オルンシュタイン=ウーレンベック過程

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オルンシュタイン=ウーレンベック過程(-かてい)は、レナード・オルンシュタインジョージ・ウーレンベックの名にちなんだ確率過程である。平均回帰過程(へいきんかいきかてい)とも呼ばれる。

オルンシュタイン=ウーレンベック過程は、以下のような確率微分方程式で与えられる確率過程{rt}である。

dr_t = -\theta (r_t-\mu)\,dt + \sigma\, dW_t

ここで、θ, μ, σ はパラメータであり、Wtウィーナー過程を表す。

オルンシュタイン=ウーレンベック過程は、離散時間AR(1)過程の連続時間バージョンであると言える。

3つの異なるオルンシュタイン=ウーレンベック過程の標本路。
θ = 1, μ = 1.2, σ = 0.3:
: 初期値 r0 = 0 (a.s.)
: 初期値 r0 = 2 (a.s.)
: 初期値が正規分布に従うと仮定(過程は不変測度を持つことになる)

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この方程式は定数変化法を用いて解くことができる。関数f(r_t, t) = r_t e^{\theta t}に対して伊藤の補題を適用し、以下の式を得る。

df(r_t,t) =  \theta r_t e^{\theta t}\, dt + e^{\theta t}\, dr_t

 = e^{\theta t}\theta \mu \, dt + \sigma e^{\theta t}\, dW_t

これを0からtまで積分することにより、次の式が得られる。

 r_t e^{\theta t} = r_0 + \int_0^t e^{\theta s}\theta \mu \, ds + \int_0^t \sigma e^{\theta s}\, dW_s

これを変形し、以下のように解が求められる。

 r_t  = r_0 e^{-\theta t} + \mu(1-e^{-\theta t}) + \int_0^t \sigma e^{\theta (s-t)}\, dW_s

r_0が定数であると仮定するとき、r_tの1次モーメントは以下のように計算できる。

E(r_t)= r_0 e^{-\theta t} + \mu(1-e^{-\theta t})

s \wedge t = \min(s,t)とおくと、伊藤積分の等長性 [1] を用いて次のような共分散関数が得られる。

\operatorname{cov}(r_s,r_t)= E[(r_s - E[r_s])(r_t - E[r_t])]

= E[\int_0^s \sigma  e^{\theta (u-s)}\, dW_u \int_0^t \sigma  e^{\theta (v-t)}\, dW_v ]

= \sigma^2 e^{-\theta (s+t)}E[\int_0^s  e^{\theta u}\, dW_u \int_0^t  e^{\theta v}\, dW_v ]

= \frac{\sigma^2}{2\theta} \, e^{-\theta (s+t)}(e^{2\theta (s \wedge t)}-1)

別表現1[編集]

オルンシュタイン=ウーレンベック過程は、スケールを変え時間シフトをしたウィーナー過程としても表現することが可能である(そして、しばしばその方が便利である)。初期値条件の無い場合、

 r_t=\mu+{\sigma\over\sqrt{2\theta}}W(e^{2\theta t})e^{-\theta t}

となり、またr_0が与えられた場合は以下のようになる。

 r_t=r_0 e^{-\theta t} +\mu (1-e^{-\theta t})+
{\sigma\over\sqrt{2\theta}}W(e^{2\theta t}-1)e^{-\theta t}

オルンシュタイン=ウーレンベック過程は、有界な分散を持つガウス過程の例であり、ウィーナー過程とは対照的に定常確率分布を許している。

この過程の時間積分は、1/fパワースペクトルを持つノイズを生成するために用いることができる。

別表現2[編集]

B をブラウン運動とすると、

U_t = \exp(\beta t) B\left(\frac{1-e^{-2\beta t}}{2\beta}\right)

はオルンシュタイン=ウーレンベック過程である。Utは以下の微分方程式の解である。

dU_t = \beta U_t \, dt + d B_t

参考文献[編集]

  • G. E. Uhlenbeck and L. S. Ornstein, "On the theory of Brownian Motion", Phys. Rev. 36:823-41, 1930.
  • D. T. Gillespie, "Exact numerical simulation of the Ornstein-Uhlenbeck process and its integral", Phys. Rev. E 54:2084-91, 1996.

関連項目[編集]

一般化[編集]

オルンシュタイン=ウーレンベック過程は、背後過程を(ウィーナー過程より一般的な)レヴィ過程とした拡張が可能である。このような確率過程については、オーレ・バーンドルフ=ニールセンらによって研究されている。 正確にはgeneralised Ornstein-Uhlenbeck過程と呼ばれるが、その由来は形が似ているだけでなく、generalised Langevin方程式(generalised Black-Scholes方程式<ブラック・ショールズのレヴィ過程版>とLangevin方程式のレヴィ過程版を合体させたもの)の解になるのではないかと推理されていた。しかし、近年、それらが解の関係にはならないことが証明されている。その証明の際には、generalised Langevin方程式の解が与えられ、YORの本によればセミマルチンゲールの場合に一般化された解も与えられている。

脚注[編集]

  1. ^ 伊藤積分の等長性とは、伊藤積分において、一般的に

    E \left[ \left( \int_{0}^{t} X_{\tau} \, dB_{\tau} \right)^{2} \right] = E \left[ \int_{0}^{t} X_{\tau}^{2} \, d\tau \right]

    が成り立つことをいう。