メンガーのスポンジ

メンガーのスポンジのイメージ

メンガーのスポンジとは自己相似なフラクタル図形の一種であり、立方体に穴をあけたものである。そのフラクタル次元（ハウスドルフ次元、相似次元）は ${\textstyle {\frac {\log 20}{\log 3}}(=2.7268\ldots )}$次元である。メンガーのスポンジの面は同じくフラクタル図形のシェルピンスキーのカーペットでできている。

メンガーのスポンジはフラクタル図形であるため、正確に作図することはできない。

面積

メンガーのスポンジの次元は2より大きいため、2次元的な大きさである面積は無限である。 表面積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度目の穴を空けると、その表面積は${\tfrac {1}{3}}$増加する。

穴を空ける回数を$n$とすると、その表面積は$2(20/9)^{n}+4(8/9)^{n}$と表すことができ、これは無限回繰り返した時、無限大に発散する。

体積

メンガーのスポンジの次元は3より小さいため、3次元的な大きさである体積は 0 である。 実際、体積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度穴を空ける毎にその体積は${\tfrac {7}{27}}$ずつ減少するため、穴を空ける回数を$n$とすると最終的に体積は$\lim _{n\to \infty }\left({\tfrac {20}{27}}\right)^{n}=0$となり$0$に収束する。

関連項目

• カール・メンガー (数学者)
• フラクタル、フラクタル幾何
• シェルピンスキーのギャスケット
• シェルピンスキーのカーペット
• 立方体