条件付き確率

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条件付き確率(じょうけんつきかくりつ、Conditional probability)とは、ある事象B が起こるという条件の下で別の事象A確率をいい、これをP(A|B)またはPB(A)と書く。

関連する概念とそれらの関係[編集]

同時確率または結合確率(Joint probability)とは、二つの事象がどちらも起こる確率をいう(時間的に同時という意味ではない)。AB の同時確率をP(A \cap B) またはP(A, \ B) と書く。

周辺確率(Marginal probability)とは、他の事象にかかわりなく一つの事象だけの確率をいう(普通の条件なしの確率と等しい)。周辺確率は同時確率を不要な事象に関して合計(または一般に積分)すれば得られる。A の周辺確率はP(A)、B の周辺確率はP(B)と書く。

ただし、以上の二つの事象AB の間には時間関係または因果関係はなくてもよいし、どんな関係であってもよいことに注意されたい。例えばベイズ推定で用いられる事後確率とは、ある根拠を条件として、その原因となった(時間的にも以前の)事象を推測した確率をいう。

確率に条件を付けるということは、別の(あるいは新たな)情報を考慮して確率を改訂することであり、数学的にはベイズの定理で示される。

定義[編集]

A およびB を事象とし、P(B) > 0 とすると、B におけるA の条件付き確率は

P(A\mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}

あるいは

P(A \cap B)=P(A\mid B) P(B)

により定義される。

独立性[編集]

二つのランダムな事象AB

P(A \cap B) \ = \ P(A)  P(B)

のとき、またそのときに限り独立である。あるいは独立な事象AB については

P(A|B) \ = \ P(A)

かつ

P(B|A) \ = \ P(B)

である。言い換えれば、AB が独立ならば条件B におけるA の条件付き確率はA 単独の確率に等しい。同様に条件A におけるB の条件付き確率はB 単独の確率に等しい。

排反性[編集]

二つの事象AB は、

P(A) \ne 0

かつ

P(B) \ne 0

である限りにおいて、

P(A \cap B) = 0

のとき、またそのときに限り排反的である(AB排反事象という)。従って

P(A\mid B) = 0

P(B\mid A) = 0

である。言い換えると、B が起こるという条件でA の起こる確率はゼロであり、またA が起こるという条件でB の起こる確率はゼロである。

その他[編集]

  • ある事象B に対してP(B) > 0 ならば、すべての事象A に対して、Q(A) = P(A|B) で定義される関数Q確率測度である。
  • P(B)=0 ならば、P(A|B) は定義されない。
  • 条件付き確率は決定木ベン図によりわかりやすく表示できる。