二項分布

二項分布

確率質量関数
累積分布関数 色は上図と同じ
母数	$n\geq 0$ 試行回数（整数） $0\leq p\leq 1$ 成功確率（実数）
台	$\{0,\cdots ,n\}$
確率質量関数	${n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}$
累積分布関数	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )$
期待値	$np$
最頻値	${\begin{cases}\{(n+1)p-1,(n+1)p\}\\\qquad \cap \{0,\cdots ,n\}&{\text{((n+1)p が 整 数 の 時 )}}\\\lfloor (n+1)p\rfloor &{\text{(そ れ 以 外 )}}\end{cases}}$
分散	$np(1-p)$
歪度	${\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}$
尖度	${\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}$
モーメント母関数	$(1-p+p\,e^{t})^{n}$
特性関数	$(1-p+p\,e^{it})^{n}$

数学において、二項分布（にこうぶんぷ、英: binomial distribution）は、結果が成功か失敗のいずれかである試行（ベルヌーイ試行と呼ばれる）を独立に n 回行ったときの成功回数を確率変数とする離散確率分布である。ただし、各試行における成功確率 p は一定とする。二項分布に基づく統計的有意性の検定は、二項検定と呼ばれている。

例

二項分布の典型例を次に示す。全住民の5%がある感染症に罹患しており、その全住民の中から無作為に500人を抽出する。ただし住民は500人よりずっと多いとする。このとき、抽出された集団の中に罹患者が30人以上いる確率はどれくらいだろうか。

500人のうちの感染症患者の分布は、大抵の場合は全住民のうちの患者の分布（真の分布）とおおよそ似通っていると考えられる。しかし、運が悪ければ、とても少ない確率で、選んだ500人の中にたまたま一人たりとも患者が含まれないような、真の分布とかけ離れた分布が得られる場合もある。直観的には、真の分布に近い分布が得られる確率 > 真の分布から遠い分布が得られる確率 だろう。たとえば、500人中の患者の数が500×0.05=25人である確率は、24人や26人である確率より大きいだろうと思われる。しかし、その確率は定量的にどれほどだろうか。 これを定量的に表すことのできる分布が二項分布である。

抽出された集団の中に含まれる罹患者数を確率変数 X で表すとき、X は n = 500, p = 0.05 の二項分布に近似的に従う。ここで、罹患者が30人以上いる確率は Pr[X ≥ 30] である。

定義

2つの母数 p (0 ≤ p ≤ 1), n（n は自然数）に対して、0 以上の整数を値としてとる確率変数 X の確率質量関数が

$P[X=k]={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\quad {\mbox{for}}\ k=0,1,2,\dots ,n$

で与えられるとき、確率変数 X は母数 (n, p) の二項分布 B(n, p) に従うという。これを X ~ B(n, p) と表記する。

ここで、

${n \choose k}={}_{n}\!\mathrm {C} _{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

は n 個から k 個を選ぶ組合せの数、すなわち二項係数を表す。二項分布という名前は、この二項係数に由来している。n = 1 の場合を特に、ベルヌーイ分布と呼ぶ。

この公式は、次のように解釈することができる。1回の試行において成功する確率が p であるとき、p^k は k 回成功する確率を表し、(1 − p)^n−k は n − k 回失敗する確率を表している。ただし、k 回の成功は n 回の試行の中のどこかで発生したものであるから、_nC_k 通りの発生順序がある。したがって、n 回の独立な試行を行ったときの成功回数が k となる確率を意味する。

