モーメント (確率論)

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確率論や統計学において、モーメント(もーめんと、: moment)または積率(せきりつ)とは、確率変数のべき乗に対する期待値で与えられる特性値。

定義と性質[編集]

確率変数α を定数としたときに、α に関するn次モーメント(n-th order moment)は次で定義される。

ここで、<…>は期待値を取る操作を表す。

離散確率分布については,

ここで, は確率変数Xの実現値であり, は, をとる確率である。

連続確率分布については,

ここで, は, 確率変数Xの確率密度関数である。

特にα =0の場合に、モーメントはと記される。

期待値μは, 1次のモーメントに等しい。分散 σ2 は、2次のモーメント m1, m2 で表すことができる。すなわち,

m1 に関する n 次モーメントを μn で表し、n 次の中心モーメント (n-th order center moment)、またはn 次の中心化モーメントという。

ここで、2次の中心モーメントμ2は分散と一致する。

一般の確率分布において、モーメントは必ずしも有限値として存在するとは限らない。実際、コーシー分布

において、モーメントは全て無限大に発散する [1]

モーメント母関数による表示[編集]

確率変数Xに対するモーメント母関数を次のように定義する:

その級数表示

においては、ξ のn次の項の係数部分にn次のモーメントmn=<Xn>が現れる。この関係からモーメントは、モーメント母関数の導関数によって、次のように与えることができる。

特性関数による表示[編集]

確率変数Xに対する特性関数を次のように定義する:

特性関数についても、その級数表示において、n次のモーメントはξ のn次の項の係数に現れる。

この関係からモーメントは、特性関数の導関数によって、次のように与えることができる。

キュムラントとの関係[編集]

n次のキュムラントは、n次以下のモーメントで表すことができる。

逆に、n次のモーメントは、n次以下のキュムラントで表すことができる。

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ポアソン分布[編集]

確率分布関数が

で与えられるポアソン分布において、モーメントは次のように与えられる。

ガウス分布[編集]

確率密度関数が

で与えられるガウス分布において、n次の中心モーメントはnが奇数のときは0で、偶数のときのみ0でない値をとる。

脚注[編集]

  1. ^ コーシー分布の特性関数
    は、0において解析的ではなく、このことからもモーメントが存在しないことがわかる。

参考文献[編集]

関連項目[編集]