3囚人問題

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3囚人問題(3しゅうじんもんだい、: Three Prisoners problem)は確率論の問題で、マーティン・ガードナーによって1959年に紹介された。「ベルトランの箱のパラドクス英語版」を下敷きにしていると考えられている。

問題自体は簡単なように見えるものの、確率計算の結果が人間の直感と全く異なるため、これまで多くの研究がなされている。特に日本の心理学認知心理学)分野において盛んに研究され、非常に多くの著書、論説、学会発表がある。[独自研究?]

概要[編集]

ある監獄にA、B、Cという3人の囚人がいて、それぞれ独房に入れられている。罪状はいずれも似たりよったりで、近々3人まとめて処刑される予定になっている。ところが恩赦が出て3人のうち1人だけ助かることになったという。誰が恩赦になるかは明かされておらず、それぞれの囚人が「私は助かるのか?」と聞いても看守は答えない。

囚人Aは一計を案じ、看守に向かってこう頼んだ。「私以外の2人のうち少なくとも1人は死刑になるはずだ。その者の名前が知りたい。私のことじゃないんだから教えてくれてもよいだろう?」すると看守は「Bは死刑になる」と教えてくれた。それを聞いた囚人Aは「これで助かる確率が1/3から1/2に上がった」とひそかに喜んだ。果たして囚人Aが喜んだのは正しいか?

解法[編集]

ベイズの定理による解では、Bの死刑が確定しても、Cが助かる確率が2/3へ変化し、Aが助かる確率は1/3のまま変化しない。

上記の解が成立するには、B・Cともに死刑になる(Aが恩赦になる)場合、「Bは死刑になる」と答える場合と「Cは死刑になる」と答える場合が等確率で起こらなければならない。この重要な条件を明記せず曖昧にしておくことがこの問題を分かりにくくしている原因なのである。この条件を無くし看守の任意に委ねると、B・Cともに死刑になる確率は、必ずBと答える場合の最大値1/2、必ずCと答える場合の最小値0の間で変動する。

表に表すと、例えば次のようになる。考えられる組み合わせ9通りが看守の回答後は3通りに減ったが、結局Aが恩赦になる確率は変わっていない。

A B C 恩赦確率 看守の回答 回答が得られる確率 全体の確率
恩赦 死刑 死刑 1/3 「Bは死刑になる」 1/2 1/6 *
「Cは死刑になる」 1/2 1/6
死刑 恩赦 死刑 1/3 「Bは死刑になる」 0 0 *
「Cは死刑になる」 1 1/3
死刑 死刑 恩赦 1/3 「Bは死刑になる」 1 1/3 *
「Cは死刑になる」 0 0
1 1

よくある間違い[編集]

・BかCが助かる確率の合計は看守の回答の前後で変化しない(なのでAの助かる確率も変化しない)

→この問題では結果として同じ確率になっただけで、後述のように確率に偏りがある場合には変化するものである。よって、看守の回答で確率が変化しないというのは錯覚であり、間違い。

モンティ・ホール問題との類似[編集]

モンティ・ホール問題の「ドア」が3囚人問題における「囚人」、「当たりのドア」が「恩赦」に対応しており、等価な問題であることが分かる。モンティ・ホール問題と異なるのは、看守がどのような回答をしたとしても、Aにはその回答を変える(AからCへと立場を変える)ことができないという点であるが、解法上の都合で(モンティ・ホール問題に似せるため)入れ替わりが追加されていることがある。

例えば、100人のうち1人だけが恩赦であるケースを考えると、Aが自分以外の99人のうち98人の死刑を知り、Bだけが恩赦か不明であると聞かされた場合、Aが恩赦である確率は100分の1、「A以外のB含む99人の誰か」が恩赦である確率は100分の99から変化していないため、Bの恩赦の確率だけが100分の99へと変化していることになる。

この場合も、例えば、Aが恩赦であった場合には、看守が残り99人の囚人から98人を選ぶ99通りの組み合わせはランダムに選ぶこととするというような前提が必要である。看守が残り99人の囚人から98人を選ぶ99通りの組み合わせについて看守が選択する確率が変化するのであれば、Aの恩赦の確率は0から1/2の間で変化する。逆に言えば、Bの恩赦の確率も1から1/2の間で変化する。

変形問題[編集]

囚人が恩赦になる確率を変えた変形問題が考案されている[1]

例えば、恩赦になる確率だけをそれぞれA=1/4、B=1/4、C=1/2に変えると、看守が「Bは死刑になる」と答えることでAの恩赦確率は1/5とかえって低下してしまう。

心理学の題材として[編集]

直感的・主観的に捉えて予想した確率と本当の確率(計算による正しい解)が一致しないのはなぜか、さらに、解答を説明されても即座に理解できなかったり、理解したつもりでも納得できないのはなぜか、という研究が認知心理学の研究分野で行われ、日本認知科学会でも1980年代、盛んに取り上げられた。

日本でも、Aは正しい(助かる確率は1/2)とする人が多数を占め、まちがい(助かる確率は1/3)とした人も、確率論に基づいて判断したわけではなく、単に看守の回答は確率に影響しないと考えた者が多かった。そこで、確率論に関する解説と計算結果を示して説明すると、納得する者としない者に分かれる。さらにいったん納得した者も、変形問題を示されると再び悩み出す傾向が見られた。

ある研究で行われた文系大学生へのアンケート (n=142) 結果[2]では、回答者の76%が1/2、14%が1/3と解答している。しかし、別のアンケートで確率は統計に基づくことを説明するヒントを載せたところ、この比率は逆転した。

問題の曖昧さのため複数の解が存在する場合、多くの人が自分(主人公)にとって最も有利なものを採用しているのである。

脚注・出典[編集]

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  1. ^ 市川伸一 『確率の理解を探る――3囚人問題とその周辺』 日本認知科学会編、共立出版〈認知科学モノグラフ 10〉、1998年5月。ISBN 4-320-02860-0
  2. ^ 小林厚子「確率判断の認知心理」、『東京成徳大学研究紀要』第5号、東京成徳大学1998年ISSN 1340-3702

関連項目[編集]