確率質量関数

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確率質量関数の例。全ての値は非負であり、その和は1になる。

確率論および統計学において、確率質量関数: probability mass function、PMF)とは、離散確率変数が“ある値”となる確率を与える関数である[1]。 確率質量関数は離散確率分布について、定義域が離散的であるスカラー変数や確率変数ベクトル英語版として定義される。

確率質量関数は、連続確率変数を採る確率密度関数 (PDF) とは異なり離散確率変数を採るので、PDFで確率を計算する際に範囲を積分しなければならないのに対して、PMFの計算では積分の必要はない[2]

正式な定義[編集]

偏りのないサイコロの確率質量関数。サイコロの目が出る確率はいずれも同じである。

X: SA (A ⊆ R) が標本空間 S 中に定義される離散確率分布であるとすると、X に対する確率質量関数 fX: A → [0, 1] は下記の様に定義される[3][4]

確率を質量として考えると、物理的質量を全ての取り得る観測値xに対応させることができ、下記の事が言える。

x に順番を付けておくと扱い易い。確率変数ベクトルの場合も同様である。X中にはないと考える。そうすると fX は全ての実数 に対して fX(x) = 0 となる。

すると、X の像は可算集合であるので、確率質量関数 fX(x) は可算個の値 x の点を除いて全領域で 0 となる。確率質量関数の不連続性は、離散確率変数の累積分布関数も又不連続であることを示す。微分可能な範囲では、微分値は 0 であり、その範囲では確率質量関数も又 0 である。

測度論的定式化[編集]

離散型確率変数 X の確率質量関数は 2 つのより一般的な測度論的構成の特別な場合と見ることができる。すなわち、数え上げ測度に関して、X確率分布X確率密度関数である。以下詳述する。

を確率空間とし、 をそのσ-代数が離散的な(したがってとくに B の一元集合を含む)可測空間とする。この設定において、確率変数 は像が可算集合であれば離散的である。pushforward measure英語版 ---この文脈では X の分布 (distribution) と呼ばれる---は B 上の確率測度であって、一元集合へのその制限は、各 bB に対して であるから、確率質量関数 を誘導する。

さて を数え上げ測度を持った測度空間とする。数え上げ測度に関する X の確率密度関数 f は、存在すれば、(数え上げ測度に関しての)X の pushforward measure のラドン=ニコディム微分であり、したがって であり fB から非負の実数への関数である。したがって、任意の bB に対して、

が成り立ち、f が実際確率質量関数であることが証明された。

実例[編集]

標本空間 S を偏りのないコインを投げた場合の全ての結果とし、XS 中に定義される試行結果(表:1、裏:0)とする。コインに偏りがないので、確率質量関数は

であり、これは二項分布の特別な場合に相当する。

多値を採る離散分布および確率質量関数の例は多項分布英語版を参照。

出典[編集]

関連資料[編集]

  • Johnson, N.L., Kotz, S., Kemp A. (1993) Univariate Discrete Distributions (2nd Edition). Wiley. ISBN 0-471-54897-9 (p 36)

関連項目[編集]