ブラウン運動

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動先: 案内検索
2次元でのブラウン運動の1000ステップ分のシミュレーションの例。運動の起点は (0, 0) である。各ステップの x成分とy成分は独立で、分散は2で平均は0の正規分布に従う。数学的なモデルでは、ステップは不連続ではないと仮定している。
ブラウン運動のシミュレーション。黒色の媒質粒子の衝突により、黄色の微粒子が不規則に運動している。
水中の色素粒子の軌跡をモデルとしたブラウン運動のシミュレーション。

ブラウン運動(ブラウンうんどう、英語: Brownian motion)とは、液体のような溶媒中(媒質としては気体固体もあり得る)に浮遊する微粒子(例:コロイド)が、不規則(ランダム)に運動する現象である。1827年(1828年という記述もあり[1])、ロバート・ブラウンが、水の浸透圧で破裂した花粉から水中に流出し浮遊した微粒子を、顕微鏡下で観察中に発見し[2]、論文「植物の花粉に含まれている微粒子について」で発表した[3]

この現象は長い間原因が不明のままであったが、1905年アインシュタインにより、熱運動する媒質の分子の不規則な衝突によって引き起こされているという論文が発表された[4]。この論文により当時不確かだった原子および分子の存在が、実験的において証明出来る可能性が示された。後にこれは実験的に検証され、原子や分子が確かに実在することが確認された[5]

この現象はブラウン運動はかなり広い意味で使用されることもあり、類似した現象として、電気回路における熱雑音[6][7]ランジュバン方程式)や、希薄な気体中に置かれた、微小な鏡の不規則な振動(気体分子による)などもブラウン運動の範疇として説明される。

アボガドロ定数との関係[編集]

ブラウン運動について以下の式が成り立っている。

ここで、上式左辺は、ブラウン運動する物体の平衡位置 x0 からのずれの2乗の平均である(系は1次元とする)。R気体定数T絶対温度f は易動度(媒質の粘性に関係し、ブラウン運動する物体の速度をv とすると、fv はその速度に比例する抵抗力となる)、t は十分経過した時間(極限としては、t → ∞)である。そして、NAアボガドロ定数である。アボガドロ定数以外は、観測によって求められる量であり、フランスの物理化学者ジャン・ペランが、NA = 6.5×1023(資料により値が異なる)という値を得ている[8][いつ?]

花粉にまつわる誤解[編集]

水中で浸透圧により破裂した花粉から流出した微粒子ではなく、花粉そのものがブラウン運動すると間違われることがある。一般書などに限らず、高名な学者や学術書や教科書にも見られた。最近でもマスコミの記事や、インターネット上の検索サイトで検索すると大学のウェブ上のアインシュタインの業績説明は誤ったままの説明になっていることが多い。

アインシュタインの論文[編集]

1905年のアインシュタインの論文[4]によって、ブラウン運動は原子の存在を明白に証拠付ける事実となった。その内容を要約すると以下のようになる[1]

  1. 微粒子が時刻t に位置x にいる確率密度ρ(x , t ) は次の拡散方程式を満たす:
  2. 拡散係数D は、微粒子の直径a 、溶媒の粘性μを用いて
    と表される。ブラウン運動の原子論的描像は、この式の導出の際に用いられている。この導出には、ファントホッフの式ストークスの式フィックの法則定常流であることが用いられている。
  3. 平均二乗変位は拡散係数を用いて表される。
  4. 以上から、平均変位λ
    が求められ、実験観測により検証できる。

数理モデル[編集]

ブラウン運動の数学的に厳密なモデルとして、ノーバート・ウィーナーの名を冠してウィーナー過程と呼ばれる連続型確率過程がある。ウィーナー過程は離散型である乱歩の極限となる確率過程として確率論、確率解析において非常に重要な概念である。ウィーナー過程のランダムさは、ブラウン運動のモデルに相応しく至る所通常の意味では微分不可能なほどであるが、その軌跡(サンプルパス)は連続性を持ち、ある種の測度としてウィーナー過程の存在を肯定する。そしてこれが微分(殊に二次の微分)によってある種の無限小余剰項を生むという規約を設けた(伊藤清による伊藤型ルスラン・ストラトノビッチ英語版によるストラトノヴィッチ型などの規約がよく知られる)特別の微分(確率微分)を考えることにより、確率積分などの概念が定式化され、確率解析と呼ばれる一分野が展開される。非常に多くの粒子の影響がブラウン運動の不規則さを生むという考え方は、やはり多数の原因によって複雑な変動を示す株取引などの経済活動などにも応用することができるため、ウィーナー過程や確率微分を応用した確率解析は、金融工学などの分野でも盛んに用いられている[2]

簡単のため1次元ウィーナー過程について述べる。

定義
確率空間上で定義された連続な確率過程 W(t) で次の性質を満たすものをウィーナー過程という。
  1. 任意のに対し、 は独立。
  2. 任意のに対し、正規分布に従う。
(注意)数学的にはこのような確率過程が存在することは決して自明ではなく、証明が必要である。
性質
  • サンプルパスは確率 1 で微分不可能である。すなわち、ブラウン運動は非常にギザギザな曲線となるのである。
  • マルチンゲールとなる。これはブラウン運動に関する確率積分を考える際の非常に重要な性質である。

脚注[編集]

[ヘルプ]
出典
  1. ^ a b 小岩昌宏中嶋英雄材料における拡散:格子上のランダム・ウォーク』 堂山昌男・小川恵一・北田正弘(監修)、内田老鶴圃〈材料学シリーズ〉、2009年12月、17-21頁。全国書誌番号:21783789ISBN 978-4-7536-5637-0NCID BB00508924OCLC 491332824ASIN 4753656373
  2. ^ a b 有馬秀次. “ウィーナー過程とブラウン運動”. 金融用語辞典. 金融大学. 2015年12月27日閲覧。
  3. ^ Brown, Robert. “A brief account of microscopical observations made in the months of June, July and August, 1827, on the particles contained in the pollen of plants; and on the general existence of active molecules in organic and inorganic bodies.” (PDF). Phil. Mag. 4: 161–173. ISSN 1478-6435. LCCN 2003249007. OCLC 476300855. http://sciweb.nybg.org/science2/pdfs/dws/Brownian.pdf. 
  4. ^ a b Einstein, A. (May 11, 1905). “Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen” (PDF). Annalen der Physik (Wiley-VCH Verlagドイツ語版英語版) 322 (8): 549–560. Bibcode 1905AnP...322..549E. doi:10.1002/andp.19053220806. ISSN 0003-3804. LCCN 50013519. OCLC 5854993. http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1905_17_549-560.pdf. 
  5. ^ 田崎晴明. “ブラウン運動と非平衡統計力学 (PDF)”. 学校法人学習院. 2015年12月27日閲覧。
  6. ^ 寺西. “ブラウン運動”. 用語集. NPO法人筑波微粒子・界面・環境研究会. 2015年12月27日閲覧。
  7. ^ ブラウン運動 抵抗の熱雑音 Text-x-generic.svg (RTF)
  8. ^ Brownian Motion and Molecular Reality

関連項目[編集]

外部リンク[編集]