スコロホッドの表現定理

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数学および統計学の分野におけるスコロホッドの表現定理(スコロホッドのひょうげんていり、: Skorokhod's representation theorem)とは、極限測度が十分に良い振る舞い(well-behaved)をする確率測度弱収束英語版は、共通の確率空間上で定義される確率変数各点収束列の分布/法則として表現される、ということを述べた定理である。ウクライナ数学者アナトリー・スコロホッド英語版の名にちなむ。

定理の内容[編集]

μn, n ∈ N を、位相空間 S 上の確率測度の列とする。μn は、n → ∞ に対して、S 上のある確率測度 μ に収束するものとする。また、μ可分であるとする。このとき、共通の確率空間 (Ω, FP) 上で定義される確率変数 Xn および X で次を満たすようなものが存在する:

  • (Xn)(P) = μn (すなわち、μnXn の分布/法則);
  • X(P) = μ (すなわち、μX の分布/法則);
  • すべての ω ∈ Ω に対し、Xn(ω) → X(ω) as n → ∞ が成立する。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • Billingsley, Patrick (1999). Convergence of Probability Measures. New York: John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 0-471-19745-9.  (分布収束については p.70 を、スコロホッドの定理については p.333 を参照されたい)