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メンガーのスポンジのイメージ
メンガーのスポンジとは自己相似なフラクタル図形の一種であり、立方体に穴をあけたものである。そのフラクタル次元(ハウスドルフ次元、相似次元)は
次元である。メンガーのスポンジの面は同じくフラクタル図形のシェルピンスキーのカーペットでできている。
メンガーのスポンジはフラクタル図形であるため、正確に作図することはできない。
メンガーのスポンジの次元は2より大きいため、2次元的な大きさである面積は無限である。
表面積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度目の穴を空けると、その表面積は
増加する。
穴を空ける回数を
とすると、その表面積は
と表すことができ、これは無限回繰り返した時、無限大に発散する。
メンガーのスポンジの次元は3より小さい(2.73次元)ため、3次元的な大きさである体積は 0 である。
実際、体積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度穴を空ける毎にその体積は
ずつ減少するため、穴を空ける回数を
とすると最終的に体積は
となり
に収束する。
メンガースポンジの厳密な定義は以下である:
![{\displaystyle M:=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56a5920cbfad96563e28fa7ea479aede5021aaa0)
ここで
は単位立方体で、
![{\displaystyle M_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:&{\begin{matrix}\exists i_{1},i_{2},i_{3}\in \{0,1,2\}.(3x-i_{1},3y-i_{2},3z-i_{3})\in M_{n}\\\#\{i_{j}\mid i_{j}=1\}\leqq 1\end{matrix}}\end{matrix}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/580778e92e8b3db5aa42c2a471100aa8c67d04cb)