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ランジュバン方程式 ( ランジュバンほうていしき 、( 英 : Langevin equation )は、統計力学 において、あるポテンシャルの下でのブラウン運動 を記述する確率微分方程式 である。アインシュタイン のブラウン運動の理論を受けてポール・ランジュバン によって最初に示された。
最も簡単なランジュバン方程式は、ポテンシャルが定数であるとして調べられたものであり、質量 m のブラウン粒子の加速度 a が、粒子の速度 v に比例する粘性力(ストークスの式 、β は抵抗係数)と、媒質中の分子による衝突の連続的な系列の効果であり、ある確率過程であるランダム力 η (t ) との和として表現される。
m
a
=
m
d
v
d
t
=
−
β
v
+
η
(
t
)
{\displaystyle m\mathbf {a} =m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=-\beta \mathbf {v} +\eta (t)}
電気回路の抵抗器における熱雑音 など他のブラウン運動系でも本質的に同様な方程式が成り立つ。
しばしばランジュバン方程式を解くことなく、多くの興味深い帰結が揺動散逸定理 によって得られる。解が必要とされるならば、これを解くための標準的な方法はフォッカー・プランク方程式 を用いることである。これは、時間依存の確率密度により満足される決定論的方程式を与える。また、数値的な解はモンテカルロ法 を用いたシミュレーションにより得られる。さらに、統計力学と量子力学 との類似性を利用して(例えば、フォッカー・プランク方程式はいくつかの変数のスケールを変換することによってシュレーディンガー方程式 に変換できる)経路積分 のような他の方法も用いられる 。
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