経験過程

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経験過程(けいけんかてい、英語: empirical process)は、経験測度の中心極限定理の一般化のひとつである。経験過程の理論は、ノンパラメトリック統計学などに応用される。

定義[編集]

ある一定の条件のもとで、経験測度Pnが、確率測度へ収束するという結果はよく知られている(Glivenko-Cantelliの定理)。経験過程の理論によって、この収束の速さを説明することができる。 中心化・基準化された経験測度は、

G_n(A)=\sqrt{n}(P_n(A)-P(A))

となる。これによる、適当な可測関数fの像は、

f\mapsto G_n f=\sqrt{n}(P_n-P)f=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(X_i)-\mathbb{E}f\right)

と書くことができる。中心極限定理により、適当な可測集合Aに対して、G_n(A)は、正規確率変数N(0, P(A)(1 − P(A)))へ分布収束する。同様に、適当な関数fに対して、G_nfは、正規確率変数N(0,\mathbb{E}(f-\mathbb{E}f)^2)へ分布収束する。

定義

\bigl(G_n(c)\bigr)_{c\in\mathcal{C}}Sの可測な部分集合の族\mathcal{C}における経験過程という。
\bigl(G_nf\bigr)_{f\in\mathcal{F}}Sから\mathbb{R}への可測関数の族\mathcal{F}における経験過程という。

経験過程に関する有名な結果のひとつに、Donskerの定理がある。この定理は、ある一定のガウス過程へ弱収束する経験過程のクラス(Donskerクラス)についての研究につながった。DonskerクラスはGlivenko-Cantelliクラスになるが、その逆は一般的に正しくない。

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例として、経験分布関数を考える。i.i.d.確率変数X_1,X_n,\dotsにおいて、これは、

F_n(x)=P_n((-\infty,x])=P_nI_{(-\infty,x]}.

と与えられる。この例では、経験過程は\mathcal{C}=\{(-\infty,x]:x\in\mathbb{R}\}のクラスによって特徴づけられる。この\mathcal{C}はDonskerクラスであることを示すことができ、特に、:\sqrt{n}(F_n(x)-F(x))ブラウン橋 B(F(x))に弱収束する。

参考文献[編集]

  • P. Billingsley, Probability and Measure, John Wiley and Sons, New York, third edition, 1995.
  • M.D. Donsker, Justification and extension of Doob's heuristic approach to the Kolmogorov–Smirnov theorems, Annals of Mathematical Statistics, 23:277–281, 1952.
  • R.M. Dudley, Central limit theorems for empirical measures, Annals of Probability, 6(6): 899–929, 1978.
  • R.M. Dudley, Uniform Central Limit Theorems, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 63, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1999.
  • M.R. Kosorok, Introduction to Empirical Processes and Semiparametric Inference, Springer, New York, 2008.
  • Galen R. Shorack and Jon A. Wellner, Empirical Processes with Applications to Statistics, Wiley, New York, 1986. SIAM Classics edition (2009), Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 978-0-898716-84-9
  • Aad W. van der Vaart and Jon A. Wellner,Weak Convergence and Empirical Processes: With Applications to Statistics, 2nd ed., Springer, 2000. ISBN 978-0-387-94640-5
  • J. Wolfowitz, Generalization of the theorem of Glivenko–Cantelli. Annals of Mathematical Statistics, 25, 131–138, 1954.

外部リンク[編集]