確率測度

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いくつかの場合において、統計物理学確率測度という用語が用いられるが、そこで用いられる全ての測度が確率測度であるわけではない[1][2]

確率測度(かくりつそくど、: probability measure)とは、可算加法性のような測度の性質を満たすものの内、確率空間において事象の集合上で定義された実数値函数のことである[3]。確率測度とより一般的な測度(面積体積のような概念)との違いは、確率測度は全空間に対しては 1 を返さねばならないことである。

直感的には、加法性とは、2つの互いに素な(: disjoint)事象の和集合について割り当てられる確率は、それぞれの事象に割り当てられた確率の和とならねばならない、ということを意味している。つまり、サイコロを投げた時に「1もしくは2が出る」という事象に対応した確率は「1が出る」という事象と「2が出る」という事象にそれぞれ対応する確率の和となっていなければならないことを言う。

物理学からファイナンスや生物学まで様々な分野において確率測度は応用されている。

定義[編集]

3つの事象を単位区間へ写像する確率測度

函数 μ確率空間上の確率測度であるためには、以下の2つの条件が満たされなければならない。

  • μ は、単位区間 [0, 1] 上の値を返し、空集合に対しては0を返し全空間では1を返す関数である。
  • 各々が互いに素な集合の全ての可算な集まり \{E_i\} に対し、
 \mu\Bigl(\bigcup_{i \in I} E_i\Bigr) = \sum_{i \in I} \mu(E_i)
が満たされなければならない(可算加法性: countable additivity)。

例えば、それぞれの生起確率が 1/4, 1/4, 1/2 である 3つの要素 1, 2, 3 が与えられたとすると、{1, 3} に与えられる確率は、右の図で示しているように、1/4 + 1/2 = 3/4 である。

事象の共通部分に基づく条件付き確率は以下のように定義される。

P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}.

このような条件付き確率は、P(A) が 0 でない限り、確率測度である[4]

より一般的なファジー測度英語版は確率測度とは異なるものになっている。ファジー測度では、ファジー値を足し上げた時に 1 とはならないかもしれない。そして、加法性は集合の包含関係に基いた順序関係に置き換えられる。

応用例[編集]

実際の金融の動きに基づいた金融市場の空間へ確率を割り当てたマーケット測度: Market measures)は、確率測度の例である。この例は、デリバティブの価格付けなどの、数理ファイナンスにおいて関心が高い[5]。例えば、リスク中立測度は、金融資産の将来のペイオフを利子率で割り引いた値の、リスク中立測度に基づいた(つまり、対応するリスク中立密度関数を使い計算された)期待値が、その資産の現在価格となるような確率測度である。このようなリスク中立測度が一意に存在する場合、そのような金融市場を完備市場英語版と呼ぶ[6][7]

直感的な意味でチャンスや可能性を表す測度の全てが確率測度であるとは言えない。例えば、統計力学の系の基本的な考え方は測度空間ではあるが、測度がいつも確率測度であるわけではない[1]。一般に、統計物理学では、もし「状態 A であるような系 S の確率は p である」という形の文章を考えたならば、自由度がひとつの系の場合には確率測度が定義できるように思えるが、系の幾何学が合同関係(congruence)の下での確率測度を常に定義するわけではない[2]

確率測度は、数理生物学でも使われる[8]。例えば、比較配列分析英語版(sequence analysis)において、確率測度は配列の中にアミノ酸がある可能性によって定義されることもある[9]

参照項目[編集]

参考文献[編集]

  1. ^ a b A course in mathematics for students of physics, Volume 2 by Paul Bamberg, Shlomo Sternberg 1991 ISBN 0-521-40650-1 page 802
  2. ^ a b The concept of probability in statistical physics by Yair M. Guttmann 1999 ISBN 0-521-62128-3 page 149
  3. ^ An introduction to measure-theoretic probability by George G. Roussas 2004 ISBN 0-12-599022-7 page 47
  4. ^ Probability, Random Processes, and Ergodic Properties by Robert M. Gray 2009 ISBN 1-4419-1089-1 page 163
  5. ^ Quantitative methods in derivatives pricing by Domingo Tavella 2002 ISBN 0-471-39447-5 page 11
  6. ^ Irreversible decisions under uncertainty by Svetlana I. Boyarchenko, Serge Levendorskiĭ 2007 ISBN 3-540-73745-6 page 11
  7. ^ アセットプライシングの基本定理を参照。
  8. ^ Mathematical Methods in Biology by J. David Logan, William R. Wolesensky 2009 ISBN 0-470-52587-8 page 195
  9. ^ Discovering biomolecular mechanisms with computational biology by Frank Eisenhaber 2006 ISBN 0-387-34527-2 page 127

さらに先の文献[編集]