オルンシュタイン=ウーレンベック過程

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オルンシュタイン=ウーレンベック過程(-かてい)は、レナード・オルンシュタインジョージ・ウーレンベックの名にちなんだ確率過程である。平均回帰過程(へいきんかいきかてい)とも呼ばれる。

オルンシュタイン=ウーレンベック過程は、以下のような確率微分方程式で与えられる確率過程{rt}である。

ここで、θ, μ, σ はパラメータであり、Wtウィーナー過程を表す。

オルンシュタイン=ウーレンベック過程は、離散時間AR(1)過程の連続時間バージョンであると言える。

3つの異なるオルンシュタイン=ウーレンベック過程の標本路。
θ = 1, μ = 1.2, σ = 0.3:
: 初期値 r0 = 0 (a.s.)
: 初期値 r0 = 2 (a.s.)
: 初期値が正規分布に従うと仮定(過程は不変測度を持つことになる)

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この方程式は定数変化法を用いて解くことができる。関数に対して伊藤の補題を適用し、以下の式を得る。

これを0からtまで積分することにより、次の式が得られる。

これを変形し、以下のように解が求められる。

が定数であると仮定するとき、の1次モーメントは以下のように計算できる。

とおくと、伊藤積分の等長性 [1] を用いて次のような共分散関数が得られる。

別表現1[編集]

オルンシュタイン=ウーレンベック過程は、スケールを変え時間シフトをしたウィーナー過程としても表現することが可能である(そして、しばしばその方が便利である)。初期値条件の無い場合、

となり、またが与えられた場合は以下のようになる。

オルンシュタイン=ウーレンベック過程は、有界な分散を持つガウス過程の例であり、ウィーナー過程とは対照的に定常確率分布を許している。

この過程の時間積分は、1/fパワースペクトルを持つノイズを生成するために用いることができる。

別表現2[編集]

B をブラウン運動とすると、

はオルンシュタイン=ウーレンベック過程である。Utは以下の微分方程式の解である。

参考文献[編集]

  • G. E. Uhlenbeck and L. S. Ornstein, "On the theory of Brownian Motion", Phys. Rev. 36:823-41, 1930.
  • D. T. Gillespie, "Exact numerical simulation of the Ornstein-Uhlenbeck process and its integral", Phys. Rev. E 54:2084-91, 1996.

関連項目[編集]

一般化[編集]

オルンシュタイン=ウーレンベック過程は、背後過程を(ウィーナー過程より一般的な)レヴィ過程とした拡張が可能である。このような確率過程については、オーレ・バーンドルフ=ニールセンらによって研究されている。 正確にはgeneralised Ornstein-Uhlenbeck過程と呼ばれるが、その由来は形が似ているだけでなく、generalised Langevin方程式(generalised Black-Scholes方程式<ブラック・ショールズのレヴィ過程版>とLangevin方程式のレヴィ過程版を合体させたもの)の解になるのではないかと推理されていた。しかし、近年、それらが解の関係にはならないことが証明されている。その証明の際には、generalised Langevin方程式の解が与えられ、YORの本によればセミマルチンゲールの場合に一般化された解も与えられている。

脚注[編集]

  1. ^ 伊藤積分の等長性とは、伊藤積分において、一般的に

    が成り立つことをいう。