3囚人問題

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3囚人問題(3しゅうじんもんだい、: Three Prisoners problem)は確率論の問題で、マーティン・ガードナーによって1959年に紹介された[1][2]。「ベルトランの箱のパラドクス英語版」を下敷きにしていると考えられている。

概要[編集]

ある監獄にA、B、Cという3人の囚人がいて、それぞれ独房に入れられている。罪状はいずれも似たりよったりで、近々3人まとめて処刑される予定になっている。ところが恩赦が出て3人のうちランダムに選ばれた1人だけ助かることになったという。誰が恩赦になるかは明かされておらず、それぞれの囚人が「私は助かるのか?」と聞いても看守は答えない。したがって囚人Aが恩赦になる確率はこの時点では1/3であると考えられる。

囚人Aは一計を案じ、看守に向かってこう頼んだ。「私以外の2人のうち少なくとも1人は死刑になるはずだ。その者の名前が知りたい。私のことじゃないんだから教えてくれてもよいだろう?」すると看守は「Bは死刑になる」と教えてくれた。

それを聞いた囚人Aはひそかに喜んだ。Bが死刑になる事は確定した以上、恩赦になるのはAかCのいずれか一方であるはずであり、したがってAが恩赦になる確率は1/2に上昇したからである。

果たして囚人Aが喜んだのは正しいか?

解法[編集]

結論を述べるためにまず記号を定義し、簡単な考察をする。「Aが恩赦になる」、…、「Cが恩赦になる」という事象を略記してそれぞれA、B、Cと書き、「看守が「Bは死刑になる」と答える」という事象をbとする。

看守はA自身が死刑になるか否かを答えないのであるから、恩赦になるのがBの場合、看守は必ず「Cは死刑になる」と答える。同様の理由により、恩赦になるのがCの場合、看守は必ず「Bは死刑になる」と答える。すなわち、

   …(1)

である。

しかし恩赦を受けるのがA自身であるケースでは、看守は「Bは死刑になる」という回答と「Cは死刑になる」という回答のいずれを答えるか任意に選ぶ事ができる。すなわち、

がいくつになるのかは3囚人問題のセッティングのみからは決まらず、看守の性格や思考等に依存して決まる。実は看守の答えを聞いて囚人Aが喜んだのが正しいか否かは、このがどのような値になるのかに依存して異なる[3]

 これをみるために「Bは死刑になる」と看守から聞いた後Aが死刑になる事後確率を求める。恩赦がランダムに決まるという仮定より

    …(2)

であるので、ベイズの定理より、

 

である[3]。したがって最初に述べたように、「Bは死刑になる」と看守から聞いた後Aが死刑になる事後確率は、Aが恩赦されるケースで看守が「Bが死刑となる」と答える確率に依存する。

もしAが確率に関して何ら情報を持たないなら、と仮定するのは自然である(最大エントロピー原理)[3]。この場合には、

となる為、Aが恩赦になる確率は看守の返答で変化せず、1/3のままである。すなわち「恩赦の確率が1/2にあがった」という囚人Aが喜んだのは間違っている事になる。 

しかしAがに関する何らかの情報(例えば「看守はBを嫌っている」という情報)を持っている場合は、必ずしもとするのは自然ではない[3]。仮に(Aが恩赦されるケースにおいて)看守が常に「Bは死刑になる」と答えるなら、なので、

となる為、看守の返答を聞いたことによりAが恩赦になる確率は1/3から1/2に跳ね上がる。すなわち「恩赦の確率が1/2にあがった」と囚人Aが喜んだのは正しい事になる。 

逆に(Aが恩赦されるケースにおいて)看守が常に「Cは死刑になる」と答えるなら、なので、

より、看守の返答を聞いたことによりAが恩赦になる確率は0に下がってしまう

恩赦が当確率でない場合[編集]

上ではA、B、Cが恩赦を受ける確率はいずれも1/3である事を仮定し、なら囚人が喜んだのは間違っている事を見た。

しかし例えば、恩赦になる確率だけをそれぞれA=1/4、B=1/4、C=1/2に変えると、(であっても)看守が「Bは死刑になる」と答えることでAの恩赦確率は1/5とかえって低下してしまう[4][5]

心理学の題材として[編集]

直感的・主観的に捉えて予想した確率と本当の確率(計算による正しい解)が一致しないのはなぜか、さらに、解答を説明されても即座に理解できなかったり、理解したつもりでも納得できないのはなぜか、という研究が認知心理学の研究分野で行われた。

看守の返答を聞いた後Aが死刑になる確率のアンケートを行ったある研究(対象:日本の文系大学生142人) では、回答者の76%が1/2、14%が1/3と解答している[5]。しかし、確率は統計に基づくことを説明するヒントを載せたところ、この比率は逆転した[5]

脚注・出典[編集]

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  1. ^ Gardner, Martin (October 1959). “Mathematical Games: Problems involving questions of probability and ambiguity”. Scientific American 201 (4): 174-182. doi:10.1038/scientificamerican1059-174. 
  2. ^ Gardner, Martin (1959). “Mathematical Games: How three modern mathematicians disproved a celebrated conjecture of Leonhard Euler”. Scientific American 201 (5): 188. doi:10.1038/scientificamerican1159-181. 
  3. ^ a b c d Judea Pearl (1988/9/1). Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems: Networks of Plausible Inference. Morgan Kaufmann Series in Representation and Reasoning. Morgan Kaufmann. p. 61. ISBN 978-1558604797. 
  4. ^ 市川伸一 『確率の理解を探る――3囚人問題とその周辺』 日本認知科学会編、共立出版〈認知科学モノグラフ 10〉、1998年5月。ISBN 4-320-02860-0
  5. ^ a b c 小林厚子 (1998年). “確率判断の認知心理(1) 、『東京成徳大学研究紀要』第5号 (pdf)”. 2017年11月10日閲覧。 p3-5

関連項目[編集]