二項分布

二項分布
	確率質量関数;
	累積分布関数; ; 色は上図と同じ
母数	試行回数（整数）; 成功確率（実数）
台
確率質量関数
累積分布関数
期待値
最頻値
分散
歪度
尖度
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特性関数
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数学において、二項分布（にこうぶんぷ、英: binomial distribution）は、結果が成功か失敗のいずれかである試行（ベルヌーイ試行と呼ばれる）を独立に $n$ 回行ったときの成功回数を確率変数とする離散確率分布である。ただし、各試行における成功確率 $p$ は一定とする。二項分布に基づく統計的有意性の検定は、二項検定と呼ばれている。

例[編集]

二項分布の典型例を次に示す。全住民の5%がある感染症に罹患しており、その全住民の中から無作為に500人を抽出する。ただし住民は500人よりずっと多いとする。このとき、抽出された集団の中に罹患者が30人以上いる確率はどれくらいだろうか。

500人のうちの感染症患者の分布は、大抵の場合は全住民のうちの患者の分布（真の分布）とおおよそ似通っていると考えられる。しかし、運が悪ければ、とても少ない確率で、選んだ500人の中にたまたま一人たりとも患者が含まれないような、真の分布とかけ離れた分布が得られる場合もある。直観的には、真の分布に近い分布が得られる確率 > 真の分布から遠い分布が得られる確率だろう。たとえば、500人中の患者の数が500×0.05=25人である確率は、24人や26人である確率より大きいだろうと思われる。しかし、その確率は定量的にどれほどだろうか。これを定量的に表すことのできる分布が二項分布である。

抽出された集団の中に含まれる罹患者数を確率変数 $X$ で表すとき、 $X$ は $n = 500, p = 0.05$ の二項分布に近似的に従う。ここで、罹患者が30人以上いる確率は $Pr[X \geq 30]$ である。

定義[編集]

2つの母数 $p$ ( $0 \leq p \leq 1$ ), $n$ （ $n$ は自然数）に対して、 $0$ 以上の整数を値としてとる確率変数 $X$ の確率質量関数が

P[X=k]={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\quad {\mbox{for}}\ k=0,1,2,\dots ,n

で与えられるとき、確率変数 $X$ は母数 $(n, p)$ の二項分布 $B(n, p)$ に従うという。これを $X ~ B(n, p)$ と表記する^[1]。

ここで、

{n \choose k}={}_{n}\!\mathrm {C} _{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}

は $n$ 個から $k$ 個を選ぶ組合せの数、すなわち二項係数を表す。二項分布という名前は、この二項係数に由来している。 $n = 1$ の場合を特に、ベルヌーイ分布と呼ぶ。

この公式は、次のように解釈することができる。1回の試行において成功する確率が $p$ であるとき、 $p k$ は $k$ 回成功する確率を表し、 $(1 - p) n - k$ は $n - k$ 回失敗する確率を表している。ただし、 $k$ 回の成功は $n$ 回の試行の中のどこかで発生したものであるから、 $n C k$ 通りの発生順序がある。したがって、 $n$ 回の独立な試行を行ったときの成功回数が $k$ となる確率を意味する。

性質[編集]

期待値・分散[編集]

$B(n, p)$ に従う確率変数 $X$ に対し、 $X$ の期待値 $E [X]$ は

E[X]=np

であり、分散 $Var[X]$ は

\operatorname {Var} (X)=np(1-p)

となる^[2]。

$X$ の最頻値は、 $(n + 1) p$ 以下の最大の整数となる。ただし、 $m = (n + 1) p$ が整数となるときは、 $m - 1$ と $m$ の双方が最頻値となる。

再生性[編集]

二項分布は再生性を有する。すなわち $B(n, p)$ に従う確率変数 $X$ と $B(m, p)$ に従う確率変数 $Y$ が互いに独立であるとき、確率変数の和 $X + Y$ は二項分布 $B(n + m, p)$ に従う。

近似[編集]

二項分布の近似として、次の2種類の分布が知られている。

正規分布[編集]

二項分布が正規分布に近づく様子

期待値 $np$ および分散 $np (1 - p)$ が $5$ よりも大きい場合、二項分布 $B(n, p)$ に対する良好な近似として正規分布がある。ただし、この近似を適用するにあたっては、変数のスケールに注意し、連続な分布への適切な処理がなされる必要がある。より厳密に述べれば、 $n$ が十分大きくかつ、期待値 $np$ および分散 $np (1 - p)$ も十分大きい場合、期待値 $np$ , 分散 $np (1 - p)$ の正規分布 $N(np, np (1 - p))$ で近似することができ、期待値からの差 $| k - np |$ が標準偏差 $\sqrt np (1 - p)$ と同程度となる $k$ に対して

P[X=k]\simeq {\frac {1}{\sqrt {2\pi np(1-p)}}}\exp {\left(-{\frac {(k-np)^{2}}{2np(1-p)}}\right)}

が漸近的に成り立つ。二項分布が一定の条件下で正規分布に近づく、この近似式は数学者アブラーム・ド・モアブルが1733年に著書 The Doctrine of Chances の中で紹介したのが最初であり、ド・モアブル=ラプラスの極限定理またはラプラスの定理と呼ぶことがある^[3]。これは、今日でいうところの中心極限定理の特別な場合に相当する。この正規分布への近似と標準正規分布表により、計算の労力を大きく削減することができる。

例えば、多数の住民の中から $n$ 人を無作為に抽出し、ある質問について同意するかどうかを尋ねる場合を考える。同意する人数の割合は、もちろんサンプルに依存する。 $n$ 人を無作為に抽出する作業を何度も繰り返し行うとき、同意する人々の割合の分布は、実際の全住民の合意割合 $p$ とほぼ等しい平均を持ち、標準偏差 $σ = \sqrt p (1 - p)/ n$ である正規分布に近似される。未知の変数 $p$ は、標準偏差が小さいほど正確な推定が可能である。そのため、抽出する人数 $n$ は多い方が好ましい。

95%信頼区間ならば、正規分布で近似すると、その範囲は

p-1.959964{\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}\sim p+1.959964{\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}

となる。たとえば、 $p = 50$ % の場合、 $n = 100$ なら40%〜60%、 $n = 1,000$ ならば47%〜53%、 $n = 10,000$ ならば49%〜51%となる。 $n = 10$ の場合、正規分布近似ではなく、本来の定義に従って計算すると、89%信頼区間で、30%〜70%となる^[4]。

ポアソン分布[編集]

$n$ が大きく $p$ が十分小さい場合、 $np$ は適度な大きさとなるため、 $λ = np$ を母数とするポアソン分布が二項分布 $B(n, p)$ の良好な近似を与える。すなわち、 $n$ が十分大きいとき、期待値 $λ = np$ とおくと、

P[X=k]\simeq {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}

が成り立つ（詳細はポアソン分布の項を参照）。この結果は数学者シメオン・ドニ・ポアソンが1837年に著書 Recherches sur la probabilite des jugements (Researches on the Probabilities) の中で与えており、ポアソンの極限定理と呼ばれる。

注[編集]

^ 藪 2012, p. 144.
^ 藪 2012, pp. 144–145.
^ 伏見康治「確率論及統計論」第IV章　独立偶然量の和　27節 Bernoulliの定理, Laplaceの定理 p.452 ISBN 9784874720127 http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204
^ prob 3 <= x <= 7 for x binomial with n=10 and p=0.5 - Wolfram Alpha

参考文献[編集]

藪友良『入門実践する統計学』東洋経済新報社、2012年。ISBN 978-4-492-47085-5。