アーラン分布

アーラン分布
	確率密度関数;
	累積分布関数;
母数	形状母数（英語版）（自然数）; 尺度母数（実数）; または、比（実数）
台
確率密度関数	;
累積分布関数	;
期待値
中央値	単純な閉形式を持たない
最頻値
分散
歪度
超過尖度
エントロピー	;
モーメント母関数	;
特性関数
フィッシャー情報量	{{{フィッシャー情報量}}}
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アーラン分布（アーランぶんぷ、英: Erlang distribution）は、待ち行列の待ち時間を計算するためにデンマークの数学者アグナー・アーランが提唱した確率分布であり^[1]、特に通信トラフィック工学で使われる。

定義と性質

アーラン分布は2つの母数 $k$ （正の整数）および $μ$ （正の実数）によって定まり、その確率密度関数は次のように定義される^[2]。

f(x;k,\mu )={\frac {1}{(k-1)!\,\mu ^{k}}}x^{k-1}e^{-x/\mu }\quad {\text{for }}x>0

等価な定義として、パラメータ $λ = 1/ μ$ を用いて次のように表されることもある^[3]^[4]。

f(x;k,\lambda )={\frac {\lambda ^{k}}{(k-1)!}}x^{k-1}e^{-\lambda x}\quad {\text{for }}x>0

アーラン分布の累積分布関数は、以下のように求められる。

{\begin{aligned}F(x)&=\int _{0}^{x}f(t;k,\mu )\,dt=1-e^{-x/\mu }\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}\left({\frac {x}{\mu }}\right)^{n}\\&=\int _{0}^{x}f(t;k,\lambda )\,dt=1-e^{-\lambda x}\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {(\lambda x)^{n}}{n!}}\end{aligned}}

定義より（あるいは後述する指数確率変数を用いた解釈により）期待値 $E [X]$ および分散 $V [X]$ は以下のようになる^[4]。

E[X]=k\mu ={\frac {k}{\lambda }},\,\,\,V[X]=k\mu ^{2}={\frac {k}{\lambda ^{2}}}

他の分布との関係

ガンマ分布との関係

定義より、アーラン分布はガンマ分布で形状母数 $k$ を正の整数に限定したものといえる^[5]。また、相型分布の特別な場合でもある。

指数分布の和との関係

アーラン分布は、互いに独立で同一の指数分布に従う確率変数の和を用いて解釈することができる。すなわち、互いに独立でパラメータ $λ$ の指数分布に従う $n$ 個の確率変数 $X 1, X 2, \dots, X n$ に対して、その和で表される確率変数 $S_{n}=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$ はパラメータ $λ, n$ のアーラン分布に従う^[6]。 $n = 1$ の場合は、明らかに指数分布に一致する^[2]。

ポアソン分布との関係

$S n$ をパラメータ $λ$ および $n$ のアーラン分布に従う連続確率変数とし、 $N (t)$ をパラメータ $λt$ （ただし $t > 0$ ）のポアソン分布に従う離散確率変数とすると、両者の間には

P(S_{n}\leq t)=P(N(t)\geq n)

なる関係が成立する^[7]。これはアーラン分布の累積分布関数の形から明らかであるが、指数分布を用いた説明も可能である。すなわち、互いに独立で同一の指数分布に従う時間間隔で生起する事象列を観測するとき、 $S n$ は $n$ 回目の事象が生起した時点であり、 $N (t)$ は時点 $t$ までに生起した事象の数を意味する。「 $n$ 回目の事象が生起した時点が $t$ 以前である」という事象は、「時点 $t$ までに少なくとも $n$ 回の事象が起きている」という事象と等しいため、この等式が成立する。

