {b-\mu }{\sigma }}\phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})}{\Phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})-\Phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})}}-\left({\frac {\phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})-\phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})}{\Phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})-\Phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})}}\right)^{2}\right]\!

であり、単一切断正規分布の場合は

E(X|X>A)=\mu +{\frac {\sigma }{R\left({\frac {A-\mu }{\sigma }}\right)}}

Var(X|X>A)=\sigma ^{2}\left[1+{\frac {\frac {A-\mu }{\sigma }}{R\left({\frac {A-\mu }{\sigma }}\right)}}-\left\{{\frac {1}{R\left({\frac {A-\mu }{\sigma }}\right)}}\right\}^{2}\right]

である。ここで

R\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)={\frac {1-\Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}{\phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}}

は、ミルズ比である。