性質

期待値・分散

二項分布 B(n, p) に従う確率変数 X に対し、X の期待値 E[X] は

$E[X]=np$

であり、分散 V[X] は

$V[X]=np(1-p)$

となる。

X の最頻値は、(n + 1)p 以下の最大の整数となる。ただし、m = (n + 1)p が整数となるときは、m − 1 と m の双方が最頻値となる。

モーメント

二項分布 B(n, p) に従う確率変数 X の r 次モーメント E[X^r] は

$E[X^{r}]=\sum _{j=0}^{r}S(r,j){\frac {n!}{(n-j)!}}p^{j}$

というやや複雑な表示をもつ。ここで S(r, j) は第二種スターリング数。低次から

$E[X^{1}]=np,\quad E[X^{2}]=np+n(n-1)p^{2},\dotsc$

となる。一方 X の r 次階乗モーメント E[(X)_r] は

$E[(X)_{r}]=(n)_{r}p^{r}={\frac {n!}{(n-r)!}}p^{r}$

という単純な表示をもつ。ここで (n)_r = n!/(n − r)! はポッホハマー記号。低次から

$E[(X)_{1}]=np,\quad E[(X)_{2}]=n(n-1)p^{2},\dotsc$

となる。

再生性

二項分布は再生性を有する。すなわち B(n, p) に従う確率変数 X と B(m, p) に従う確率変数 Y が互いに独立であるとき、確率変数の和 X + Y は二項分布 B(n + m, p) に従う。

近似

二項分布の近似として、次の2種類の分布が知られている。

正規分布

二項分布が正規分布に近づく様子

期待値 np および分散 np(1 − p) が 5 よりも大きい場合、二項分布 B(n, p) に対する良好な近似として正規分布がある。ただし、この近似を適用するにあたっては、変数のスケールに注意し、連続な分布への適切な処理がなされる必要がある。より厳密に述べれば、n が十分大きくかつ、期待値 np および 分散 np(1 − p) も十分大きい場合、期待値 np, 分散 np(1 − p) の正規分布 N(np, np(1 − p)) で近似することができ、期待値からの差 |k − np| が標準偏差 √np(1 − p) と同程度となる k に対して

$P[X=k]\simeq {\frac {1}{\sqrt {2\pi np(1-p)}}}\exp {\left(-{\frac {(k-np)^{2}}{2np(1-p)}}\right)}$

が漸近的に成り立つ。二項分布が一定の条件下で正規分布に近づく、この近似式は数学者アブラーム・ド・モアブルが1733年に著書 The Doctrine of Chances の中で紹介したのが最初であり、ド・モアブル=ラプラスの極限定理またはラプラスの定理と呼ぶことがある。これは、今日でいうところの中心極限定理の特別な場合に相当する。この正規分布への近似と標準正規分布表により、計算の労力を大きく削減することができる。

例えば、多数の住民の中から n 人を無作為に抽出し、ある質問について同意するかどうかを尋ねる場合を考える。同意する人数の割合は、もちろんサンプルに依存する。n 人を無作為に抽出する作業を何度も繰り返し行うとき、同意する人々の割合の分布は、実際の全住民の合意割合 p とほぼ等しい平均を持ち、標準偏差 σ = √p(1 − p)/n である正規分布に近似される。未知の変数 p は、標準偏差が小さいほど正確な推定が可能である。そのため、抽出する人数 n は多い方が好ましい。

95%信頼区間ならば、正規分布で近似すると、その範囲は

$p-1.959964{\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}\sim p+1.959964{\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}$

となる。たとえば、p = 50% の場合、n = 100 なら40%〜60%、n = 1,000 ならば47%〜53%、n = 10,000 ならば49%〜51%となる。n = 10 の場合、正規分布近似ではなく、本来の定義に従って計算すると、89%信頼区間で、30%〜70%となる。

ポアソン分布

n が大きく p が十分小さい場合、np は適度な大きさとなるため、λ = np を母数とするポアソン分布が二項分布 B(n, p) の良好な近似を与える。すなわち、n が十分大きいとき、期待値 λ = np とおくと、

$P[X=k]\simeq {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}$

が成り立つ（詳細はポアソン分布の項を参照）。この結果は数学者シメオン・ドニ・ポアソンが1837年に著書 Recherches sur la probabilite des jugements (Researches on the Probabilities) の中で与えており、ポアソンの極限定理と呼ばれる。

参考文献

• 藪友良『入門実践する統計学』東洋経済新報社、2012年。ISBN 978-4-492-47085-5。
• Johnson, N. L.; Kotz, A. W.; Kemp, S. (2005). Univariate Discrete Distributions (Third ed.). Wiley. ISBN 0-471-27246-9. MR2163227. Zbl 1092.62010 

関連項目

• 負の二項分布
• 多項分布
• ベルヌーイ過程
• 壺問題