脚注

^ 阿曽沼, 明裕（著）、KDD株式会社ネットワーク事業本部先端技術ビジネス推進部（編）「表紙の人アーラン～通信トラヒック理論の創始者～」『KDDテクニカルジャーナル』第24号、1996年4月、3頁。
^ ^a ^b 入江, 隆「ガンマ関数およびベータ関数と、いくつかの統計分布への応用について」『八代学院大学紀要』第36号、八代学院大学学術研究会、1990年1月、64頁。
^ 早川美徳. “待ち行列参考：アーラン分布”. An Introduction to Python. 2025年8月15日閲覧。
^ ^a ^b 池守, 昌幸『土木計画のための確率・統計序説』森北出版、1985年5月、44頁。
^ 森村 1962, p. 13.
^ 森村 1962, p. 211.
^ 木暮, 正夫、新宮, 哲郎「時間研究における異常値に関する2,3の考察（第1報）」『JIMA』第28号、日本工業経営学会、1963年11月、59頁。

参考文献

森村, 英典、大前, 義次『待ち行列の理論と実際』日本科学技術連盟〈日科技連ライブラリー〉、1962年。NDLJP:3026065。

表話編歴確率分布
離散単変量で有限台	ベンフォードベルヌーイベータ二項二項 categorical（英語版）超幾何ポワソン二項ラーデマッハ（英語版）離散一様ジップジップ–マンデルブロー（英語版）
離散単変量で無限台	ベータ負二項（英語版）ボレル（英語版）コンウェイ–マクスウェル–ポワソン（英語版）離散位相型（英語版）ドラポルト（英語版）拡張負二項（英語版）ガウス–クズミン幾何対数（英語版）負の二項放物フラクタル（英語版）ポワソンスケラム（英語版）ユール–サイモン（英語版）ゼータ（英語版）
連続単変量で有界区間に台を持つ	逆正弦 ARGUS（英語版）バルディング–ニコルス（英語版）ベイツ（英語版）ベータ beta rectangular（英語版）アーウィン–ホールクマラスワミー（英語版）ロジット-正規（英語版）非中心ベータ（英語版） raised cosine（英語版）対数一様三角 U-quadratic（英語版）一様ウィグナー半円
連続単変量で半無限区間に台を持つ	ベニーニ（英語版）ベンクタンダー第一種（英語版）ベンクタンダー第二種（英語版）第2種ベータ Burr（英語版）カイ二乗カイ（英語版） Dagum（英語版）デービス（英語版）指数-対数（英語版）アーラン指数 F folded normal（英語版） Flory–Schulz（英語版）フレシェガンマ gamma/Gompertz（英語版）一般逆ガウス（英語版） Gompertz（英語版） half-logistic（英語版）半正規 Hotelling's T-squared（英語版）超アーラン（英語版）超指数（英語版） hypoexponential（英語版）逆カイ二乗（英語版） scaled inverse chi-squared（英語版）逆ガウス逆ガンマコルモゴロフレヴィ対数コーシー対数ラプラス（英語版）対数ロジスティック（英語版）対数正規ロマックス（英語版）行列指数（英語版）マクスウェル–ボルツマンマクスウェル–ユットナー（英語版）ミッタク-レフラー（英語版）仲上（英語版）非心カイ二乗パレート位相型（英語版） poly-Weibull（英語版）レイリー relativistic Breit–Wigner（英語版）ライス（英語版） shifted Gompertz（英語版）切断正規タイプ2ガンベル（英語版）ワイブル離散ワイブル（英語版）ウィルクスのラムダ（英語版）
連続単変量で実数直線全体に台を持つ	コーシー（ローレンツ、ブライト・ウィグナー）指数冪（英語版）フィッシャーの z（英語版）ガウスの q（英語版）一般正規（英語版）一般化双曲型幾何安定（英語版）ガンベルホルツマルク（英語版）双曲線正割ジョンソンの S_U（英語版）ランダウラプラス非対称ラプラス（英語版）ロジスティック非心 t 正規 (ガウス) 正規逆ガウス（英語版）歪正規（英語版）スラッシュ安定スチューデントの t タイプ1ガンベル（英語版）トレイシー–ウィダム（英語版）分散ガンマ（英語版）フォークト
連続単変量でタイプの変わる台を持つ	一般極値一般パレート（英語版）マルチェンコ–パストゥール（英語版） q-指数（英語版） q-ガウス q-ワイブル（英語版） shifted log-logistic（英語版）トゥーキーのラムダ（英語版）
混連続-離散単変量	rectified Gaussian（英語版）
多変量 (結合)	【離散】エウェンズ（英語版）多項ディリクレ多項（英語版）負多項（英語版）【連続】ディリクレ一般ディリクレ（英語版）多変量正規多変量安定（英語版）多変量 t（英語版）正規逆ガンマ（英語版）正規ガンマ（英語版）【行列値】逆行列ガンマ（英語版）逆ウィッシャート（英語版）行列正規（英語版）行列 t（英語版）行列ガンマ（英語版）正規逆ウィッシャート（英語版）正規ウィッシャート（英語版）ウィッシャート
方向	【単変量 (円周) 方向】円周一様（英語版）単変数フォン・ミーゼス wrapped 正規（英語版） wrapped コーシー（英語版） wrapped 指数（英語版） wrapped 非対称ラプラス（英語版） wrapped レヴィ（英語版）【二変量 (球面)】ケント（英語版）【二変量 (トロイダル)】二変数フォン・ミーゼス（英語版）【多変量】フォン・ミーゼス–フィッシャー（英語版）ビンガム（英語版）
退化と特異	【退化】ディラックのデルタ関数【特異】カントール
族	円周（英語版）混合ポワソン（英語版）楕円（英語版）指数自然指数（英語版）位置尺度（英語版）最大エントロピー（英語版）混合（英語版）ピアソン（英語版）トウィーディ（英語版） wrapped（英語版）
サンプリング法（英語版）	逆関数サンプリング法マルコフ連鎖モンテカルロ法（メトロポリス・ヘイスティングス法・ギブスサンプリング・スライスサンプリング）粒子フィルタボックス＝ミュラー法棄却サンプリングジッグラト法（英語版）マルサグリア法（英語版）
一覧（英語版）カテゴリ

