条件付き確率

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等式 P(AB) = P(A|B)P(B)決定木による図示。

条件付き確率(じょうけんつきかくりつ、: conditional probability)は、ある事象英語版 B が起こるという条件下での別の事象 A確率のことをいう。条件付き確率は P(A|B) または PB(A) のように表される[1]。条件付き確率 P(A|B) はしばしば「B が起こったときの A の(条件付き)確率」「条件 B の下での A の確率」などと表現される。なお英文においては通例、“probability of A given B または “probability of A under the condition B と表現される。

定義[編集]

A および B事象英語版とし、P(B) ≠ 0 とすると、B における A の条件付き確率は

あるいは

により定義される[2][3]

独立性[編集]

2つのランダムな事象 AB

のとき、またそのときに限り独立である。あるいは独立な事象 AB については

かつ

である。言い換えれば、AB が独立ならば、条件 B の下での A の条件付き確率は A周辺確率に等しく、また同様に条件 A の下での B の条件付き確率は B の周辺確率に等しい。

排反性[編集]

二つの事象 AB は、

かつ

である限りにおいて、

のとき、またそのときに限り排反的 (mutually exclusive) である(AB排反事象 (mutually exclusive event) という)[要出典]AB = BA より、P(AB) = 0 の場合、

および

が成り立つ。言い換えると、B が起こるという条件で A の起こる確率はゼロであり、また A が起こるという条件で B の起こる確率はゼロである。

空集合とすると、AB = ∅ ならば AB は排反だが、その逆は成り立たない。例えば [0,1)実数からランダムに1つを選ぶ場合、A = {x|x ≤ 0.5}, B = {x|x ≥ 0.5} とすると P(AB) = P({x|x = 0.5}) = 0 となり、AB は排反事象であることが分かるが、一方で AB は明らかに空集合ではない。

しかしながら、 が空集合でなく確率 0 の事象の意味で用いられているならば、AB = ∅ であることと P(AB) = 0 であることは同値であり、一方が成立するなら他方も成立する。

また文献によっては排反性の定義が異なり、「AB が空集合」が AB の排反性の定義として採用されていることがある。この場合、P(AB) = 0 であっても AB が空集合であるとは言えず、この場合には AB は排反ではなくなる。

その他[編集]

  • ある事象 B に対して P(B) ≠ 0 ならば、すべての事象 A に対して、Q(A) = P(A|B) で定義される関数 Q確率測度である。
  • 条件付き確率は決定木ベン図によりわかりやすく表示できる。

関連する概念とそれらの関係[編集]

同時確率[編集]

同時確率: simultaneous probability)または結合確率: joint probability)は、複数の事象がどちらも起こる確率をいう(時間的に同時という意味ではない)。AB の同時確率を P(AB) または P(A, B) と書く。なお、同時分布は、2つ以上の多次元分布関数を指す[4]

周辺確率[編集]

周辺確率: marginal probability)は、他の事象にかかわりなく1つの事象だけの確率をいう(普通の条件なしの確率と等しい)。周辺確率は同時確率を不要な事象に関して合計(または一般に積分)すれば得られる。A の周辺確率は P(A)B の周辺確率は P(B) と表される。なお、周辺分布は、k 次元確率変数部分集合である k1 変数の同時分布である[5]

ただし、以上の2つの事象 AB の間には時間関係または因果関係はなくてもよく、どんな関係であってもよいことに注意されたい。例えばベイズ推定で用いられる事後確率とは、ある根拠を条件として、その原因となった(時間的にも以前の)事象を推測した確率をいう。

確率に条件を付けるということは、別の(あるいは新たな)情報を考慮して確率を改訂することであり、数学的にはベイズの定理で示される。

脚注[編集]

  1. ^ 西岡 2013, p. 44, §4.1 条件付き確率.
  2. ^ 伏見 1942, p. 63, 第II章 確率論 8節 公理系.
  3. ^ ラプラス 1997, p. 21, 第四原理.
  4. ^ JIS Z 8101-1 : 1999, 1.4 2次元分布関数.
  5. ^ JIS Z 8101-1 : 1999, 1.6 周辺分布.

参考文献[編集]

関連項目[編集]