周辺分布

2変量正規分布からサンプリングした図。周辺分布は赤と青で示されている。

周辺分布（しゅうへんぶんぷ、英: marginal distribution）や周辺確率分布（しゅうへんかくりつぶんぷ、英: marginal probability distribution）とは、同時確率分布から一部の確率変数を消去した確率分布の事。それに対して、条件付き確率分布は、特定の確率変数を特定の値に制限したときの確率分布。

累積分布関数、確率質量関数、確率密度関数に対しても、周辺累積分布関数（英: marginal cumulative distribution function）、周辺確率質量関数（英: marginal probability mass function）、周辺確率密度関数（英: marginal probability density function）が定義される。

同時分布から周辺分布を作ることを周辺化（しゅうへんか、英: marginalizing）という。確率質量関数や確率密度関数で特定の確率変数の和もしくは積分をとることである。

表の欄外（margin）に行や列の和を記載することから周辺（marginal）と呼ばれるようになった。

定義

離散型確率変数において、P(X = x) の周辺分布は同時分布 P(X, Y) や条件付き確率分布 P(X | Y) から以下のように計算できる。

$P(X=x)=\sum _{y}P(X=x,Y=y)=\sum _{y}P(X=x\mid Y=y)P(Y=y)$

連続型確率変数において、確率密度関数 f が存在する場合、以下が成立する。

$f_{X}(x)=\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm {d} y=\int _{y}f_{X\mid Y}(x\mid y)\,f_{Y}(y)\,\mathrm {d} y$