アーラン分布
確率密度関数
累積分布関数
母数	$k\in \mathbb {N}$ 形状母数（英語版）（自然数） $\mu >0$ 尺度母数（実数）または、 $\lambda =1/\mu >0$ 比（実数）
台	$[0,\infty )$
確率密度関数	${\frac {1}{(k-1)!\,\mu ^{k}}}x^{k-1}e^{-x/\mu }$ $={\frac {\lambda ^{k}}{(k-1)!}}x^{k-1}e^{-\lambda x}$
累積分布関数	$1-e^{-x/\mu }\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}\left({\frac {x}{\mu }}\right)^{n}$ $=1-e^{-\lambda x}\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {(\lambda x)^{n}}{n!}}$
期待値	$k\mu ={\frac {k}{\lambda }}$
中央値	単純な閉形式を持たない
最頻値	$(k-1)\mu ={\frac {k-1}{\lambda }}\ {\text{ for }}k\geq 1$
分散	$k\mu ^{2}=k/\lambda ^{2}$
歪度	$2/{\sqrt {k}}$
超過尖度	$6/k$
エントロピー	$k+\ln \mu +\sum _{n=1}^{k-1}\ln n+(1-k)\psi (k)$ $=k-\ln \lambda +\sum _{n=1}^{k-1}\ln n+(1-k)\psi (k)$
モーメント母関数	${\frac {1}{(1-\mu \,t)^{k}}}=\left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{k}$ ${\text{ for }}t<1/\mu =\lambda$
特性関数	${\frac {1}{(1-i\mu t)^{k}}}=\left({\frac {\lambda }{\lambda -it}}\right)^{k}$
フィッシャー情報量	{{{フィッシャー情報量}}}
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定義と性質

他の分布との関係

脚注

参考文献

関連項目